ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ ОмГПУ в Г. ТАРЕ
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы"
Тара, 1998г.
ББК Печатается по решению редакционно-издательского
22я73 сектора филиала ОмГПУ в г.Таре
Ч67
Числовые системы : Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы" (Сост.: к.ф.-м.н., доц. Можан Н.Н.) - Тара, 1998, 29 с.
Рекомендации предназначены для студентов педагогических вузов, изучающих дисциплину "Алгебра и теория чисел". В рамках этой дисциплины в соответствии с государственным стандартом в 6 семестре изучается раздел "Числовые системы". В данных рекомендациях излагается материал об аксиоматическом построении систем натуральных чисел (система аксиом Пеано), систем целых и рациональных чисел. Эта аксиоматика позволяет глубже понять, что же такое число, которое является одним из основных понятий школьного курса математики. Для лучшего усвоения материала приводятся задачи на соответствующие темы. В конце рекомендаций имеются ответы, указания, решения задач.
Рецензент: д.п.н., проф. Далингер В.А.
(с) Можан Н.Н.
Подписано в печать - 22.10.98
Бумага газетная
Тираж 100 экз.
Способ печати оперативный
ОмГПУ, 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14
филиал, 644500, Тара, ул. Школьная, 69
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
При аксиоматическом построении системы натуральных чисел будем считать известными понятие множества, отношения, функции и другие теоретико-множественные понятия.
1.1 Система аксиом Пеано и простейшие следствия.
Первоначальными понятиями в аксиоматической теории Пеано являются множество N (которое будем называть множеством натуральных чисел), особое число нуль (0) из него и бинарное отношение "следует за" на N, обозначаемое S(a) (или a().
АКСИОМЫ:
1. ((a(N) a'(0 (Существует натуральное число 0, которое не следует ни за каким числом.)
2. a=b ( a'=b' (Для каждого натурального числа a существует следующее за ним натуральное число a', и притом только одно.)
3. a'=b' ( a=b (Каждое натуральное число следует не более чем за одним числом.)
4. (аксиома индукции) Если множество M(N и M удовлетворяет двум условиям:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a'(M, то M=N.
В функциональной терминологии это означает, что отображение S:N®N инъективно. Из аксиомы 1 следует, что отображение S:N®N сюръективным не является. Аксиома 4 - основа доказательства утверждений "методом математической индукции".
Отметим некоторые свойства натуральных чисел, непосредственно следующих из аксиом.
Свойство 1. Каждое натуральное число a(0 следует за одним и только одним числом.
Доказательство. Обозначим через M множество натуральных чисел, содержащее нуль и все те натуральные числа, каждое из которых следует за каким-нибудь числом. Достаточно показать, что M=N, единственность следует из аксиомы 3. Применим аксиому индукции 4:
A) 0(M - по построению множества M;
B) если a(M, то и a'(M, ибо a' следует за a.
Значит в силу аксиомы 4 M=N.
Свойство 2. Если a(b, то a'(b'.
Доказывается свойство методом "от противного", используя аксиому 3. Аналогично доказывается следующее свойство 3, используя аксиому 2.
Свойство 3. Если a'(b', то a(b.
Свойство 4. ((a(N)a(a'. (Никакое натуральное число не следует за самим собой.)
Доказательство. Пусть M={x ( x(N, x(x'}. Достаточно показать, что M=N. Так как по аксиоме 1 ((x(N)x'(0, то в частности и 0'(0, и таким образом условие A) аксиомы 4 0(M - выполняется. Если x(M, то есть x(x', то по свойству 2 x'((x')', а это значит, что выполняется и условие B) x(M ® x'(M. Но тогда согласно аксиоме 4 M=N.
Пусть ( - некоторое свойство натуральных чисел. Тот факт, что число a обладает свойством (, будем записывать ((a).
Задача 1.1.1. Докажите, что аксиома 4 из определения множества натуральных чисел равносильна следующему утверждению: для любого свойства (, если ((0) и , то .
Задача 1.1.2. На трехэлементном множестве A={a,b,c} следующим образом определена унарная операция (: a(=c, b(=c, c(=a. Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией (?
Задача 1.1.3. Пусть A={a} - одноэлементное множество, a(=a. Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией (?
Задача 1.1.4. На множестве N определим унарную операцию , полагая для любого . Выясните, будут ли в N истинны утверждения аксиом Пеано, сформулированные в терминах операции .
Задача 1.1.5. Пусть . Докажите, что A замкнуто относительно операции (. Проверьте истинность аксиом Пеано на множестве A с операцией (.
Задача 1.1.6. Пусть , . Определим на A унарную операцию , полагая . Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией ?
1.2. Непротиворечивость и категоричность системы аксиом Пеано.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из ее аксиом невозможно доказать теорему T и ее отрицание (T. Ясно, что противоречивые системы аксиом не имеют в математике никакого значения, ибо в такой теории можно доказать все, что угодно и такая теория не отражает закономерностей действительного мира. Поэтому, непротиворечивость системы аксиом - совершенно необходимое требование.
Если в аксиоматической теории не встретилось теорема T и ее отрицания (T, то это еще не значит, что система аксиом непротиворечива; такие теории могут встретиться в дальнейшем. Поэтому, непротиворечивость системы аксиом надо доказывать. Наиболее распространенным способом доказательства непротиворечивости является метод интерпретаций, основанный на том, что если существует интерпретация системы аксиом в заведомо непротиворечивой теории S, то и сама система аксиом непротиворечива. Действительно, если бы система аксиом была противоречива, то в ней были бы доказуемы теоремы T и (T, но тогда эти теоремы были бы справедливы и в ее интерпретации, а это противоречит непротиворечивости теории S. Метод интерпретаций позволяет доказать только относительную непротиворечивость теории.
Для системы аксиом Пеано можно построить много различных интерпретаций. Особенно богата интерпретациями теория множеств. Укажем одну из таких интерпретаций. Натуральными числами будем считать множества (, {(}, {{(}}, {{{(}}},..., особым числом нуль будем считать (. Отношение "следует за" будем интерпретировать следующим образом: за множеством M следует множество {M}, единственным элементом которого является само M. Таким образом, ('={(}, {(}'={{(}} и т.д. Выполнимость аксиом 1-4 проверяется без труда. Однако эффективность такой интерпретации невелика: она показывает, что система аксиом Пеано непротиворечива, если непротиворечива теория множеств. Но доказательство непротиворечивости системы аксиом теории множеств - еще более трудная задача. Наиболее убедительной интерпретацией системы аксиом Пеано является интуитивная арифметика, непротиворечивость которой подтверждается многовековым ее опытом развития.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если каждая аксиома этой системы не может быть доказана как теорема на основании других аксиом. Чтобы доказать, что аксиома ( не зависит от других аксиом системы
(1, (2, ..., (n, ( (1)
достаточно доказать, что непротиворечива система аксиом
(1, (2, ..., (n, (( (2)
Действительно, если бы ( доказывалась на основании остальных аксиом системы (1), то система (2) была противоречивой, так как в ней были бы верными теорема ( и аксиома ((.
Итак, чтобы доказать независимость аксиомы ( от остальных аксиом системы (1), достаточно построить интерпретацию системы аксиом (2).
Независимость системы аксиом - требование необязательное. Иногда, чтобы избежать доказательства "трудных" теорем, строят заведомо избыточную (зависимую) систему аксиом. Однако "лишние" аксиомы затрудняют изучение роли аксиом в теории, а также внутренних логических связей между различными разделами теории. Кроме того, построение интерпретаций для зависимых систем аксиом значительно труднее, чем для независимых; ведь приходится проверять справедливость "лишних" аксиом. В силу этих причин вопросу зависимости между аксиомами с давних времен придавалось первостепенное значение. В свое время попытки доказать, что 5 постулат в аксиоматике Евклида "Существует не более одной прямой, проходящей через точку A параллельно прямой (", является теоремой (то есть зависит от остальных аксиом) и привели к открытию геометрии Лобачевского.
Непротиворечивая система называется дедуктивно полной, если любое предложение A данной теории можно либо доказать, либо опровергнуть, то есть либо A, либо (A является теоремой данной теории. Если же существует такое предложение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то система аксиом называется дедуктивно неполной. Дедуктивная полнота - тоже не обязательное требование. Например, система аксиом теории групп, теории колец, теории полей - неполны; так как существуют и конечные и бесконечные группы, кольца, поля, то в этих теориях нельзя ни доказать, ни опровергнуть предложение: "Группа (кольцо, поле) содержит конечное число элементов".
Следует заметить, что во многих аксиоматических теориях (именно, в неформализованных) множество предложений нельзя считать точно определенным и поэтому доказать дедуктивную полноту системы аксиом такой теории невозможно. Другой смысл полноты называют категоричностью. Система аксиом называется категоричной, если любые две ее интерпретации изоморфны, то есть существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами первоначальных объектов той и другой интерпретации, которое сохраняется при всех первоначальных отношениях. Категоричность - тоже необязательное условие. Например, система аксиом теории групп не категорична. Это следует из того, что конечная группа не может быть изоморфна бесконечной группе. Однако при аксиоматизации теории какой-нибудь числовой системы категоричность обязательна; например, категоричность системы аксиом, определяющей натуральные числа, означает, что с точностью до изоморфизма существует только один натуральный ряд.
Докажем категоричность системы аксиом Пеано. Пусть (N1, s1, 01) и (N2, s2, 02) - любые две интерпретации системы аксиом Пеано. Требуется указать такое биективное (взаимно однозначное) отображение f:N1®N2, для которого выполняются условия:
а) f(s1(x)=s2(f(x)) для любого x из N1;
б) f(01)=02
Если обе унарные операции s1 и s2 обозначать одинаково штрихом, то условие а) перепишется в виде
а) f(x()=f(x)(.
Определим на множестве N1(N2 бинарное отношение f следующими условиями:
1) 01f02;
2) если xfy, то x(fy(.
Убедимся, что это отношение является отображением N1 в N2, то есть для каждого x из N1
((( y(N2) xfy (1)
Обозначим через M1 множество всех элементов x из N1, для которых условие (1) выполняется. Тогда
А) 01(M1 в силу 1);
B) x(M1 ® x((M1 в силу 2) и свойства 1 пункта 1.
Отсюда, согласно аксиоме 4 заключаем, что M1=N1, а это и значит, что отношение f является отображением N1 в N2. При этом из 1) следует, что f(01)=02. Условие 2) записывается в виде: если f(x)=y, то f(x()=y(. Отсюда следует, что f(x()=f(x)(. Таким образом, для отображения f условия а) и б) выполняются. Остается доказать биективность отображения f.
Обозначим через M2 множество тех элементов из N2, каждый из которых является образом одного и только одного элемента из N1 при отображении f.
Так как f(01)=02, то 02 является образом. При этом если x(N2 и x(01, то по свойству 1 пункта 1 x следует за некоторым элементом c из N1 и тогда f(x)=f(c()=f(c )((02. Значит, 02 является образом единственного элемента 01, то есть 02(M2.
Пусть далее y(M2 и y=f(x), где x - единственный прообраз элемента y. Тогда в силу условия а) y(=f(x)(=f(x(), то есть y( является образом элемента x(. Пусть c - любой прообраз элемента y(, то есть f(c )=y(. Так как y((02, то c(01 и для c есть предшествующий элемент, который обозначим через d. Тогда y(=f(c )=f(d()=f(d)(, откуда в силу аксиомы 3 y=f(d). Но так как y(M2, то d=x, откуда c=d(=x(. Мы доказали, что если y является образом единственного элемента, то и y( является образом единственного элемента, то есть y(M2 ® y((M2. Оба условия аксиомы 4 выполняются и, следовательно, M2=N2, чем и завершается доказательство категоричности.
Вся догреческая математика носила эмпирический характер. Отдельные элементы теории тонули в массе эмпирических приемов решения практических задач. Греки подвергли этот эмпирический материал логической обработке, постарались найти связь между различными эмпирическими сведениями. В этом смысле в геометрии большую роль сыграл Пифагор и его школа (5 век до н. э.). Идеи аксиоматического метода отчетливо прозвучали и в трудах Аристотеля (4 век до н. э.). Однако, практическое осуществление этих идей было проведено Евклидом в его "Началах" (3 век до н. э.).
В настоящее время можно выделить три формы аксиоматических теорий.
1). Содержательная аксиоматика, которая была единственной вплоть до середины прошлого века.
2). Полуформальная аксиоматика, возникшая в последней четверти прошлого века.
3). Формальная (или формализованная) аксиоматика, датой рождения которой можно считать 1904 г., когда Д.Гильберт опубликовал свою знаменитую программу об основных принципах формализованной математики.
Каждая новая форма не отрицает предшествующую, а является ее развитием и уточнением, так что уровень строгости каждой новой формы выше, чем предшествующей.
Содержательная аксиоматика характеризуется тем, что первоначальные понятия имеют интуитивно ясный смысл еще до формулировки аксиом. Так, в "Началах" Евклида под точкой понимается именно то, что мы интуитивно себе представляем под этим понятием. При этом используется обычный язык и обычная интуитивная логика, восходящая еще к Аристотелю.
В полуформальных аксиоматических теориях также используется обычный язык и интуитивная логика. Однако в отличие от содержательной аксиоматики, первоначальным понятиям не придается никакого интуитивного смысла, они характеризуются только аксиомами. Тем самым повышается строгость, так как интуиция в какой-то мере мешает строгости. Кроме того, приобретается общность, потому что каждая теорема, доказанная в такой теории, будет справедлива в любой ее интерпретации. Образцом полуформальной аксиоматической теории является теория Гильберта, изложенная в его книге "Основания геометрии" (1899 г.). Примерами полуформальных теорий являются также теория колец и ряд других теорий, излагаемых в курсе алгебры.
Примером формализованной теории является исчисление высказываний, изучаемое в курсе математической логики. В отличие от содержательной и полуформальной аксиоматики, в формализованной теории используется особый символический язык. Именно, задается алфавит теории, то есть некоторое множество символов, играющих ту же роль, что буквы в обычном языке. Любая конечная последовательность символов называется выражением или словом. Среди выражений выделяется класс формул, причем указывается точный критерий, позволяющий для каждого выражения узнать - является ли оно формулой. Формулы играют ту же роль, что предложения в обычном языке. Некоторые из формул объявляются аксиомами. Кроме того, задаются логические правила вывода; каждое такое правило означает, что из некоторой совокупности формул непосредственно следует вполне определенная формула. Само доказательство теоремы - это конечная цепочка формул, в которой последняя формула - это сама теорема и каждая формула - это или аксиома, или ранее доказанная теорема, или непосредственно следует из предшествующих формул цепочки по одному из правил вывода. Таким образом, вопрос о строгости доказательств совершенно не стоит: либо данная цепочка является доказательством, либо не является, сомнительных доказательств не бывает. В связи с этим формализованная аксиоматика употребляется в особо тонких вопросах обоснования математических теорий, когда обычная интуитивная логика может привести к ошибочным заключениям, происходящим главным образом из-за неточностей и двусмысленностей нашего обычного языка.
Так как в формализованной теории о каждом выражении можно сказать - является ли оно формулой, то множество предложений формализованной теории можно считать определенным. В связи с этим можно в принципе ставить вопрос о доказательстве дедуктивной полноты, а также о доказательстве непротиворечивости, не прибегая к интерпретациям. В ряде простых случаев это удается осуществить. Например, непротиворечивость исчисления высказываний доказывается без интерпретаций.
В неформализованных теориях множество предложений четко не определено, поэтому вопрос о доказательстве непротиворечивости, не обращаясь к интерпретациям, ставить бессмысленно. То же самое относится и к вопросу о доказательстве дедуктивной полноты. Однако если встретилось такое предложение неформализованной теории, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то теория, очевидно, является дедуктивно неполной.
Аксиоматический метод с давних пор применялся не только в математике, но и в физике. Первые попытки в этом направлении предпринимались еще Аристотелем, но настоящее свое применение в физике аксиоматический метод получил лишь в работах Ньютона по механике.
В связи с бурным процессом математизации наук идет также и процесс аксиоматизации. В настоящее время аксиоматический метод применяется даже в некоторых разделах биологии, например, в генетике.
И тем не менее, возможности аксиоматического метода не безграничны.
Прежде всего, отметим, что даже в формализованных теориях не удается полностью избежать интуиции. Сама формализованная теория без интерпретаций не имеет никакого значения. Поэтому возникает ряд вопросов о связи между формализованной теорией и ее интерпретацией. Кроме того, как и в формализованных теориях, ставятся вопросы о непротиворечивости, независимости и полноте системы аксиом. Совокупность всех таких вопросов составляет содержание другой теории, которая называется метатеорией формализованной теории. В отличие от формализованной теории, язык метатеории - это обычный обиходный язык, а логические рассуждения проводятся правилами обычной интуитивной логики. Таким образом, интуиция, полностью изгнанная из формализованной теории, вновь появляется в ее метатеории.
Но основная слабость аксиоматического метода не в этом. Ранее уже упоминалось о программе Д.Гильберта, положившей основу формализованному аксиоматическому методу. Основная идея Гильберта заключалась в том, чтобы выразить классическую математику в виде формализованной аксиоматической теории, а затем доказать ее непротиворечивость. Однако эта программа в основных своих пунктах оказалась утопичной. В 1931 году австрийский математик К.Гедель доказал свои знаменитые теоремы, из которых и следовало, что обе главные задачи, поставленные Гильбертом, невыполнимы. Ему удалось с помощью своего метода кодирования выразить с помощью формул формализованной арифметики некоторые истинные предположения из метатеории и доказать, что эти формулы невыводимы в формализованной арифметике. Таким образом, формализованная арифметика оказалась дедуктивно неполной. Из результатов Геделя следовало, что если эту недоказуемую формулу включить в число аксиом, то найдется другая недоказуемая формула, выражающая некоторое истинное предложение. Все это означало, что не только всю математику, но даже арифметику - ее простейшую часть, нельзя полностью формализовать. В частности, Гедель построил формулу, соответствующую предложению "Формализованная арифметика непротиворечива", и показал, что эта формула также не выводима. Этот факт означает, что непротиворечивость формализованной арифметики нельзя доказать внутри самой арифметики. Разумеется, можно построить более сильную формализованную теорию и ее средствами доказать непротиворечивость формализованной арифметики, но тогда возникает более трудный вопрос о непротиворечивости этой новой теории.
Результаты Геделя указывают на ограниченность аксиоматического метода. И тем не менее, оснований для пессимистических выводов в теории познания о том, что существуют непознаваемые истины, - совершенно нет. Тот факт, что существуют арифметические истины, которые нельзя доказать в формализованной арифметики, не означает наличие непознаваемых истин и не означает ограниченности человеческого мышления. Он означает только, что возможности нашего мышления не сводятся лишь к полностью формализуемым процедурам и что человечеству еще предстоит открывать и изобретать новые принципы доказательства.
1.3.Сложение натуральных чисел
Операции сложения и умножения натуральных чисел системой аксиом Пеано не постулируются, мы будем определять эти операции.
Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция + на множестве N, обладающая свойствами:
1с. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Возникает вопрос - есть ли такая операция, а если есть, то единственна ли?
Теорема. Сложение натуральных чисел существует и при том только одно.
Доказательство. Бинарная алгебраическая операция на множестве N - это отображение (:N(N®N. Требуется доказать, что существует единственное отображение (:N(N®N со свойствами: 1) (( x(N) ((x,0)=x; 2) (( x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. Если для каждого натурального числа x мы докажем существование отображения fx:N®N со свойствами 1() fx(0)=x; 2() fx(y()=fx(y)(, то функция ((x,y), определяемая равенством ((x,y) (fx(y), и будет удовлетворять условиям 1) и 2).
Определим на множестве N, бинарное отношение fx условиями:
а) 0fxx;
б) если yfxz, то y(fxz(.
Убедимся, что это отношение является отображением N в N, то есть для каждого y из N
((( z(N) yfxz (1)
Обозначим через M множество натуральных чисел y, для которых условие (1) выполняется. Тогда из условия а) вытекает, что 0(M, а из условия б) и свойства 1 п.1 вытекает, что если y(M, то и y((M. Отсюда на основании аксиомы 4 заключаем, что M=N, а это и значит, что отношение fx является отображением N в N. Для этого отображения выполняются условия:
1() fx(0)=x - в силу а);
2() fx((y)=fx(y() - в силу б).
Тем самым существование сложения доказано.
Докажем единственность. Пусть + и ( - любые две бинарные алгебраические операции на множестве N со свойствами 1с и 2с. Требуется доказать, что
((x,y(N) x+y=x(y
Зафиксируем произвольное число x и обозначим через S множество тех натуральных чисел y, для которых равенство
x+y=x(y (2)
выполняется. Так как согласно 1с x+0=x и x(0=x, то
А) 0(S
Пусть теперь y(S, то есть равенство (2) выполняется. Так как x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)( и x+y=x(y, то по аксиоме 2 x+y(=x(y(, то есть выполняется условие
В) y(S ® y((S.
Отсюда, по аксиоме 4 S=N, чем и завершается доказательство теоремы.
Докажем некоторые свойства сложения.
1. Число 0 является нейтральным элементом сложения, то есть a+0=0+a=a для каждого натурального числа a.
Доказательство. Равенство a+0=a следует из условия 1с. Докажем равенство 0+a=a.
Обозначим через M множество всех чисел, для которых оно выполняется. Очевидно, 0+0=0 и следовательно 0(M. Пусть a(M, то есть 0+a=a. Тогда 0+a(=(0+a)(=a( и, следовательно, a((M. Значит, M=N, что и требовалось доказать.
Далее нам потребуется лемма.
Лемма. a(+b=(a+b)(.
Доказательство. Пусть M - множество всех натуральных чисел b, для которых равенство a(+b=(a+b)( верно при любом значении a. Тогда:
А) 0(M, так как a(+0=(a+0)(;
В) b(M ® b((M. Действительно, из того, что b(M и 2с, имеем
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
то есть b((M. Значит, M=N, что и требовалось доказать.
2. Сложение натуральных чисел коммутативно.
Доказательство. Пусть M={a(a(N(((b(N)a+b=b+a}. Достаточно доказать, что M=N. Имеем:
А) 0(M - в силу свойства 1.
В) a(M ® a((M. Действительно, применяя лемму и то, что a(M, получим:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Значит a((M, и по аксиоме 4 M=N.
3. Сложение ассоциативно.
Доказательство. Пусть
M={c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)}
Требуется доказать, что M=N. Так как (a+b)+0=a+b и a+(b+0)=a+b, то 0(M. Пусть с(M, то есть (a+b)+c=a+(b+c). Тогда
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Значит, c((M и по аксиоме 4 M=N.
4. a+1=a(, где 1=0(.
Доказательство. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Если b(0, то ((a(N)a+b(a.
Доказательство. Пусть M={a(a(N(a+b(a}. Так как 0+b=b(0, то 0(M. Далее, если a(M, то есть a+b(a, то по свойству 2 п.1 (a+b)((a( или a(+b(a(. Значит a((M и M=N.
6. Если b(0, то ((a(N)a+b(0.
Доказательство. Если a=0, то 0+b=b(0, если же a(0 и a=c(, то a+b=c(+b=(c+b)((0. Значит, в любом случае a+b(0.
7. (Закон трихотомии сложения). Для любых натуральных чисел a и b справедливо одно и только одно из трех соотношений:
1) a=b;
2) b=a+u, где u(0;
3) a=b+v, где v(0.
Доказательство. Зафиксируем произвольное число a и обозначим через M множество всех натуральных чисел b, для которых выполняется хотя бы одно из соотношений 1), 2), 3). Требуется доказать, что M=N. Пусть b=0. Тогда если a=0, то выполняется соотношение 1), а если a(0, то справедливо соотношение 3), так как a=0+a. Значит, 0(M.
Предположим теперь, что b(M, то есть для выбранного a выполняется одно из соотношений 1), 2), 3). Если a=b, то b(=a(=a+1, то есть для b( выполняется соотношение 2). Если b=a+u, то b(=a+u(, то есть и для b( выполняется соотношение 2). Если же a=b+v, то возможны два случая: v=1 и v(1. Если v=1, то a=b+v=b', то есть для b' выполняется соотношений 1). Если же v(1, то v=c', где c(0 и тогда a=b+v=b+c'=(b+c)'=b'+c, где c(0, то есть для b' выполняется соотношение 3).Итак, мы доказали, что b(M®b'(M, и, следовательно M=N, то есть для любых a и b выполняется хотя бы одно из соотношений 1), 2), 3). Убедимся, что никакие два из них не могут выполняться одновременно. Действительно: если бы выполнялись соотношения 1) и 2), то имели бы b=b+u, где u(0, а это противоречит свойству 5. Аналогично проверяется невозможность выполнимости 1) и 3). Наконец, если бы выполнялись соотношения 2) и 3), то имели бы a=(a+u)+v = a+ +(u+v), а это невозможно в силу свойств 5 и 6. Свойство 7 полностью доказано.
Задача 1.3.1. Пусть 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9. Докажите, что 3+5=8, 2+4=6.
1.4. УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Определение 1. Умножением натуральных чисел называется такая бинарная операция ( на множестве N, для которой выполняются условия:
1у. ((x(N) x(0=0;
2у. ((x,y(N) x(y'=x(y+x.
Опять возникает вопрос - существует ли такая операция и если существует, то единственна ли?
Теорема. Операция умножения натуральных чисел существует и притом только одна.
Доказательство проводится почти также, как и для сложения. Требуется найти такое отображение (:N(N®N, которое удовлетворяет условиям
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y')= ((x,y)+x.
Зафиксируем произвольно число x. Если мы докажем для каждого x(N существование отображения fx : N®N со свойствами
1') fx(0)=0;
2') ((y(N) fx(y')=fx(y)+x,
то функция ((x,y), определяемая равенством ((x,y)=fx(y) и будет удовлетворять условиям 1) и 2).
Итак, доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности при каждом x функции fx(y) со свойствами 1') и 2'). Установим на множестве N соответствие по следующему правилу:
а) числу нуль сопоставим число 0,
б) если числу y сопоставлено число c, то числу y( сопоставляем число c+x.
Убедимся, что при таком сопоставлении каждое число y имеет единственный образ: это и будет означать, что соответствие является отображением N в N. Обозначим через M множество всех натуральных чисел y, имеющих единственный образ. Из условия а) и аксиомы 1 следует, что 0(M. Пусть y(M. Тогда из условия б) и аксиомы 2 следует, что y((M. Значит, M=N, т.е. наше соответствие является отображением N в N; обозначим его через fx. Тогда fx(0)=0 в силу условия а) и fx(y()=fx(y)+x - в силу условия б).
Итак, существование операции умножения доказано. Пусть теперь ( и ( - любые две бинарные операции на множестве N со свойствами 1у и 2у. Остается доказать, что ((x,y(N) x(y=x(y. Зафиксируем произвольное число x и пусть
S={y?y(N ( x(y=x(y}
Так как в силу 1у x(0=0 и x(0=0, то 0(S. Пусть y(S, то есть x(y=x(y. Тогда
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
и, следовательно, y((S. Значит, S=N, чем и завершается доказательство теоремы.
Отметим некоторые свойства умножения.
1. Нейтральным элементом относительно умножения является число 1=0(, то есть ((a(N) a(1=1(a=a.
Доказательство. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Таким образом, равенство a(1=a доказано. Остается доказать равенство 1(a=a. Пусть M={a?a(N ( 1(a=a}. Так как 1(0=0, то 0(M. Пусть a(M, то есть 1(a=a. Тогда 1(a(=1(a+1=a+1=a(, и, следовательно, a((M. Значит, в силу аксиомы 4 M=N, что и требовалось доказать.
2. Для умножения справедлив правый дистрибутивный закон, то есть
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Доказательство. Пусть M={c ( c(N ( ((a,b(N) (a+b)c=ac+bc}. Так как (a+b)0=0 и a(0+b(0=0, то 0(M. Если c(M, то есть (a+b)c=ac+bc, то (a + b)(c( = (a + b)c +(a + b) = ac + bc+a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Значит, c((M и M=N.
3. Умножение натуральных чисел коммутативно, то есть ((a,b(N) ab=ba.
Доказательство. Докажем сначала для любых b(N равенство 0(b=b(0=0. Равенство b(0=0 вытекает из условия 1у. Пусть M={b ( b(N ( 0(b=0}. Так как 0(0=0, то 0(M. Если b(M, то есть 0(b=0, то 0(b(=0(b+0=0 и, следовательно, b((M. Значит, M=N, то есть равенство 0(b=b(0 доказано для всех b(N. Пусть далее S={a ( a(N ( ab=ba}. Так как 0(b=b(0, то 0(S. Пусть a(S, то есть ab=ba. Тогда a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, то есть a((S. Значит S=N, что и требовалось доказать.
4. Умножение дистрибутивно относительно сложения. Это свойство вытекает из свойств 3 и 4.
5. Умножение ассоциативно, то есть ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Доказательство проводится, как и для сложения, индукцией по c.
6. Если a(b=0, то a=0 или b=0, то есть в N нет делителей нуля.
Доказательство. Пусть b(0 и b=c(. Если ab=0, то ac(=ac+a=0, откуда следует в силу свойства 6 п.3, что a=0.
Задача 1.4.1. Пусть 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9. Докажите, что 2(4=8, 3(3=9.
Пусть n, a1, a2,...,an - натуральные числа. Суммой чисел a1, a2,...,an называется число, которое обозначается через и определяется условиями ; для любого натурального числа k
Произведением чисел a1, a2,...,an называется натуральное число, которое обозначается через и определяется условиями: ; для любого натурального числа k
Если , то число обозначается через an.
Задача 1.4.2. Докажите, что
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) .
1.5. УПОРЯДОЧЕННОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Отношение "следует за" антирефлексивно и антисимметрично, но не транзитивно и поэтому отношением порядка не является. Мы определим отношение порядка, опираясь на сложение натуральных чисел.
Определение 1. a
Определение 2. a(b ( (( x(N) b=a+x.
Убедимся, что отношение < является строгим линейным порядком. Согласно свойству 5 п.3 ((x(N\{0}) a(a+x и, следовательно, отношение < антирефлексивно. Если a
< образом, Таким связно. aКаждое из этих отношений будем называть естественным порядком натуральных чисел.
Отметим некоторые свойства натуральных чисел, связанных с отношениями равенства и неравенства.
1.
1.1 a=b ( a+c=b+c.
1.2 a=b ( ac=bc.
1.3 a
1.4 a
1.5 a+c=b+c ( a=b.
1.6 ac=bc ( c(0 ( a=b.
1.7 a+c
1.8 ac
1.9 a
1.10 a
Доказательство. Свойства 1.1 и 1.2 вытекают из однозначности операций сложения и умножения. Если a
2. ((a(N) a
Доказательство. Так как a(=a+1, то a
3. Наименьшим элементом в N является 0, а наименьшим в N\{0} является число 1.
Доказательство. Так как ((a(N) a=0+a, то 0(a, и, следовательно, 0 - наименьший элемент в N. Далее, если x(N\{0}, то x=y(, y(N, или x=y+1. Отсюда и следует, что ((x(N\{0}) 1(x, то есть 1 - наименьший элемент в N\{0}.
4. Отношение < является архимедовским порядком в N, то есть
((a,b(N)(( n(N)b(0 ( nb > a.
Доказательство. Очевидно, для любого натурального a существует такое натуральное число n, что
a < n (1)
Таким числом является, например, n=a(. Далее, если b(N\{0}, то по свойству 3
1 ( b (2)
Из (1) и (2) на основании свойств 1.10 и 1.4 получим aa.
1.6. ПОЛНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Определение 1. Если каждое непустое подмножество упорядоченного множества (M;<) имеет наименьший элемент, то множество (M;<) называется вполне упорядоченным, а само отношение < - полным порядком.
Убедимся, что полный порядок является линейным. Пусть a и b - любые два элемента из вполне упорядоченного множества (M;<). Рассмотрим подмножество [a,b]. Если наименьшим элементом в нем является a, то a
< Значит, если же связным. bОказывается, естественный порядок на множестве натуральных чисел является полным порядком. Для доказательства потребуется лемма, которая устанавливает связь между отношениями <, ( и отношением "следует за".
Лемма. 1) a
Доказательство.
1) a((b ( b=a(+k, k(N ( b=a+k(, k((N\{0} ( a
2) a(b ( b=a+k, k(N ( b(=a+k(, k((N\{0} ( a
Теорема 1. Естественный порядок на множестве натуральных чисел является полным порядком.
Доказательство. Пусть M - любое непустое множество натуральных чисел, а S - множество его нижних границ в N, то есть S={x ( x(N ( ((m(M) x(m}. Из свойства 3 п.5 следует, что 0(S. Если бы выполнялось и второе условие аксиомы 4 n(S ( n((S, то имели бы S=N. В действительности S(N; именно, если a(M, то a((S в силу неравенства a
Теорема 2. Любое непустое ограниченное сверху множество натуральных чисел имеет наибольший элемент.
Доказательство. Пусть M - любое непустое ограниченное сверху множество натуральных чисел, а S - множество его верхних границ, то есть S={x(x(N ( ((m(M) m(x}. Обозначим через x0 наименьший элемент в S. Тогда неравенство m(x0 выполняется для всех чисел m из M, а строгое неравенство m
Задача 1.6.1. Докажите, что
а) ;
б) ;
в) .
Задача 1.6.2. Пусть ( - некоторое свойство натуральных чисел и k - произвольное натуральное число. Докажите, что
а) любое натуральное число обладает свойством (, как только 0 обладает этим свойством для всякого n (0
б) любое натуральное число, большее или равное k, обладает свойством (, как только k обладает этим свойством и для всякого n (k(n) из предположения, что n обладает свойством (, следует, что число n+1 также обладает этим свойством;
в) любое натуральное число, большее или равное k, обладает свойством (, как только k обладает этим свойством и для всякого n (n>k) из предположения, что все числа t, определенные условием k(t
1.7. ПРИНЦИП ИНДУКЦИИ.
Используя полную упорядоченность системы натуральных чисел, можно доказать следующую теорему, на которой основан один из методов доказательства, называемый методом математической индукции.
Теорема (принцип индукции). Все высказывания из последовательности A1, A2, ..., An, ... являются истинными, если выполняются условия:
1) высказывание A1 истинно;
2) если истинны высказывания Ak при k
Доказательство. Предположим противное: условия 1) и 2) выполняются, но теорема не верна, то есть не пустым является множество M={m(m(N\{0}, Am - ложно}. Согласно теореме 1 п.6 в M есть наименьший элемент, который мы обозначим через n. Так как согласно условию 1) A1 истинно, а An ложно, то 1(n, и, следовательно, 1
При доказательстве методом индукции можно выделить два этапа. На первом этапе, который называют базисом индукции, проверяется выполнимость условия 1). На втором этапе, называемом индукционным шагом, доказывается выполнимость условия 2). При этом чаще всего встречаются случаи, когда для доказательства истинности высказывания An нет нужды использовать истинность высказываний Ak при k
Пример. Доказать неравенство <2 при всех k(1.
Положим =Sk. Требуется доказать истинность высказываний Ak=(Sk<2), k=1,2,...,n,... Высказывание A1=(<2) истинно, то есть условие 1) выполняется. Предположим, что истинны все высказывания Ak при k
Последовательность высказываний, о которой говорится в теореме 1, может получаться из предиката A(n), определенного на множестве N или на его подмножестве Nk={x ( x(N, x(k}, где k - любое фиксированное натуральное число.
В частности, если k=1, то N1=N\{0}, и нумерацию высказываний можно проводить с помощью равенств A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), ... Если же k(1, то последовательность высказываний можно получить с помощью равенств A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), ... В соответствии с такими обозначениями теорему 1 можно сформулировать в другой форме.
Теорема 2. Предикат A(m) является тождественно истинным на множестве Nk, если выполняются условия:
1) высказывание A(k) истинно;
2) если истинны высказывания A(m) при m
Задача 1.7.1. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в области натуральных чисел:
а) x+y=1;
б) 3x=2;
в) x2=2;
г) 3x+2=4;
д) x2+y2=6;
е) 2x+1=2y.
Задача 1.7.2. Докажите, используя принцип математической индукции:
а) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
1.8. ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Определение 1. Разностью натуральных чисел a и b называется такое натуральное число x, что b+x=a. Разность натуральных чисел a и b обозначают через a-b, а операцию нахождения разности называют вычитанием. Вычитание не является алгебраической операцией. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. Разность a-b существует тогда и только тогда, когда b(a. Если разность существует, то только одна.
Доказательство. Если b(a, то по определению отношения ( существует такое натуральное число x, что b+x=a. Но это и значит, что x=a-b. Обратно, если разность a-b существует, то по определению 1 существует такое натуральное число x, что b+x=a. Но это и значит, что b(a.
Докажем единственность разности a-b. Пусть a-b=x и a-b=y. Тогда согласно определению 1 b+x=a, b+y=a. Отсюда b+x=b+y и, следовательно, x=y.
Определение 2. Частным двух натуральных чисел a и b(0 называется такое натуральное число c, что a=bc. Операция нахождения частного называется делением. Вопрос о существовании частного решается в теории делимости.
Теорема 2. Если частное существует, то только одно.
Доказательство. Пусть =x и =y. Тогда согласно определению 2 a=bx и a=by. Отсюда bx=by и, следовательно, x=y.
Заметим, что операции вычитания и деления определяются почти дословно так же, как и в школьных учебниках. Это означает, что в п.п.1-7 на основе аксиом Пеано заложен прочный теоретический фундамент арифметики натуральных чисел и ее дальнейшее изложение последовательно осуществляется в школьном курсе математики и в вузовском курсе "Алгебра и теория чисел".
Задача 1.8.1. Докажите справедливость следующих утверждений, предполагая, что все разности, встречающиеся в их формулировках, существуют:
а) (a-b)+c=(a+c)-b;
б) (a-b)(c=a(c-b(c;
в) (a+b)-(c+b)=a-c;
г) a-(b+c)=(a-b)-c;
д) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
е) (a-b)-(c-d)=a-c;
ж) (a+b)-(b-c)=a+c;
з) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
и) a-(b-c)=(a+c)-b;
к) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
л) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
м) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
н) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
о) a2-b2=(a-b)(a+b).
Задача 1.8.2. Докажите справедливость следующих утверждений, предполагая, что все частные, встречающиеся в их формулировках, существуют.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) .
Задача 1.8.3. Докажите, что следующие уравнения не могут иметь двух различных натуральных решений: а) ax2+bx=c (a,b,c(N); б) x2=ax+b (a,b(N); в) 2x=ax2+b (a,b(N).
Задача 1.8.4. Решите в натуральных числах уравнения:
а) x2+(x+1)2=(x+2)2; б) x+y=x(y; в) ; г) x2+2y2=12; д) x2-y2=3; е) x+y+z=x(y(z.
Задача 1.8.5. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в области натуральных чисел: а) x2-y2=14; б) x-y=xy; в) ; г) ; д) x2=2x+1; е) x2=2y2.
Задача 1.8.6. Решите в натуральных числах неравенства: а) ; б) ; в) ; г) x+y2<2y; д) x2<3x+1; е) 5x+2
Задача 1.8.7. Докажите, что в области натуральных чисел справедливы следующие соотношения: а) 2ab(a2+b2; б) ab+bc+ac(a2+b2+c2; в) c2=a2+b2 ( a2+b2+c2<2c(a+b); г) (21.9. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
На практике натуральные числа применяются главным образом для счета элементов, а для этого надо установить количественный смысл натуральных чисел в теории Пеано.
Определение 1. Множество {x ( x(N, 1(x(n} называется отрезком натурального ряда и обозначается через (1;n(.
Определение 2. Конечным множеством называется любое множество, равномощное некоторому отрезку натурального ряда, а также пустое множество. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Теорема 1. Конечное множество A не равномощно никакому своему собственному подмножеству (то есть подмножеству, отличному от A).
Доказательство. Если A=(, то теорема верна, так как пустое множество не имеет собственных подмножеств. Пусть А(( и A равномощно (1,n( (A((1,n(). Будем доказывать теорему индукцией по n. Если n=1, то есть A((1,1(, то единственным собственным подмножеством множества A является пустое множество. Ясно, что A( и, следовательно, при n=1 теорема верна. Предположим, что теорема верна при n=m, то есть все конечные множества, равномощные отрезку (1,m(, не имеют равномощных собственных подмножеств. Пусть A - любое множество, равномощное отрезку (1,m+1( и (:(1,m+1(®A - некоторое биективное отображение отрезка (1,m+1( в A. Если ((k) обозначить через ak, k=1,2,...,m+1, то множество A можно записать в виде A={a1, a2, ..., am, am+1}. Наша задача доказать, что A не имеет равномощных собственных подмножеств. Предположим противное; пусть B(A, B(A, B(A и f : A®B - биективное отображение. Можно так выбрать биективные отображения ( и f, что am+1(B и f(am+1)=am+1.
Рассмотрим множества A1=A\{am+1} и B1=B\{am+1}. Так как f(am+1)=am+1, то функция f будет осуществлять биективное отображение множества A1, на множество B1. Таким образом, множество A1, будет равномощно собственному своему подмножеству B1. Но так как A1((1,m(, то это противоречит предположению индукции.
Следствие 1. Множество натуральных чисел бесконечно.
Доказательство. Из аксиом Пеано следует, что отображение S:N®N\{0}, S(x)=x( биективно. Значит, N равномощно своему собственному подмножеству N\{0} и в силу теоремы 1 не является конечным.
Следствие 2. Всякое непустое конечное множество A равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.
Доказательство. Пусть A((1,m( и A((1,n(. Тогда (1,m(((1,n(, откуда в силу теоремы 1 и следует, что m=n. Действительно, если предположить, что m
Следствие 2 позволяет ввести определение.
Определение 3. Если A((1,n(, то натуральное число n называется количеством элементов множества A, а сам процесс установления взаимно однозначного соответствия между множествами A и (1,n( называется счетом элементов множества A. Количеством элементов пустого множества естественно считать число нуль.
Об огромном значении счета в практической жизни говорить излишне.
Заметим, что, зная количественный смысл натурального числа, можно было бы операцию умножения определить через сложение, именно:
.
Мы намеренно не пошли по этому пути, чтобы показать, что сама арифметика в количественном смысле не нуждается: количественный смысл натурального числа нужен только в приложениях арифметики.
1.10. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, КАК ДИСКРЕТНОЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО.
Мы показали, что множество натуральных чисел относительно естественного порядка является вполне упорядоченным. При этом, ((a(N) a
1. для любого числа a(N существует соседнее следующее за ним в отношении < число; это будет число a(;
2. для любого числа a(N\{0} существует соседнее ему предшествующее в отношении < число; это будет такое число b, что b(=a.
Вполне упорядоченное множество (A;() со свойствами 1 и 2 будем называть дискретным вполне упорядоченным множеством. Оказывается, что полная упорядоченность со свойствами 1 и 2 является характеристическим свойством системы натуральных чисел. Действительно, пусть A=(A;() - любое вполне упорядоченное множество со свойствами 1 и 2. Определим на множестве A отношение "следует за" следующим образом: a(=b, если b является соседним следующим за a элементом в отношении (. Ясно, что наименьший элемент множества A не следует ни за каким элементом и, следовательно, аксиома 1 Пеано выполняется.
Так как отношение ( есть линейный порядок, то для любого элемента a существует единственный следующий за ним элемент и не более одного предшествующего соседнего элемента. Отсюда следует выполнимость аксиом 2 и 3. Пусть теперь M - любое подмножество множества A, для которого выполняются условия:
1) a0(M, где a0 - наименьший в A элемент;
2) a(M ( a((M.
Докажем, что M=N. Предположим противное, то есть A\M((. Обозначим через b наименьший элемент в A\M. Так как a0(M, то b(a0 и, следовательно, существует такой элемент c, что c(=b. Так как c
Итак, мы доказали возможность еще одного определения системы натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел называется любое вполне упорядоченное множество, на котором выполняются условия:
1. для любого элемента существует соседний следующий за ним элемент;
2. для любого элемента, отличного от наименьшего, существует соседний предшествующий ему элемент.
Существуют и другие подходы определения системы натуральных чисел, на которых мы здесь не останавливаемся.
2. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Известно, что множество целых чисел в их интуитивном понимании является кольцом относительно сложения и умножения, причем это кольцо содержит все натуральные числа. Ясно также, что не существует собственного подкольца в кольце целых чисел, которое бы содержало все натуральные числа. Эти свойства, оказывается, можно положить в основу строгого определения системы целых чисел. В п.2.2 и 2.3 будет доказана корректность такого определения.
Определения 1. Системой целых чисел называется алгебраическая система , для которой выполняются следующие условия:
1. Алгебраическая система является кольцом;
2. Множество натуральных чисел содержится в , причем сложение и умножение в кольце на подмножестве совпадают со сложением и умножением натуральных чисел, то есть
3. (условие минимальности). Z есть минимальное по включению множество со свойствами 1 и 2. Иными словами, если подкольцо кольца содержит все натуральные числа, то Z0=Z.
Определению 1 можно придать развернутый аксиоматический характер. Первоначальными понятиями в этой аксиоматической теории будут:
1) Множество Z, элементы которого называют целыми числами.
2) Особое целое число, называемое нулем и обозначаемое через 0.
3) Тернарные отношения + и (.
Через N, как обычно, обозначается множество натуральных чисел со сложением ( и умножением (. В соответствии с определением 1, системой целых чисел называется такая алгебраическая система (Z; +, (, N), для которой выполняются следующие аксиомы:
1. (Аксиомы кольца.)
1.1.
Эта аксиома означает, что + есть бинарная алгебраическая операция на множестве Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, то есть число 0 является нейтральным элементом относительно сложения.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, то есть для каждого целого числа существует противоположное ему число a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Эта аксиома означает, что умножение есть бинарная алгебраическая операция на множестве Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Аксиомы связи кольца Z с системой натуральных чисел.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Аксиома минимальности.)
Если Z0 - подкольцо кольца Z и N(Z0, то Z0=Z.
Отметим некоторые свойства системы целых чисел.
1. Каждое целое число представимо в виде разности двух натуральных чисел. Это представление неоднозначно, причем z=a-b и z=c-d, где a,b,c,d(N, тогда и только тогда, когда a+d=b+c.
Доказательство. Обозначим через Z0 множество всех целых чисел, каждое из которых представимо в виде разности двух натуральных. Очевидно, ((a(N) a=a-0, и, следовательно, N(Z0.
Далее, пусть x,y(Z0, то есть x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N. Тогда x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b+c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c). Отсюда видно, что x-y, x(y(Z0 и, следовательно, Z0 является подкольцом кольца Z, содержащим множество N. Но тогда по аксиоме 3 Z0=Z и тем самым первая часть свойства 1 доказана. Второе утверждение этого свойства очевидно.
2. Кольцо целых чисел является коммутативным кольцом с единицей, причем нуль этого кольца есть натуральное число 0, а единица этого кольца есть натуральное число 1.
Доказательство. Пусть x,y(Z. Согласно свойству 1 x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N. Тогда x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c(a(d(b)-(d(a(c(b). Отсюда, в силу коммутативности умножения натуральных чисел, заключаем, что xy=yx. Коммутативность умножения в кольце Z доказана. Остальные утверждения свойства 2 вытекают из следующих очевидных равенств, в которых через 0 и 1 обозначены натуральные числа нуль и единица: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(-b)=(a(0)+(-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x.
2.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Система целых чисел определена в 2.1 как минимальное по включению кольцо, содержащее все натуральные числа. Возникает вопрос - существует ли такое кольцо? Иными словами - непротиворечива ли система аксиом из 2.1. Чтобы доказать непротиворечивость этой системы аксиом, надо построить ее интерпретацию в заведомо непротиворечивой теории. Такой теорией можно считать арифметику натуральных чисел.
Итак, приступаем к построению интерпретации системы аксиом 2.1. Исходным будем считать множество . На этом множестве определим две бинарные операции , и бинарное отношение . Так как сложение и умножение пар сводится к сложению и умножению натуральных чисел, то как и для натуральных чисел, сложение и умножение пар коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения. Проверим, например, коммутативность сложения пар: +===+.
Рассмотрим свойства отношения ~. Так как a+b=b+a, то ~, то есть отношение ~ рефлексивно. Если ~, то есть a+b1=b+a1, то a1+b=b1+a, то есть ~. Значит, отношение ~ симметрично. Пусть далее ~ и ~. Тогда справедливы равенства a+b1=b+a1 и a1+b2=b1+a2. Складывая эти равенства, получим a+b2=b+a2, то есть ~. Значит, отношение ~ также транзитивно и, следовательно, является эквивалентностью. Класс эквивалентности, содержащей пару , будем обозначать через . Таким образом, класс эквивалентности может обозначаться любой своей парой и при этом
(1)
Множество всех классов эквивалентности обозначим через . Наша задача - показать, что это множество при соответствующем определении операций сложения и умножения и будет интерпретацией системы аксиом из 2.1. Операции на множестве определим равенствами:
(2)
(3)
Если и , то есть на множестве N справедливы равенства a+b(=b+a(, c+d(=a+c(, то справедливо также равенство (a+c)+(b(+d()=(b+d)+(a(+c(), из которого в силу (1) получаем, что . Это значит, что равенство (2) определяет однозначную операцию сложения на множестве , не зависящую от выбора пар, обозначающих слагаемые классы. Аналогично проверяется и однозначность умножения классов. Таким образом, равенства (2) и (3) определяют на множестве бинарные алгебраические операции.
Так как сложение и умножение классов сводится к сложению и умножению пар, то эти операции коммутативны, ассоциативны и умножение классов дистрибутивно относительно сложения. Из равенств , заключаем, что класс является нейтральным элементом относительно сложения и для каждого класса существует противоположный ему класс . Значит, множество является кольцом, то есть аксиомы группы 1 из 2.1 выполняются.
Рассмотрим в кольце подмножество . Если a(b, то в силу (1) , а если a
На множестве определим бинарное отношение (следует за(; именно, за классом следует класс , где x( есть натуральное число, следующее за x. Класс , следующий за естественно обозначить через (. Ясно, что класс не следует ни за каким классом и за каждым классом существует следующий за ним класс и притом только один. Последнее означает, что отношение (следует за( есть унарная алгебраическая операция на множестве N.
Рассмотрим отображение . Очевидно, это отображение биективно и выполняются условия f(0)= , f(x()==(=f(x)(. Это значит, что отображение f является изоморфизмом алгебры (N;0,() на алгебру (;,(). Иными словами, алгебра (;,() является интерпретацией системы аксиом Пеано. Отождествляя эти изоморфные алгебры, то есть полагая можно считать, что само множество N является подмножеством кольца . Это же отождествление в очевидных равенствах , приводит к равенствам a(c=a+c, a(c=ac, которые означают, что сложение и умножение в кольце на подмножестве N совпадают со сложением и умножением натуральных чисел. Таким образом, установлена выполнимость аксиом группы 2. Остается проверить выполнимость аксиомы минимальности.
Пусть Z0 - любое подкольцо кольца , содержащее множество N и . Заметим, что и, следовательно, . Но так как Z0 - кольцо, то разность этих классов тоже принадлежит кольцу Z0. Из равенств -= (= заключаем, что (Z0 и, следовательно, Z0=. Непротиворечивость системы аксиом п.2.1 доказана.
2.3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Существует только одна система целых чисел в их интуитивном понимании. Это значит, что система аксиом, определяющая целые числа, должна быть категоричной, то есть любые две интерпретации этой системы аксиом изоморфны. Категоричность и означает, что с точностью до изоморфизма существует только одна система целых чисел. Убедимся, что это действительно так.
Пусть (Z1;+,(,N) и (Z2;(,(,N) - любые две интерпретации системы аксиом п.2.1. Достаточно доказать существование такого биективного отображения f:Z1®Z2, при котором натуральные числа остаются неподвижными и кроме того для любых элементов x и y из кольца Z1 справедливы равенства
(1)
. (2)
Заметим, что поскольку N(Z1 и N(Z2, то
, a(b=a(b. (3)
Пусть x(Z1 и x=a-b, где a,b(N. Сопоставим этому элементу x=a-b элемент u=a(b, где ( вычитание в кольце Z2. Если a-b=c-d, то a+d=b+c, откуда в силу (3) a(d=b(c и, следовательно, a(b=c(d. Это значит, что наше соответствие не зависит от представителя элемента x в виде разности двух натуральных чисел и тем самым определяется отображение f : Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Ясно, что если v(Z2 и v=c(d, то v=f(c-d). Значит, каждый элемент из Z2 является образом при отображении f и, следовательно, отображение f сюрьективно.
Если x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N и f(x)=f(y), то a(b=c(d. Но тогда a(d=b(d, в силу (3) a+d=b+c, то есть a-b=c-d. Мы доказали, что из равенства [U1]f(x)=f(y) вытекает равенство x=y, то есть отображение f инъективно.
Если a(N, то a=a-0 и f(a)=f(a-0)=a(0=a. Значит, натуральные числа неподвижны при отображении f. Далее, если x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N, то x+y=(a+c)- и f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)((b(d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Справедливость равенства (1) доказана. Проверим равенство (2). Так как f(xy)=(ac+bd)((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c), а с другой стороны f(x)(f(y)=(a(b)((c(d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Значит, f(xy)=f(x)(f(y), чем и завершается доказательство категоричности системы аксиом п.2.1.
2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Множество Q рациональных чисел в их интуитивном понимании есть поле, для которого множество Z целых чисел является подкольцом. При этом очевидно, что если Q0 - подполе поля Q, содержащее все целые числа, то Q0=Q. Эти свойства мы и положим в основу строгого определения системы рациональных чисел.
Определение 1. Системой рациональных чисел называется такая алгебраическая система (Q;+,(;Z), для которой выполняются условия:
1. алгебраическая система (Q;+,() является полем;
2. кольцо Z целых чисел является подкольцом поля Q;
3. (условие минимальности) если подполе Q0 поля Q содержит подкольцо Z, то Q0=Q.
Короче, система рациональных чисел - это минимальное по включению поле, содержащее подкольцо целых чисел. Можно дать и более подробное аксиоматическое определение системы рациональных чисел.
Теорема. Каждое рациональное число x представимо в виде частного двух целых чисел, то есть
, где a,b(Z, b(0. (1)
Это представление неоднозначно, причем , где a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Доказательство. Обозначим через Q0 множество всех рациональных чисел, представимых в виде (1). Достаточно убедиться, что Q0=Q. Пусть , где a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Тогда по свойствам поля имеем: , а при c(0 . Значит Q0 замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа, и, следовательно, является подполем поля Q. Так как любое целое число a представимо в виде , то Z(Q0. Отсюда в силу условия минимальности и следует, что Q0=Q. Доказательство второй части теоремы очевидно.
2.5. СУЩЕСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Система рациональных чисел определена как минимальное поле, содержащее подкольцо целых чисел. Естественно возникает вопрос - существует ли такое поле, то есть является ли непротиворечивой система аксиом, определяющая рациональные числа. Для доказательства непротиворечивости надо построить интерпретацию этой системы аксиом. При этом можно опираться на существование системы целых чисел. Исходным при построении интерпретации будем считать множество Z(Z\{0}. На этом множестве определим две бинарные алгебраические операции
, (1)
(2)
и бинарное отношение
(3)
Целесообразность именно такого определения операций и отношения ~ вытекает из того, что в той интерпретации, которую мы строим, пара будет выражать частное .
Легко проверить, что операции (1) и (2) коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения. Все эти свойства проверяются на основании соответствующих свойств сложения и умножения целых чисел. Проверим, например, ассоциативность умножения пар: .
Аналогично проверяется, что отношение ~ является эквивалентностью, и, следовательно, множество Z(Z\{0} разбивается на классы эквивалентности. Множество всех классов обозначим через , а класс, содержащий пару - через . Таким образом, класс может обозначаться любой своей парой и в силу условия (3) получим:
. (4)
Наша задача - так определить операцию сложения и умножения на множестве , чтобы было полем. Эти операции определим равенствами:
, (5)
(6)
Если , то есть ab1=ba1 и , то есть cd1=dc1, то перемножая эти равенства, получим (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), а это значит, что Это убеждает нас в том, что равенство (6) действительно определяет однозначную операцию на множестве классов, не зависящую от выбора представителей в каждом классе. Аналогично проверяется однозначность операции (5).
Так как сложение и умножение классов сводится к сложению и умножению пар, то операции (5) и (6) коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения.
Из равенств , заключаем, что класс является нейтральным элементов относительно сложения и для каждого класса существует противоположный ему элемент . Аналогично, из равенств вытекает, что класс есть нейтральный элемент относительно умножения и для каждого класса существует обратный ему класс . Значит, является полем относительно операций (5) и (6); первое условие в определении п.2.4 выполняется.
Рассмотрим далее множество . Очевидно, . Множество замкнуто относительно вычитания и умножения и, следовательно, является подкольцом поля . Действительно, , . Рассмотрим далее отображение , . Сюръективность этого отображения очевидна. Если f(x)=f(y), то есть , то x(1=y(1 или x=y. Значит отображение f и инъективно. Кроме того , . Таким образом, отображение f является изоморфизмом кольца в кольцо . Отождествляя эти изоморфные кольца, можно считать, что кольцо Z является подкольцом поля , то есть выполняется условие 2 в определении п.2.4. Остается доказать минимальность поля . Пусть - любое подполе поля и ,и пусть . Так как , а , то . Но так как - поле, то частное этих элементов тоже принадлежит полю . Тем самым доказано, что если , то , то есть . Существование системы рациональных чисел доказано.
2.6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Поскольку система рациональных чисел в их интуитивном понимании существует только одна, то аксиоматическая теория рациональных чисел, которая здесь излагается, должна быть категоричной. Категоричность и означает, что с точностью до изоморфизма существует только одна система рациональных чисел. Покажем, что это действительно так.
Пусть (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z) - любые две системы рациональных чисел. Достаточно доказать существование такого биективного отображения , при котором все целые числа остаются неподвижными и кроме того выполняются условия
(1)
(2)
для любых элементов x и y из поля Q1.
Частное элементов a и b в поле Q1 будем обозначать через , а в поле Q2 - через a:b. Так как Z есть подкольцо каждого из полей Q1 и Q2, то для любых целых чисел a и b справедливы равенства
, . (3)
Пусть и , где , . Сопоставим этому элементу x элемент y=a:b из поля Q2. Если в поле Q1 справедливо равенство , где , , , то по теореме п.2.4 в кольце Z выполняется равенство ab1=ba1, или в силу (3) равенство , и тогда по той же теореме в поле Q2 справедливо равенство a:b=a1:b1. Это значит, что сопоставляя элементу из поля Q1 элемент y=a:b из поля Q2, мы определяем отображение , .
Любой элемент из поля Q2 представим в виде a:b, где , и, следовательно, является образом элемента из поля Q1. Значит, отображение f сюръективно.
Если , то в поле Q1 и тогда . Таким образом, отображение f биективно и все целые числа остаются неподвижными. Остается доказать справедливость равенств (1) и (2). Пусть и , , где a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Тогда и , откуда в силу (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Аналогично, и , откуда .
Изоморфизм интерпретаций (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z) доказан.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.
1.1.1. Решение. Пусть условие аксиомы 4 истинно ( такое свойство натуральных чисел, что ((0) и . Положим . Тогда M удовлетворяет посылке аксиомы 4, поскольку ((0)(0(M и . Следовательно, M=N, т.е. любое натуральное число обладает свойством (. Обратно. Допустим, что для любого свойства ( из того, что ((0) и , следует . Пусть M - такое подмножество из N, что 0(M и . Покажем, что M=N. Введем в рассмотрение свойство (, полагая . Тогда ((0), поскольку , и . Таким образом, , следовательно, M=N.
1.1.2. Ответ: Истинны утверждения 1-й и 4-й аксиом Пеано. Утверждение 2-й аксиомы ложно.
1.1.3. Ответ: истинны утверждения 2,3,4 аксиом Пеано. Утверждение 1-й аксиомы ложно.
1.1.4. Истинны утверждения 1, 2, 3-й аксиом Пеано. Утверждение 4-й аксиомы ложно. Указание: докажите, что множество удовлетворяет посылке аксиомы 4, сформулированной в терминах операции , но .
1.1.5. Указание: для доказательства истинности утверждения аксиомы 4 рассмотрите подмножество M из A, удовлетворяющее условиям: а) 1((M, б) , и множество . Докажите, что . Тогда M=A.
1.1.6. Истинны утверждения 1,2,3-й аксиом Пеано. Утверждение 4-й аксиомы Пеано ложно.
1.6.1. а) Решение: Сначала докажите, что если 1am. Обратно. Пусть am
1.6.2. а) Решение: Допустим противное. Через M обозначим множество всех чисел, которые не обладают свойством (. В силу предположения, M((. В силу теоремы 1 в M существует наименьший элемент n(0. Любое число x
1.8.1. е) Используйте п. д) и п. в): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, следовательно, (a-b)-(c-b)=a-c.
з) Используйте свойство .
л) Используйте п. б).
м) Используйте п. б) и п. з).
1.8.2. в) Имеем , следовательно, . Итак, .
г) Имеем . Следовательно, .
ж) .
1.8.3. а) Если ( и ( различные решения уравнения ax2+bx=c, то a(2+b(=a(2+b(. С другой стороны, если, например, (<(, то a(2+b(
б) Пусть ( и ( - различные решения уравнения. Если (<(, то (2-(2=((-()((+(). С другой стороны, (2-(2=(a(+b)-(a(+b)=a(-a(=a((-(). Следовательно, a=(+(>(. Однако (2=a(+b>a(, следовательно, (>a. Получили противоречие.
в) Пусть ( и ( - различные корни уравнения и (>(. Тогда 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-()(((+(). Итак, a((+()=2, но (+(>2, следовательно, a((+()>2, что невозможно.
1.8.4. а) x=3; б) x=y=2. Указание: поскольку и , имеем x=y; в) x=y(y+2), y - любое натуральное число; г) x=y=2; д) x=2, y=1; е) С точностью до перестановок x=1, y=2, z=3. Решение: Пусть, например, x(y(z. Тогда xyz=x+y+z(3z, т.е. xy(3. Если xy=1, то x=y=1 и z=2+z, что невозможно. Если xy=2, то x=1, y=2. В этом случае 2z=3+z, т.е. z=3. Если xy=3, то x=1, y=3. Тогда 3z=4+z, т.е. z=2, что противоречит предположению y(z.
1.8.5. б) Если x=a, y=b - решение уравнения, то ab+b=a, т.е. a>ab, что невозможно. г) Если x=a, y=b - решение уравнения, то b
1.8.6. а) x=ky, где k,y - произвольные натуральные числа и y(1. б) x - произвольное натуральное число, y=1. в) x - произвольное натуральное число, y=1. г) Решения нет. д) x1=1; x2=2; x3=3. е) x>5.
1.8.7. а) Если a=b, то 2ab=a2+b2. Пусть, например, a
ЛИТЕРАТУРА
1. Редьков М.И. Числовые системы. /Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы". Часть 1.- Омск: ОмГПИ, 1984.- 46с.
2. Ершова Т.И. Числовые системы. /Методическая разработка для практических занятий.- Свердловск: СГПИ, 1981.- 68с.
|
