Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине «математика» для студентов заочного отделения

Примеры решения задач

1. 
   Вычислить пределы функций:
   

2. 
   Составить уравнения асимптот к графику функции:
   

а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

В примере График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением у=2.

Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.

В примере функция не существует при х=3.

вертикальная асимптота с уравнением х=3.

Для определения наклонной асимптоты с уравнением y=kx +b находят

Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.

В примере

Так как k=0, то наклонной асимптоты не имеется.

б)

Выполним последовательно значения пределов:

График функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Функция не существует при х=0,5

с уравнением х=0,5

Вычислим График функции имеет наклонную асимптоту.
Наклонная асимптота имеет уравнение у=0,5х + 0,25

3. Построить график функции, определив тип точек разрыва:

Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.

Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.

Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках

а) x<-2 y=-x²-6x-7 (парабола)

xi	-5	-4	-3	-2
yi	-2	1	3	1

б) -2<1 y=x+3 (прямая)

xi	-2	1
yi	1	4

в) х>1

xi	1,1	1,5	2	5	9
yi	9	1	0	-0,75	-0,875

Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной

асимптоты у=-1



2.Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. 
   Матрицы, их виды.
   
2. 
   Действия над матрицами.
   
3. 
   Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
   
4. 
   Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.
   
5. 
   Решение матричных уравнений.
   
6. 
   Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.
   

!. Выполнить действия над матрицами

Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)

Решение

Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е

а)

Решение

3. 
   Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка
   

Решение

Для проверки можно найти произведение матриц А и А^-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.

3. 
   Решить систему уравнений по формулам Крамера
   

Решение

• 
  главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;
  
• 
  дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;
  
• 
  дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;
  
• 
  дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;
  

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.

3. 
   Дифференциальное исчисление
   

1. 
   Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
   
2. 
   Исследование функции на монотонность.
   
3. 
   Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
   
4. 
   Исследование функции на экстремум.
   
5. 
   Геометрический и механический смыслы производной.
   
6. 
   Построение графика функции, используя схему исследования свойств.
   

Примеры решения задач

1. 
   Найти производные функций:
   

Решение

2. 
   Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x³ - 3x² - 45x + 20
   

Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

2. 
   Найдем первую производную и определим соответствующие свойства
   

Воспользуемся таблицей:

х	(-; -3)	-3	(-3;5)	5	(5;)
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		max		min

Функция возрастает в интервалах (-;-3) и (5;), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.

3. 
   Найдем вторую производную f^”(x)=(3x² – 6x –45)^’=6x-6.
   

Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

х	(-; 1)	1	(1;)
f”(x)	-	0	+
f(x)	 выпуклая	точка перегиба	 вогнутая

4. 
   Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:
   

4. 
   Интегральное исчисление
   

1. 
   Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
   
2. 
   Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
   
3. 
   Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
   
4. 
   Способы вычисления определенного интеграла.
   
5. 
   Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
   

Примеры решения задач

1. 
   Найти неопределенные интегралы:
   

Решение

2. 
   Вычислить определенные интегралы:
   

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

б)

Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем

значения функций и составим их таблицы:

х	-1	0	1	2	3		х	-1	3
у1	-4	1	4	5	4		у2	-4	4

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла

5. 
   Дискретная математика
   

1. 
   Множества, их виды, способы задания.
   
2. 
   Простейшие действия над множествами.
   
3. 
   Отношения, их некоторые виды.
   
4. 
   Графы, их основные элементы.
   
5. 
   Некоторые виды графов.
   

1. 
   Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.
   

AB={2; 3; 4; 5; 6; 7}, AB={3; 4}, A \ B ={6; 7}

б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]

AB=(-1;5]; AB=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)

В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.

6. 
   Комплексные числа
   

1. 
   Определение комплексного числа в алгебраической форме.
   
2. 
   Геометрическое изображение комплексного числа.
   
3. 
   Тригонометрическая форма комплексного числа.
   
4. 
   Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
   

1. 
   Построить на координатной плоскости числа Z₁ , Z₂, где Z₁=3-2i, Z₂=-1+i.
   

На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом

координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.

2. 
   Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.
   

Решение

Выполним действия над числами:

Z₁+Z₂=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i
Z₁-Z₂=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I
Z₁ ^.Z₂=(3+4i) ^. (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i²=-6+7i – 20= - 26 + 7i

3. 
   Представить число в тригонометрической форме Z=
   

7. 
   Элементы теории вероятностей
   

1. 
   Случайные события, их виды.
   
2. 
   Вероятность случайного события, способы ее получения.
   
3. 
   Комбинаторика. Применение элементов комбинаторики к вычислению вероятности.
   
4. 
   Действия над случайными событиями, вычисление вероятностей результатов действий.
   
5. 
   Случайные величины, их виды. Закон распределения случайной величины
   
6. 
   Ряд и функция распределения дискретной случайной величины.
   
7. 
   Математическое ожидание дискретной случайной величины.
   
8. 
   Дисперсия дискретной случайной величины.
   

1. 
   Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.
   

Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.

2. 
   Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».
   

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

А – получение слова «роман»; В₁ – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В₂ – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В₁ ^. В₂ ^. В₃ ^. В₄ ^. В₅

Р(А)=Р(В₁) ^. Р(В₂) ^. Р(В₃) ^. Р(В₄) ^. Р(В₅)=

3. 
   В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,
   

Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В₁ – извлечение качественного изделия из первого ящика;

В₂ – извлечение качественного изделия из второго ящика; В₃– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность

4. 
   Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины
   

хi	-1	2	6
pi	0,5	0,3	0,2

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой

Получим M(X)=(-1)^.0,5+2^.0,3+6^.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)^{2 .} 0,5+(2-1,3)^{2 .} 0,3+(6-1,3)^{2 .} 0,2=7,21

Для построения функции распределения воспользуемся схемой:

Используя значения заданного примера получим графики:

1. 
   Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008
   
2. 
   «Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004
   
3. 
   Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010
   
4. 
   Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008
   
5. 
   Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005
   
6. 
   Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007
   
7. 
   Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. Н.И. Сидняев – М.: Издательство Юрайт, 2011