Лекция Основы вариационного исчисления

Содержание лекции:

понятие функционала; вариация аргумента; непрерывность; близость функций; линейные функционалы; вариация функционала; максимум и минимум функционала; необходимые условия эстремума функционала; уравнение Эйлера; примеры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функционалами называются переменные величины, значения которых зависят от выбора одной или нескольких функций функций одной или нескольких переменных.

Функционал от одной функции одного переменного:

Определение: Переменная величина называется функционалом, зависящим от функций из выранного класса функций, т.е.

,

если для каждой функции , данного класса определено число

если для малой величины

...............................

для всех

для всех функций , удовлетворяющих условиям:

...............................

для всех

Другими словами вариацией функционала называется линейная по отношению к вариации аргумента часть его приращения.

С практической точки зрения удобно следующее представление вариации функционала

(1)

Определение: Функционал имеет локальный максимум при , если для любой функции близкой к выполняется неравенство . Если близость нулевого порядка, то максимум называется сильным, если первого и выше, то слабым. Аналогично определяется минимум функционала.

Как и для функций необходимыми условиями существования экстремума непрерывного функционала, имеющего вариацию, является равенство нулю вариации функционала.

Действительно, пусть экстремальное значение функционала достигается на кривой , а кривая близка к . Рассмотрим семейство функций

На кривых этого семейства функционал будет просто функцией переменной , т.е.

отсюда следует необходимое условие экстремума функционала, а именно при локального экстремума вариация функционала должна быть равной нулю

Для рассматриваемого функционала функция будет иметь вид

Рассмотрим отдельно производные, входящие в (3)

Учитывая второе равенство (4), получим

В силу граничных условий вариация на границах, т.е. при Поэтому условие равенства нулю вариации функционала , согласно (3) примет вид

или в развернутом виде

Уравнение (5), это одно из основных уравнений вариационного исчисления – уравнение Эйлера для нахождения функций, на которых функционал принимает экстремальное значение. Рассмотрим несколько примеров использования уравнения Эйлера.

Пример 1. Найти экстремальные кривые функционала

Находим: Отсюда уравнение Эйлера в данном конкретном случае будет иметь вид Экстремальные кривые , а решение нашей задачи

Пример 2. Найти экстремальные кривые функционала (минимум длины кривой рис.1)

Рис.1

Уравнение Эйлера:

Пример 3. Найти экстремальную кривую, соответствующую минимальной площади поверхности вращения (рис.2).

Рис.2

Так как

Если уравнение Эйлера умножить на , получим .

Это уравнение имеет первый интеграл

Подстановка дает

Или после исключения уравнение цепной линии

Пример 4. Найти кривую, проходящую через две заданные на плоскость точки при условии минимума времени движения материальной точки по данной кривой в поле сил тяжести, считая связь идеальной (трения нет) рис3.

Рис.3

Подстановка приводит к последовательным результатам:

Это кривая из семейства циклоид. По такой кривой движется точка обода колеса при качении по прямой без проскальзывания.

Функционал от нескольких переменных ( например). Экстремум определяется аналогично экстремуму функции нескольких переменных. Сначала рассматривается , затем В каждом из этих случаев получается свое уравнение Эйлера, а вместе они дают систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

Система (6) в этом случае будет такой

С учетом граничных значений получим

раз, получим с учетом равенства нулю на границах вариаций

Рис.4

где вектор линейной плотности распределенных нагрузок, вектор касательной к срединному волокну балки, длина выделенного элемента.

Если считать прогибы малыми и рассматривать плоский случай, то

.

В проекции на ось получим для равновесия сил:

В проекции моментов на ось получим из равновесия моментов:

Если считать, что сечения балки, нормальные к срединному волокну, остаются таковыми и после деформации, а материал балки упругий то (кривизна срединного волокна, в случае малых прогибов ) В качестве распределенных сил рассмотрим силы тяжести С учетом этого получим для прогибов балки уравнение:

В рассматриваемой задаче граничными условиями будут условия жесткой заделки:

Решением уравнения (10) будет функция

Рассмотрим зкстремум функционала .

Рассмотрим семейство функций

Как и ранее будем пользоваться представлением вариации функционала в форме

Введем обозначения: тогда

С учетом введенных обозначений вариацию функционала можно представить в виде

Воспользуемся тем, что

Подстановка выражений из (12) в (11) дает

где означает полную производную по при и аналогично полную производную по при Если расписать эти производные, получим

Тогда из (11),(13) следует, что

Из условия равенства нулю вариации получим уравнение Остроградского (1834 г.):

где

Это уравнение в частных производных с соответствующим граничным условием позволяет определить экстремаль функционала

Пример 1. Найти экстремаль функционала

В рассматриваемом случае

Таким образом эстремаль функционала представляет решение задачи дирихле для уравнения Лапласа.

Пример 2. Найти экстремаль функционала

Уравнение Остроградского дает

Таким образом экстремаль функционала в этом случае представляет решение уравнения Пуассона для данной области.

Пример 2. Найти поверхность минимальной площади, натянутую на контур С функционала

Это мыльного пузыря, натянутого на контур. Уравнение Остроградского при этом имеет вид

Составим новую функцию (неопределенные множители Лагранжа) и будем искать экстремум функционала

дополненную уравнениями связей

где , найти уравнения движения системы материальных точек массы с координатами под действием сил, с потенциалом при наличии связей

Найдем экстремали функционала

Вспомогательный функционал

Система уравнений Эйлера:

и уравнения связей замкнутая система уравнений относительно