Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе
жүктеу/скачать 66.91 Kb.
|
Базис и размерность линейного пространства.Координаты вектора в данном базисе.Система векторов 1. Все базисы состоят из одного и того же числа векторов. Если число векторов в базисе линейного пространства L равно 2. Всякая система из 3. Всякая линейно независимая система векторов 4. Всякую линейно независимую систему векторов 5. Если Пример 1. Доказать, что многочлены  cоставляют базис пространства Pn(x) Указать размерность этого пространства и координаты многочлена а0+а1х+…+аnxn в этом базисе.
Решение. Система многочленов является линейно независимой, так как f0∙1+f1∙x+…+fn∙xn = 0 в том и только в том случае, когда f0 = f1 =…= fn= 0. Если к этой системе многочленов добавить любой многочлен вида  из Pn(x), то получим линейно зависимую систему, так как многочлен  является линейной комбинацией многочленов .
Действительно, Пример 2. Доказать, что матрицы     составляют базис линейного действительного пространства M2 матриц второго порядка Указать размерность пространства M2. Найти координаты вектора  в этом базисе.
Решение. Согласно определению нужно доказать, что система векторов E1, E2, E3, E4 линейно независима и любая матрица из M2 является их линейной комбинацией. Система E1, E2, E3, E4 линейно независима. Так как произвольная матрица  может быть представлена в виде:  , то E1, E2, E3, E4 составляют базис пространства M2 и размерность его равна 4.
Координаты вектора Пример 3. Пусть е1,…,еn базис пространства L. Каждому вектору х  L поставим в соответствие строку его координат хе в этом базисе  Тогда справедливы следующие утверждения:
1) векторы 2) если вектор u линейно выражается через систему 3) ранг системы векторов Замечание 1. Приведённые утверждения в примере 3 можно сформулировать и для столбцов, т.е. если каждому вектору х L поставить в соответствие столбец его координат хе в этом базисе 
Замечание 2. Понятие базиса системы векторов и ее ранга вводится аналогично. Если  – некоторая система векторов из L, то всякая ее максимальная линейно независимая подсистема называется базисом этой системы. Оказывается, все базисы системы векторов содержат одно и то же число векторов. Число векторов, составляющих базис системы векторов, называется ее рангом.
Пример 4. Найти базис и ранг системы многочленов  ,  ,  ,  ,  .
Решение. Согласно приведённым в предыдущей задаче утверждениям составим матрицу, строки которой являются координатными строками данных многочленов. Так как эта матрица имеет вид  и ее миноры  ,  ,  , то ранг этой матрицы равен 3. Следовательно, ранг системы координатных строк, а потому и ранг системы многочленов равен 3. Один из базисов составляют те многочлены, координатные строки которых вошли в минор М3, т.е.  ,  ,  .
Пример 5. Показать, что в линейном  -мерном пространстве  критерием линейной независимости векторов служит отличие от нуля определителя, составленного из координатных строк этих векторов.
Решение. Пусть  – векторы из , а  – их координатные строки. Составим матрицу
 .
Так как эта матрица квадратная и ее строки линейно независимы, то Проводя рассуждения в обратном порядке, мы приходим к следующему заключению: если определитель порядка Так как этот определитель отличен от нуля, то система векторов 
Решая систему, получаем Задачи для самостоятельного решения (в аудитории).
жүктеу/скачать 66.91 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
линейного пространства 
называется максимальной линейно независимой системой в 
, то его нулевой вектор 0 сам составляет линейное пространство над полем 
вектор, линейно зависима, любая линейно независимая система состоит не более чем из 
, содержится в некотором базисе 
базис линейного пространства 
можно разложить по базису, т.е. представить в виде 
Это разложение для 
единственно. Коэффициенты 
называются координатами вектора 
.
Следовательно, система многочленов 
в этом базисе являются числа 
. 
.
тогда и только тогда линейно зависимы (независимы), когда их координатные строки 
линейно зависимы (независимы);
, т.е. 
, то это же верно для строк 
, причем 
и обратно;
равен рангу системы их строк 
.
.
составляют базис пространства 
. Найти координаты вектора 3х2−х−3 в этом базисе.
в этом базисе: 
. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного
, 
, 
– координаты многочлена 
.
, 
,…, 
является базисом пространства An.
, 
– действительные числа, образует линейное действительное пространство. Найти его размерность и базис.
составляет базис пространства 
. Найти координаты многочлена 
в этом базисе.
является базисом пространства 
. Найти координаты вектора 
в этом базисе.
и записать все ее базисы.
найти какой-нибудь базис. Через него линейно выразить все векторы системы.
ранга 
, содержащая пропорциональные векторы, отличные от нуля?
где 
Найти все базисы системы, содержащие вектор 
можно дополнить до базиса этой системы.
Доказать, что любая ее линейно независимая подсистема из 
векторов образует базис этой системы.
Разложить векторы системы по какому-либо ее базису.