Математикалық талдау курсынан белгілі Тейлор формуласын комплекс айнымалы функцияға да орындалатынын корсетіп, соның негізінде берілген нүктенің аймағында аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелетінін дәлелдейік.
Тейлор қатары
Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы бізге белгілі: 1+q++…+=; Бұл формуланы басқа түрде жазайық: =1+q++…+=; ƒ (z) функциясы D облысында аналитикалық және нүктесі D облысында жатсын. Онда = = = =+++…++;
Соңғы теңдіктің екі жағын ƒ(ζ) өрнегіне көбейтіп және D облысында жатқан z және нүктелерін
қамтитын түйық γ контурының бойымен интегралдайық: Коши формуласын және жоғарғы ретті туындылар формуласын ескерсек, онда келесі теңцікке келеміз: +,
мұнда R - қалдық мүшесі,
Лоран қатары Енді | дәрежелік қатарына жіктеу есебін қарастырайық. Теорема. | Теорема. | , (1.1) мұнда . (1.2) у – дегеніміз нүктесін қамтитын, | |= Анықтамалар - 1. коэффициенттері (1.2) формуласымен есептелетін
- 2. .
- Лоран қатарының дұрыс бөлігі
3. болғанда | , центрі ойып алынған дөңпегелек аламыз. нүктесі функцияның ерекше нүктесі, бұл жағдай функцияны ерекше нүктенің аймағында жіктеу деп аталады.
4. болғанда облысы дөңгелектің сыртқы нүктелері. Дербес жағдайда =0 болса, онда центрі бас нүктеде жатқан дөңгелектің сырты. Бұл жағдай функцияны шек- сіз алыс нүкте аймағында жіктеу деп аталады және келесі түрде жазылады:
Достарыңызбен бөлісу: |