К вопросу о реализации принципа единства генетичности и научности на уровне предвузовской математической подготовки

Т.И. Кузнецова

(Центр МО МГУ им. М.В. Ломоносова)

Опыт преподавания с полной определенностью говорит о том, что качество усвоения математического материала существенно выигрывает, если каждое новое понятие, каждое новое предложение вводить так, чтобы была видна его связь с уже известными учащимся положениями и чтобы была понятна целесообразность его изучения. Недаром говорят, что полное понимание любого теоретического вопроса достигается лишь тогда, когда становится ясной его история, его генезис (см. [1], с. 49). Исследование, проведенное в нашей работе [2] – тому подтверждение. Восстановив в них историческую справедливость и глобально наметив логическую последовательность «научного» изложения вопроса изображения дробных чисел на числовой оси, теперь мы должны восстановить его генезис, т. е. реконструировать генетическое дерево, определяющее систему понятий и предложений, необходимых для осуществления логической последовательности изложения материала, начиная с самого начала, т. е. от основных понятий и аксиом (ср. [3], c. 225, [4], c. 183, [5], c. 54).

1. 
   дробь; 2) числовая ось; 3) изображение дроби на числовой оси.
   

1. 
   знаменатель; 1.2) числитель; 1.3) черта дроби.
   

1.1.1) натуральное число; 1.1.2) деление единичного отрезка на n равных частей;

1.1.2.1) = 1.1.1) натуральное число n; 1.1.2.2) единичный отрезок; 1.1.2.3) равные отрезки; 1.1.2.4) деление произвольного отрезка на n равных частей;

1.1.2.2.1) единица – единичный; 1.1.2.2.2) отрезок;

1.1.2.3.1) = 1.1.2.2.2) отрезок; 1.1.2.3.2) совмещение отрезков;

1.1.2.4.1) = 1.1.1) натуральное число n; 1.1.2.4.2) = 1.1.2.3) равные отрезки; 1.1.2.4.3) теорема Фалеса;

1.1.2.2.1.1) = 1.1.1) натуральное число 1;

1.1.2.2.2.1) точка; 1.1.2.2.2.2) прямая; 1.1.2.2.2.3) понятие «точка находится между двумя другими точками»;

1.1.2.3.2.1) = 1.1.2.2.2) отрезок; 1.1.2.3.2.2) наложение отрезков;

1.1.2.2.2.3.1) = 1.1.2.2.2.1) точка; 1.1.2.2.2.3.2) = 1.1.2.2.2.2) прямая;

1.1.2.3.2.2.1) = 1.1.2.2.2) отрезок;

1.2.1) = 1.1.1) натуральное число m; 1.2.2) отложение на луче m отрезков, равных данному;

1.2.2.1) отложение на луче отрезка, равного данному; 1.2.2.2) = 1.1.2.3) равные отрезки; 1.2.2.3) луч;

1.2.2.3.1) = 1.1.2.2.2.2) прямая; 1.2.2.3.2) начало луча; 1.2.2.3.3) понятие «точки находятся на прямой по одну сторону от данной точки»;

1.2.2.3.2.1) = 1.1.2.2.2.1) точка;

1.2.2.3.3.1) = 1.1.2.2.2.1) точка; 1.2.2.3.3.2) = 1.1.2.2.2.2) прямая;

1.3.1) черта;

1.3.1.1) = 1.1.2.2.2) отрезок.

Существование на прямой по крайней мере двух точек (концов отрезка). При использовании аксиомы I из школьных учебников выполнение этого условия не вызывает сомнений. Так, в [7] читаем: «Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки» (c. 289), а в [8]: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой» (с. 5). Как видим, в первом случае мы получаем именно то, что нам надо, а во втором – употребление слова «точка» во множественном числе позволяет утверждать, что две точки на прямой наверняка имеются.

Для корректности определения необходима однозначность используемых в нем понятий. Однозначность концов отрезка определяется их заданностью по определению.

Следующая аксиома – аксиома прямой: «Через любые две точки проходит прямая и только одна» (см. [6], с. 6, а также [7], с. 289, аксиому 3, или [8], с. 5) - однозначно определяет носителя отрезка – прямую. При этом чтобы избежать некоторой неопределенности, необходимо заметить, что «здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д. будем считать, что эти точки, прямые различны» (см. [7], с. 5).

Для точек, лежащих на одной прямой, понятие «точка лежит между двумя другими точками», которое в [7] относится к основным понятиям геометрии, естественно, предполагает, что на прямой существуют по крайней мере три точки. В школьных учебниках эта информация не подвергается сомнению и не обсуждается, однако в более основательной литературе по основаниям геометрии вопросу о количестве точек на отрезке и вне отрезка, на прямой придается особое значение – см., например, в [9] теоремы 9.1 (с. 50) и 9.5 (с. 54), следствия 1 и 2 (с. 55). Мы ни в коем случае не призываем следовать [9] и использовать методику этого пособия, которое предназначено студентам вузов, а не школьникам, только готовящимся поступить в вуз, однако не учитывать этот момент нельзя. Итак, считаем, что в повторительном курсе необходимо отметить, что на прямой, равно как внутри отрезка и вне него, имеется бесконечно много точек - ведь на уровне предвузовской подготовки учащиеся уже знакомы со словосочетанием «бесконечно много».

Раскрывая содержание понятия «лежать между», целесообразно задержать внимание учащихся на том, что в [9] подано как аксиома, а в [7] как замечание: «Если точка В лежит между точками А и С, то А, В, С – различные точки одной прямой и В лежит также между С и А» (см. [9], c. 50; [7], c. 289). После этого необходимо привести общеизвестную аксиому трех точек на прямой: «Из трех различных точек на прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими точками» (см. аксиому III в [6], с. 7; аксиому 4 в [7], с. 289; аксиому II в [8], с. 7; или аксиому II₃ и теорему 9.2 в [9], с. 50 - 51). Именно эта аксиома обеспечивает для трех различных точек на прямой однозначность отношения «лежать между» и, следовательно, дает возможность определить внутренние точки отрезка как точки, лежащие между концами отрезка, и тем самым завершить обсуждение корректности определения отрезка.

После введения последней аксиомы стало возможным определить понятие «не лежать между»: «Если точка В лежит между точками А и С, то точка А не лежит между точками В и С, и точка С не лежит между точками А и В». Далее, естественно отметить, что понятие «точка лежит между двумя другими точками» эквивалентно понятию «точка разделяет две другие точки» и жестко связано с понятиями «точки находятся по одну сторону от данной точки», «точки не разделяются данной точкой», «точки находятся по разные стороны от данной точки», «точки разделяются данной точкой». Важно отметить, что сформулированные здесь понятия уже не являются основными – они определяются с опорой на основное, исходное понятие «точка лежит между двумя другими точками» (см., например, определение 2 в [9], с. 55).

3.3. Понятие «единичный отрезок» определяется по договоренности, т. е. берем какой-то отрезок, который нас устраивает по каким-то своим свойствам, говорим, что он представляет единицу, и называем его единичным.

3.4. Понятие «равные отрезки» связано с первичными понятиями наложения и совмещения отрезков: «два отрезка считаются равными, если они могут быть наложены друг на друга так, что совмещаются» (см. [10], с. 5; [11], с. 10, или аксиому 4 Евклида в [12], c. 31).

Для того чтобы можно было сравнивать отрезки, которые практически невозможно наложить один на другой, вводится аксиома сравнения отрезков: «два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны» (см. аксиому II.1 в [13], с. 383). Эта аксиома является конкретизацией для отрезков более общей аксиомы, которая у Евклида формулируется в виде: «равные одному и тому же, равны между собой» (см. аксиому 1 в [12], c. 31, или [10], c. 16).

Благодаря этой аксиоме и аксиоме отложения отрезков: «на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один» (см., например, аксиому 8 в [7], c. 291), можно сравнить отрезки с помощью полоски бумаги, куска бечевки, палочки, циркуля-измерителя с воображаемым отрезком между концами его ножек. Быстрее всего это можно сделать с помощью циркуля-измерителя, но если его нет под рукой, то в школьных условиях целесообразно воспользоваться полоской бумаги, и сделать это можно следующим образом: на краю полоски бумаги, имитирующем кусок прямой линии, от произвольной точки строим отрезок, равный одному из сравниваемых отрезков (приложив этот край соответствующим образом к этому отрезку) – по второй аксиоме это можно сделать и однозначно. Затем прикладываем полоску бумаги с построенным отрезком ко второму из сравниваемых отрезков. Если это можно сделать так, что они совместятся, то второй отрезок по определению равных отрезков равен отрезку на полоске бумаги. Таким образом, получаем, что оба данные отрезка равны одному третьему отрезку – отрезку, построенному нами на полоске бумаги. Следовательно, по аксиоме транзитивности данные отрезки равны между собой.

Такой подход к подаче равенства отрезков нам импонирует больше других, так как имеет очевидные практические корни в обычной жизни. Действительно, если Вы хоть раз пытались заказать стекло (для окна, книжного шкафа и т. п.), то в соответствующей мастерской получили однозначный совет – «снять мерки» на реечку и принести эту реечку в мастерскую, где вырежут стекло по отрезкам, отмеченным на ней; если же Вы сняли размеры стекла миллиметровой линейкой или клеенчатой сантиметровой лентой, которая имеет тенденцию со временем растягиваться, то вырезанное стекло может не подойти – оно может получиться меньше или больше, чем надо, поскольку нет гарантии того, что миллиметр на вашей линейке такой же, как на линейке в мастерской. Вот Вам преимущество установления и использования равенства отрезков с помощью непосредственного наложения и совмещения перед тем способом, который введен в [8] - через равенство длин, выраженных в каких-то единицах измерения (с. 14). Это второе соображение (первое указано и обосновано в [2]), по которому мы отвергаем преподнесение понятия равенства отрезков по методике [8].

Приведя примеры из жизни, подобные вышеописанным, преподаватель оживит занятие и тем самым подтвердит справедливость ранее сказанных слов о ценности генетического характера изложения материала. В.М. Брадис отмечает, что «генетический характер изложения противополагается аксиоматическому, при котором наука излагается в ее наиболее совершенном, законченном виде» (см. [1], c. 49). Настоящая ситуация с введением понятия равенства отрезков показывает, что это противоположение–противопоставление имеет место не всегда – здесь, на данном этапе изложения, они разумно сочетаются и исследование генезиса вопроса определило выбор оптимального состава аксиом, определяющих это понятие.

3.5. Далее, натуральные числа в средней школе обычно вводятся в первом классе с помощью счета предметов, естественно, без какого-либо определения и, естественно, без слова «натуральные». Словосочетание «натуральные числа» появляется в пятом классе - в учебнике [14]: «Для счета предметов применяются натуральные числа» (c. 5), в учебном пособии [15]: «Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … называются натуральными или целыми положительными числами» (с. 11). В одном из последних номеров журнала «Математика в школе» говорится, что в школе «лучше определять натуральные числа как «числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.»» (см. [16], с. 45). Такое определение натуральных чисел – очень неосторожное, ибо 1, 2, 3, … - это только одно из представлений натуральных чисел, их обозначения, символы. Учащиеся, получившие такое «определение», не будут различать числа и их имена. Этот вопрос подробно обсуждается в исследовании [17]: ««девять» - это не само число, а слово – название конкретного числа, точно так же, как «9» - это лишь знак, обозначающий это конкретное число» (с. 92). Не оправдывает авторов пособия [15], а скорее разоблачает их, и то, что через несколько строк они пишут: «Для записи натуральных чисел пользуются десятичной системой счисления, в основе которой лежат знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые цифрами» (с. 11). А ведь существуют и другие системы счисления, построенные аналогично десятичной (позиционные), а также совсем по-другому устроенные системы (непозиционные) - подробнее см. в [18], c. 53 – 62, или у автора в [5], с. 192 – 197, где на заставке к разделу «Системы счисления» показано двенадцать различных изображений числа 7.

На подготовительном факультете в условиях повторительного курса математики понятие натурального числа реально ввести с помощью аксиом Пеано. На возможность этого и на готовность к восприятию такой подачи обсуждаемого материала указано в цитируемой ранее статье [16]. Однако в большинстве пособий для поступающих в вузы натуральные числа вообще не определяются – видимо, считается, что их определение все знают, а в справочниках, которые призваны ответить на любой вопрос по школьной математике, они подаются так же, как в средней школе – на уровне пятого класса, см., например, [19], с. 4, или [20], с. 8, а в [21] на с. 31 читаем: «Натуральное число показывает количество элементов конечного множества» (!)

Вообще, в процессе преподавания данного вопроса целесообразно обратить внимание учащихся на то, что «понятие числа, возникшее как математическая модель операции пересчета предметов, само становится основой для построения новых математических моделей» (см. [3], с. 24). Ярким примером таких моделей и является система аксиом Пеано. После изучения этой аксиоматики последовательность символов 1, 2, 3, … может быть рассмотрена как одна из ее интерпретаций. При этом интересно отметить, что возможны и другие, необычные интерпретации системы аксиом Пеано – один из таких примеров приведен в [22] на с. 35 – 36.

Обратим особое внимание на то, что психологически учащийся в его 17 – 18 лет уже способен постичь все эти аксиомы, тем более что последняя из них – аксиома математической индукции разъяснит ему многое. Именно после изучения этой аксиомы он поймет смысл принципа полной математической индукции и сможет разумно применять его в своей практике доказательства различных предложений. Известный голландский ученый Г. Фройденталь обращает внимание на то, что во многих школьных учебниках «о необходимости доказательства даже не упоминается; в других случаях опять-таки пользуются шатким «и т. д. - методом». Для доказательства же неизбежно применение математической индукции» (см. [23], с. 111). О необходимости активного знакомства учащихся с методом полной индукции еще до их поступления в вуз говорится и в общепризнанных пособиях для поступающих в Московский университет Г.В. Дорофеева, М.К. Потапова, Н.Х. Розова (см., например, [24], с. 103).

Эти рассуждения имеют прямое отношение к теореме Фалеса, которая входит в нашу схему. Сравнив формулировку этой теоремы и ее доказательства, приведенные в различных школьных учебниках и пособиях для поступающих, например, в [8], с. 89 – 90; [19], с. 486 – 485, мы с полным правом можем сделать вывод о том, что доказательство чаще всего проводится только для трех параллельных прямых; в лучшем случае в конце доказательства делается замечание: «Также докажем равенство и других отрезков …» (см. [10], с. 57) или «Аналогично можно доказать, что В₂В₃=В₃В₄ и т. д.» (см. [7], с. 102). Введя в содержание обучения аксиомы Пеано и тем самым превратив метод полной математической индукции в рабочий, мы сможем предложить учащимся полноценное доказательство как теоремы Фалеса, так и некоторых других теорем, обычно доказываемых в школьных учебниках «и т. д. - методом».

Рассмотренный пример демонстрирует принцип единства генетичности и научности в процессе конструирования модели содержания и соответствующей методики его преподавания.

[1] Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М., 1954. – 504 с.

[2] Кузнецова Т.И. К вопросу о принципе единства исторического и логического в преподавании повторительного курса математики в условиях предвузовского образования // Вестник ЦМО МГУ, № 3, ч. 3. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. Центр международного образования: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 2000, с. 54 – 85.

[3] Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев, Л.А. Калужнин, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1980. – 240 с.

[4] Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с.

[5] Брычков Е.Ю., Кузнецова Т.И. Введение в информатику: Уч. пос. – М.: УРСС, 1997. – 208 с.

[6] Кузнецова Т.И., Грибков И.В. Геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. – 108 с.

[7] Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 335 с.

[8] Погорелов А.В. Геометрия, 7 – 11. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 383 с.

[9] Бахвалов С.В., Иваницкая В.П. Основания геометрии (главы высшей геометрии), ч. 1: Уч. пос. для вузов. – М.: Высшая школа, 1972. – 280 с.

[10] Киселев А.П. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1996. – 287 с.

[11] Никитин Н.Н. Геометрия: учебник для VI класса. – 5-е изд. – М.: Учпедгиз, 1960. – 78 с.

[12] Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.

[13] Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер,. В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.

[14] Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика: Учебник для 5 класса средней школы. – 2-е изд. - М., 1990. – 304 с.

[15] Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика: Пособие для самообразования. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 384 с.

[16] Ларин С.В. Целые числа и житейские представления о них // Математика в школе, 2001, № 2, с. 44 – 49.

[17] Фридман Л.М. Величины и числа. – М.: МПСИ: Флинта, 2000. – 224 с.

[18] Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – 24-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. – 336 с.

[19] Математика. Справочник абитуриента / О.А. Смирнов. – М.: Филол. об-во «Слово», АСТ, Компания «Ключ-С», ЦГН при ф-те журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997. – 576 с.

[20] Якушева Е.В., Попов А.В., Якушев А.Г. Математика. Ответы на вопросы. Устный экзамен, теория и практика. – М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. – 192 с.

[21] Математика. Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с нем. – М.: Дрофа, 1999. – 368 с.

[22] Драбкина М.Е. Основания арифметики. – Минск, 1962. – 207 с.

[23] Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I. Пособие для учителей / Под ред. Н.Я. Виленкина; сокр. Пер. с нем. А.Я. Халамайзера. – М.: Просвещение, 1982. – 208 с.