Лекция 1. Множества. Элементы теории множеств. Принцип включения- исключения. - Принцип включения-исключения является важнейшим математическим инструментом в различных разделах математики: комбинаторике, теории вероятности, теории множеств.
Формула сложения - Если два множества состоят из конечного
- числа элементов, то, как видно из рисунка,
- число элементов, входящих в их
- объединение, выражается формулой:
Если же свойств три, то можно по аналогии определить множества Задача 1. - На экзамене по математике были предложены 3 задачи: одна по алгебре, одна по геометрии, одна по тригонометрии. Из 1000 абитуриентов, решавших их, задачу по алгебре решили 800 человек, по геометрии – 700, а по тригонометрии – 600 человек. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и тригонометрии – 500, по геометрии и тригонометрии – 400. А 300 абитуриентов решили все три задачи. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?
Задача 2 - Из 100 опрошенных студентов филологического факультета 24 не изучают ни английский, ни немецкий, ни французский языки, 48 человек изучали английский, 8 – английский и немецкий, 26 – французский, 8 – французский и английский, 13 – французский и немецкий, 28 – немецкий. Сколько среди опрошенных студентов изучают английский, французский и немецкий языки одновременно?
Задача 3 - На дискотеке 80% времени был выключен свет, 90% времени играла музыка, и 50% времени шел дождь. Какую минимальную часть времени все это могло происходить одновременно?
1. Множества - Совокупность объектов, определяемых некоторым свойством, присущим каждому из них, называется множеством.
- Каждый объект, входящий в множество, называется его элементом, а свойство их объединяющее – характеристическим свойством множества.
- Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита: A,B,C…, либо буквами с нижними индексами A1,A2 …, элементы множества – соответствующими малыми латинскими буквами.
Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . - Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .
- Обозначение:
- Каждое множество является подмножеством (несобственным) самого себя .
- Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом (квантором) .
-
- Парадокс брадобрея.
- В одном полку служил парикмахер. Однажды командир с целью экономии времени приказал ему брить только тех, кто не бреется сам. Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, т.к. работы для него стало меньше. Но потом он задумался: а кто будет брить его самого?
Другая версия парадокса. - Другая версия парадокса.
- Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает тем свойством, которое определяет. Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное. Прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (состоит из трех слогов). А прилагательное «четырехсложный» – нерефлексивное (состоит из пяти слогов).
- Интересно: а прилагаемое «трудновыговариваемое» рефлексивно или нет?
- Следовательно, все прилагательные можно разделить на два множества: рефлексивные и нерефлексивные прилагательные. Но рассмотрим само прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?
2. Операции над множествами Определение. Пересечением двух множеств и называется множество, элементами которого являются элементы, входящие в каждое из этих множеств - Определение. Пересечением двух множеств и называется множество, элементами которого являются элементы, входящие в каждое из этих множеств
Достарыңызбен бөлісу: |
