Дәріс тақырыбы: Туынды туралы ұғым. Туындының анықтамасы. Туындылар кестесі. Туындының геометриялық, физикалық мағыналары

жүктеу/скачать 47.92 Kb.

бет	1/2
Дата	15.02.2024
өлшемі	47.92 Kb.
	#491815

1 2

Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері, 1-дәріс (1)

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі
Қарағанды техникалық университеті

Дәріс тақырыбы: Туынды туралы ұғым.
Туындының анықтамасы. Туындылар кестесі. Туындының геометриялық, физикалық мағыналары.
«Жоғары математика» кафедрасы Авторы: доцент, т.ғ.к Шаихова Г.С

Дәріс жоспары:

Туындының анықтамасы. Туындылар кестесі.
Туындының геометриялық, физикалық мағыналары. 3.Күрделі функция туындысы

Айқындалмаған, параметрлік түрде берілген функция

туындысы.

Логарифмдік дифференциалдар. Жоғары ретті туындылар. Лопиталь ережесі.

Функцияның туындысы туралы ұғым

y  f (x)

функциясы қандайда бір

(a;b)

интервалында анықталсын.

x  (a;b)

-осы интервалдың белгілі бір нүктесі болсын.

х аргументіне

сәйкес

x:
x  x  (a;b)

өсімшесін берейік, онда функция

y 
f (x  x) 
f (x)

x
өсімшесін қабылдайды.

^^y функция өсімшесінің аргумент

өсімшесіне қатынасын құрайық, ол

__х_,_х___х_аралығындағы у

функциясының х-ке қарағанда өзгеруінің орташа жылдамдығын

анықтайды.

Анықтама.
y  f (x)
функциясының өсімшесінің аргумент өсімшесіне

қатынасының, аргументтің өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса,

онда оны осы
y  f (x)
функциясының туындысы деп атайды және

^f^f ^(x) ^dy^y^

x ^,^,
dx ^,
_x символдарының бірі арқылы белгілейді.

Сонымен, анықтама бойынша:

y^
lim
x0
f (x  x) 
x
f (x)
(3)

₍_a_;_b₎интервалының әрбір нүктесінде туындысы болатын
y  f (x)

функциясы осы интервалда дифференциалданатын функция деп аталады,

функция туындысын табу амалы – дифференциалдау амалы деп аталады.

y  f (x)
функциясының
х  х₀
нүктесіндегі туындысының мәні
f ^(x₀)


^yxx₀
немесе
y^(x₀)
арқылы белгіленеді.

1-мысал.

Шешуі:
^y^^х2 функциясының туындысын тап.

х аргументіне __х

өсімшесін береміз;

^{функция}^{өсімшесін}^{табамыз:}y: y  (х  x)²

х²

 2х  х  (x)²

y

^-x

қатынасын табайық,

y _
x
2х  х  х²
x

 2х  х

-осы қатынастың шегін табайық:

^{Осылайшы,}х ² ^ 2х ^.
lim ^^y
x0 __x
 lim2х  х  2х
x0

t
Туындының физикалық мағынасы. Түзу сызықты қозғалыс жылдамдығы

туралы есептеу
V  lim ^^S
t0 __t
алынған. Бұл теңдікті
V  S ^
түрінде қайта жазсақ,

бұл материалдық нүктенің t уақыт мезетіндегі түзу сызықты қозғалысының
жылдамдығы осы процестің өту жылдамдығына тең болатындығын
көрсетеді.

Жалпылай айтсақ,
y  f (x)
функциясы қандайда физикалық процесті

көрсетсе, онда туындысы осы процестің өту жылдамдығын көрсетеді.

Туындының геометриялық мағынасы. Қисыққа жүргізілген жанама

туралы есепте жанаманың бұрыштық коэффициенті
k  tg
 lim ^^y

табылған болатын. Осы теңдікті

f ^(x)  tg  k
x0 __x
түрінде жазамыз, яғни х

нүктесіндегі
f ^(x)
туындысы
y  f (x)
функциясының графигіне абсциссасы

х-ке тең нүктедегі жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффициентіне
тең.

Егер М жанасу нүктесінің координатасы
(х₀; у₀)
болса, онда

жанаманың бұрыштық коэффициенті
k  f ^(x₀)
тең. Берілген нүкте арқылы

берілген бағытта өтетін түзудің теңдеуінің
y  y₀
 k(x  x₀ )

көмегімен жанаманың теңдеуін жазуға болады:

y  y₀
f ^x₀x  x₀

Жанамаға жанасу нүктесінде жүргізілген перпендикуляр қисыққа жүргізілген нормаль деп аталады. Нормаль жанамаға перпендикуляр
болғандықтан, оның бұрыштық коэффициенті мынаған тең:

^kнорм.
 - ¹^kжан.
 - ¹
f ^(x₀)

Сондықтан нормальдың теңдеуі мынадай түрде жазылады:

(егер
f ^(x)  0
болса).

y  y₀
 - ¹
f ^(x₀)

 (x  x₀ )

Функцияның үзіліссіздігі мен дифференциалдануы арасындағы байланыс
1-теорема. Егер функция қандай да нүктеде дифференциалданса, онда
функция сол нүктеде үзіліссіз .

Функцияларды дифферециалдау ережелері

Функцияның туындысының анықтамасы бойынша табу көп жағдайда
белгілі бірқиындықтар мен ұштасып жатады. Ал, практикада функцияны
белгілі формулалар мен ережелердің көмегімен дифференциалдайды.

u  u(x)
және
v  v(x)
функциялары қандай да
(a;b)
интервалында

дифференциалданатын болсын.

2-теорема. Екі функцияның қосындысының (айырмасының)
туындысы осы функциялардың туындыларының қосындысына
(айырмасына) тең:
u  v^ u^ v^

теорема. Екі функцияның көбейтіндісінің туындысы бірінші

көбейткіштердің туындысын екінші көбейткішке көбейтіп, екінші көбейткіштің туындысын бірінші көбейткішке көбейтіп қосқанға:

u  v^
 u^v  uv^

теорема.

u(x)

v(x)
бөлшегінің туындысы алымының туындысын бөліміне

көбейтіп, бөлімінің туындысын алымына көбейтіп, олардың айырымы

бөлімінің квадратына тең болады:

 ^u^
 _v
_u^ v  u  v^
_v2

, v  0
^,v(x)  0^.

 

Күрделі және кері функцияның туындысы

y  f (u)
және
u  (x)
болсын. Сонда
y  f ((x)) 
аралық u

аргументті және x тәуелсіз аргументті күрделі функция.

1-теорема. Егер
u  (x)
функциясының x нүктесінде
_u_x
туындысы,

ал сәйкес
u  (x)
нүктесінде
y  f (u)
функциясының
_y_u
туындысы бар

болса, онда
y  f ((x))
күрделі функция х нүктесінде
_y_x
туындысы бар

және ол келесі:

_y_x

 y_u^

 u^_x

(1)

формуласы арқылы табылады.

2-теорема.

y  f (x)
функциясы
(a;b)
интервалында қатаң

Монотонды болса және осы интервалдың кез келген нүктесінде 0-ге тең

емес
f ^(x)
туындысы бар болса, онда берілген функцияға кері
x  ( y)

функциясы да сәйкес нүктелерде
^( y)  ¹
немесе ^x^^¹
теңдіктерімен

анықталатын

 ^( y)

туындысы болады.

f ^(x)

x
y _y_

Дифференциалдау формулалары

Практикада күрделі функцияның туындысын табу жиі кездеседі.
Сондықтан, төменде көрсетілген дифференциалдау формулалардың
кестесінде «х» аргументі аралық «u» аргументімен ауыстырылған.

1) c^
2) ^^u^^
 0 ;
^^^^u^^¹^^u^, дербес жағдайда
 u ^

¹ u^^;
2

3) a^u ^
 a^u
 ln a  u^, дербес жағдайда
e^u ^
 e^u  u^^;

⁴⁾log_a
u^
_1
u  ln a
__u_, дербес жағдайда
ln u^
 ¹ u^^;
u

⁵⁾sinu^
 cosu  u^^;
⁶⁾cosu^
 sinu  u^^;
7) tg u^
_1
cos² u
 u^;

8) ctg u^
  ¹
sin² u
 u^;
9) arcsinu^
¹  u^;
10)
arccosu^  ¹
 u^^;

11)
arctgu^
_1
1  u ²
 u^_;

12)
arcctgu^

  ¹
1  u ²

 u^_;

13)
shu^
 ch u  u^^;
15)
thu^
¹ u^_;

_ch ² u

14)
ch u
 shu  u^^;
16)
cthu^
 ¹ u^_;
sh² u