Математическая логика, основанная на теории типов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, ОСНОВАННАЯ НА ТЕОРИИ ТИПОВ

Перевод выполнен при поддержке грантов РГНФ № 03-03-00363 и РФФИ № 03-06-80359.

Нижеследующая теория символической логики зарекомендовала себя прежде всего своей способностью решать определённые противоречия, из которых математикам лучше всего известен парадокс Бурали-Форти, касающийся наибольшего ординала¹. Но рассматриваемая теория не зависит всецело от этой косвенной рекомендации; она, если я не ошибаюсь, к тому же определённо созвучна здравому смыслу, который в своей основе делает её правдоподобной. Однако это не та заслуга, на которой следовало бы слишком настаивать, ибо здравый смысл в гораздо большей степени подвержен ошибкам, чем обычно считается. Таким образом, я начну с формулировки некоторых противоречий, которые должны быть разрешены, а затем покажу, каким образом теория логических типов формирует своё решение.

I. ПАРАДОКСЫ
(1) Старейшим противоречием рассматриваемого вида, является парадокс Эпименида. Критянин Эпименид сказал, что все критяне лжецы, и все высказывания, сделанные критянами, определённо ложны. Ложно ли высказывание самого Эпименида? Простейшую форму этого противоречия предоставляет человек, который говорит ‘Я сейчас лгу’; если он лжёт, он говорит правду, и наоборот.

(2) Пусть w – это класс всех тех классов, которые не являются элементами самих себя. Тогда, каким бы ни был класс х, ‘х есть w’ эквивалентно ‘х не есть х’². Поэтому, если х придать значение w, то ‘w есть w’ эквивалентно ‘w не есть w’.

(3) Пусть Т – отношение, которое имеет место между двумя отношениями R и S всегда, когда R не имеет отношение R к S. Тогда, какими бы ни были отношения R и S, ‘R имеет отношение Т к S’ эквивалентно ‘R не имеет отношение R к S’. Следовательно, если придать значение Т как R, так и S, то ‘Т имеет отношение Т к Т’ эквивалентно ‘Т не имеет отношение Т к Т’.

(4) Число слов в русских названиях конечных целых чисел возрастает по мере возрастания чисел и должно постепенно увеличиваться неограниченно, поскольку при заданном конечном числе слов может быть создано только конечное число имён. Поэтому, имена некоторых чисел должны состоять по меньшей мере из десяти слов, и среди них должно быть наименьшее. Следовательно, ‘наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ должно обозначать определённое число. Но ‘наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ само является именем, состоящим из девяти слов; стало быть, наименьшее целое число, не именуемое менее, чем десятью словами, может быть наименовано девятью словами, что является противоречием¹.

(5) Среди трансфинитных ординалов некоторые могут быть определены, а некоторые – нет; ибо совокупное число возможных определений есть א₀, тогда как число трансфинитных ординалов превышает א₀. Следовательно, должны быть неопределимые ординалы, и среди них должен быть наименьший. Но он и определяется как ‘наименьший неопределимый ординал’, что является противоречием².

(6) Парадокс Ришара родственен парадоксу о наименьшем неопределимом ординале³. Он состоит в следующем: Рассмотрим все десятичные дроби, которые могут быть определены посредством конечного числа слов; пусть Е будет классом таких дробей. Тогда Е имеет א₀ элементов; следовательно, его члены могут быть упорядочены как 1-ый, 2-ой, 3-ий … Пусть N будет числом, определяемым следующим образом: Если n-ая цифра в n-ой дроби есть р, то пусть n-ая цифра в N будет р + 1 (или 0, если р = 9). Тогда N отлична от всех членов Е, поскольку, каким бы не было конечное значение n, n-ая цифра в N отлична от n-ой цифры в n-ных дробях, составляющих Е, и, следовательно, N отлична от n-ой дроби. Тем не менее, мы определили N с помощью конечного числа слов и, следовательно, N должна быть членом Е. Таким образом, N и является, и не является членом Е.

(7) Парадокс Бурали-Форти формулируется следующим образом⁴: Можно показать, что каждая вполне упорядоченная последовательность имеет ординальное число, что последовательность ординалов, возрастающая и включающая любой данный ординал, превышает данный ординал на один, и (на весьма надёжных и естественных предпосылках) что последовательность всех ординалов (в порядке увеличения) является вполне упорядоченной. Отсюда следует, что последовательность всех ординалов имеет ординальное число, скажем, . Но в этом случае последовательность всех ординалов, включающих , имеет ординальное число  + 1, которое должно быть больше, чем . Следовательно,  не является ординальным числом всех ординалов.

У всех указанных выше противоречий (которые суть лишь выборка из бесконечного числа) есть общая характеристика, которую мы можем описать как самореферентность или рефлексивность. Замечание Эпименида должно включать само себя в свою собственную сферу. Если все классы, при условии, что они не являются элементами самих себя, являются элементами w, то это должно применяться также и к w; то же самое относится к аналогичному противоречию с отношениями. В случае имён и определений парадоксы вытекают из рассмотрения неименуемости и неопределимости как элементов имён и определений. В случае парадокса Бурали-Форти последовательность, чьё ординальное число вызывает затруднение, является последовательностью всех ординальных чисел. В каждом противоречии нечто говорится о всех случая некоторого рода, и из того, что говорится, по-видимому, производится новый случай, который как относится, так и не относится к тому же самому роду, что и те случаи, все из которых рассматривались в том, что было сказано. Просмотрим противоречия одно за другим и увидим, как это происходит.

(1) Когда человек говорит ‘Я сейчас лгу’, мы можем интерпретировать его высказывание как: ‘Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной’. Все высказывания, что ‘существует’ то-то и то-то могут рассматриваться как отрицание того, что противоположное всегда истинно. Таким образом, ‘Я сейчас лгу’ становится: ‘Не для всех пропозиций верно, что или я их не утверждаю, или они являются истинными’; другими словами, ‘Не верно для всех пропозиций р, что если я утверждаю р, р – истинно’. Парадокс вытекает из рассмотрения этого высказывания как утверждающего пропозицию, которая, стало быть, должна входить в сферу высказывания. Это, однако, делает очевидным то, что понятие ‘все пропозиции’ является незаконным; ибо, в противном случае, должна быть пропозиция (типа указанной выше), которая говорит о всех пропозициях и, тем не менее, не может быть включена в совокупное целое пропозиций, о которых она говорит, без противоречия. Что бы мы не полагали в качестве совокупного целого пропозиций, высказывание об этой целостности порождает новую пропозицию, которая, под угрозой противоречия, должна лежать вне рассматриваемой целостности. Увеличивать совокупное целое бесполезно, ибо это равным образом увеличивает сферу высказываний об этой целостности. Следовательно, совокупного целого пропозиций быть не должно, а ‘все пропозиции’ должно быть бессмысленной фразой.

(2) В этом случае класс w определяется указанием на ‘все классы’, а затем оказывается, что он является одним среди них. Если мы находим помощь, решив, что класс не является элементом самого себя, тогда w становится классом всех классов, и мы должны решить, что он не является элементом самого себя, т.е. не является классом. Это – единственная возможность, если не существует такой вещи как класс всех классов в смысле, требуемом этим парадоксом. То, что такого класса нет, вытекает из того, что если мы предположим его существование, эта предположение немедленно возрождает (как в указанном выше противоречии) новые классы, лежащие вне предполагаемого совокупного целого всех классов.

(3) Этот случай в точности аналогичен (2) и показывает, что мы не можем на законных основаниях говорить о ‘всех отношениях’.

(4) ‘Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ включает совокупное целое имён, ибо оно представляет собой ‘наименьшее целое число такое, что все имена либо не применимы к нему, или состоят из более чем десяти слов’. Здесь при получении противоречия мы предполагаем, что фраза, содержащая ‘все имена’, сама является именем, хотя из противоречия видно, что она не может быть одним из имён, относительно которых предполагалось, что это все существующие имена. Следовательно, ‘все имена’ есть незаконное понятие.

(5) Этот случай сходным образом показывает, что незаконным понятием является и ‘все определения’.

(6) Это противоречие решается подобно (5), если заметить, что ‘все определения’ – понятие незаконное. Поэтому, число Е не определимо конечным числом слов, будучи фактически не определимым вообще¹.

(7) Противоречие Бурали-Форти показывает, что ‘все ординалы’ незаконное понятие; ибо, в противном случае, все ординалы в порядке увеличения образуют вполне упорядоченную последовательность, которая должна иметь ординальное число большее, чем все ординалы.
Таким образом, все наши противоречия в общем допускают совокупное целое, такое, что если бы оно было законным, то сразу увеличивалось бы за счёт новых элементов, определимых в терминах его самого.

Это приводит нас к правилу: ‘То, что включает всё из совокупности, не должно быть элементом совокупности’; или, наоборот: ‘Если определённая совокупность, при условии, что она обладает целостностью, имела бы элементы, определимые только с точки зрения этой целостности, то эта совокупность не обладает целостностью’².

Указанный выше принцип в своей области является, однако, чисто отрицательным. Он подходит для того, чтобы показать, что многие теории являются ошибочными, но он не показывает, как нужно избавляться от ошибок. Мы не можем сказать: ‘Говоря о всех пропозициях, я подразумеваю все пропозиции, кроме тех, в которых упоминаются “все пропозиции”’; ибо в этом объяснении мы упомянули пропозиции, в которых упоминаются все пропозиции, чего нельзя сделать осмысленно. Невозможно избежать упоминания вещи, упоминая, что мы не хотели её упоминать. Говоря о человеке с длинным носом, можно сказать: ‘Когда я говорю о носах, я исключаю столь необычно длинные’, но это вряд ли было бы успешной попыткой избежать щекотливой темы. Таким образом, если мы не хотим погрешить против указанного выше негативного принципа, необходимо сконструировать нашу логику без упоминания таких вещей как ‘все пропозиции’ или ‘все свойства’ и даже без необходимости говорить, что мы такие вещи исключаем. Это исключение должно естественно и неизбежно вытекать из нашей позитивной доктрины, которая должна сделать ясным, что ‘все пропозиции’ и ‘все свойства’ являются бессмысленными фразами.

Первое встающее перед нами затруднение касается фундаментальных принципов логики, известных под затейливым названием ‘законы мышления’. Например, ‘Все пропозиции являются либо истинными, либо ложными’ становится бессмысленным. Если бы это положение было значимым, оно было бы пропозицией и попадало бы в свою собственную сферу действия. Тем не менее, должна быть найдена некоторая замена, или всякое общее рассмотрение дедукции становится невозможным.

Другое, более специальное затруднение иллюстрируется частным случаем математической индукции. Мы хотим быть в состоянии сказать: ‘Если n является конечным целым числом, то n имеет все свойства, предполагаемые 0 и числами, следующими за всеми теми числами, которые предполагают эти свойства’. Но здесь фраза ‘все свойства’ должна быть заменена некоторой другой фразой, которая закрыта для тех же самых возражений. Можно допустить, что фраза ‘все свойства, предполагаемые 0 и числами, следующими за всеми теми числами, которые предполагают эти свойства’ может быть законно обоснованной, даже если фраза ‘все свойства’ – нет. Но фактически это не так. Мы найдём, что фразы формы ‘все свойства, которые etc.’ включают все свойства, для которых ‘etc.’ может значимо утверждаться или отрицаться, а не только те, которые фактически имеют какую-то рассматриваемую характеристику; ибо в отсутствии списка свойств, обладающих этой характеристикой, выказывание о всех свойствах, которые имеют эту характеристику, должно быть гипотетическим и иметь форму: ‘Всегда истинно, что если свойство имеет указанную характеристику, тогда etc.’ Таким образом, математическую индукцию prima facie невозможно сформулировать осмысленно, если фраза ‘все свойства’ лишена смысла. Как мы увидим позже, этого затруднения можно избежать; но сейчас мы должны рассмотреть законы логики, поскольку они являются гораздо более фундаментальными.

II. ВСЕ И КАКОЙ-ТО

Различие между (1), утверждающим какое-то значение пропозициональной функции, и (2), утверждающим, что функция всегда истинна, подобно различию между общими и частными изложениями у Евклида прослеживается через всю математику. В любой цепи математического рассуждения объекты, свойства которых исследуются, являются аргументами какого-то значения некоторой пропозициональной функции. Для иллюстрации возьмём следующее определение:

‘Мы называем f(x) непрерывной для х = а, если для каждого положительного числа , отличного от 0, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для значений , которые численно меньше , разность f(a +  )– f(a) численно меньше .’