Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Промышленно-экономический колледж»
(СПб ГБОУ СПО «ПЭК»)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению домашней контрольной работы
по дисциплине «математика»
для студентов заочного отделения
(для всех специальностей)
Санкт-Петербург
2012 г.
Аннотация
Пособие предназначено для оказания помощи студентам заочного отделения при выполнении домашней контрольной работы по математике или по элементам высшей математики. Пособие включает в себя некоторые разделы, имеющиеся в этих курсах.
Пособие может быть использовано студентами дневной формы обучения.
Автор: Воробьева Г.Н.- преподаватель Промышленно-экономического колледжа
Содержание
-
Теория пределов.
-
Линейная алгебра.
-
Дифференциальное исчисление.
-
Интегральное исчисление.
-
Элементы дискретной математики.
-
Комплексные числа.
-
Элементы теории вероятностей.
-
Литература.
1. Теория пределов
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Определение предела функции.
-
Свойства пределов функций.
-
Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.
-
Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа /.
-
Понятие разрыва функции. Типы разрывов.
-
Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.
-
Первый и второй замечательные пределы.
-
Вычислить пределы функций:
-
Составить уравнения асимптот к графику функции:
Решение
а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.
В примере График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением у=2.
Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.
В примере функция не существует при х=3.
Так как оба предела бесконечны, то имеется
вертикальная асимптота с уравнением х=3.
Для определения наклонной асимптоты с уравнением y=kx +b находят
Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.
В примере
Так как k=0, то наклонной асимптоты не имеется.
б)
Выполним последовательно значения пределов:
График функции не имеет горизонтальной асимптоты.
Функция не существует при х=0,5
График функции имеет вертикальную асимптоту
с уравнением х=0,5
Вычислим График функции имеет наклонную асимптоту.
Наклонная асимптота имеет уравнение у=0,5х + 0,25
3. Построить график функции, определив тип точек разрыва:
Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.
Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.
Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках
а) x<-2 y=-x2-6x-7 (парабола)
-
xi
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
yi
|
-2
|
1
|
3
|
1
|
б) -2<1 y=x+3 (прямая)
-
в) х>1
-
xi
|
1,1
|
1,5
|
2
|
5
|
9
|
yi
|
9
|
1
|
0
|
-0,75
|
-0,875
|
Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной
асимптоты у=-1
2.Линейная алгебра
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Матрицы, их виды.
-
Действия над матрицами.
-
Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
-
Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.
-
Решение матричных уравнений.
-
Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.
Примеры решения задач.
!. Выполнить действия над матрицами
Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)
Решение
Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.
Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:
Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е
2. Вычислить определитель матрицы:
а)
Решение
а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:
б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:
-
Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка
Решение
Для получения обратной матрицы А-1 воспользуемся формулой , где
Для проверки можно найти произведение матриц А и А-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.
-
Решить систему уравнений по формулам Крамера
Решение
Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:
-
главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;
-
дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;
-
дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;
-
дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;
Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.
Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.
-
Дифференциальное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
-
Исследование функции на монотонность.
-
Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
-
Исследование функции на экстремум.
-
Геометрический и механический смыслы производной.
-
Построение графика функции, используя схему исследования свойств.
Примеры решения задач -
Найти производные функций:
Решение
При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.
-
Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x3 - 3x2 - 45x + 20
Решение
Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:
1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.
-
Найдем первую производную и определим соответствующие свойства
функции. f’(x)=3x2 – 6x –45. Решим уравнение 3х2 – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.
Воспользуемся таблицей:
-
х
|
(-; -3)
|
-3
|
(-3;5)
|
5
|
(5;)
|
f’(x)
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
f(x)
|
|
max
|
|
min
|
|
Функция возрастает в интервалах (-;-3) и (5;), убывает в интервале (-3; 5).
Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.
-
Найдем вторую производную f”(x)=(3x2 – 6x –45)’=6x-6.
Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.
Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:
-
х
|
(-; 1)
|
1
|
(1;)
|
f”(x)
|
-
|
0
|
+
|
f(x)
|
выпуклая
|
точка
перегиба
|
вогнутая
|
-
Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:
х
|
- 6
|
-5
|
-3
|
- 1
|
0
|
1
|
2
|
4
|
5
|
7
|
9
|
f(x)
|
- 34
|
45
|
101
|
61
|
20
|
- 27
|
-74
|
-144
|
-155
|
-99
|
101
|
|
|
|
max
|
|
|
пер.
|
|
|
min
|
|
|
-
Интегральное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
-
Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
-
Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
-
Способы вычисления определенного интеграла.
-
Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
Примеры решения задач -
Найти неопределенные интегралы:
Решение
При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.
б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:
в)
г) Будем использовать подстановку:
д) Воспользуемся подстановкой:
-
Вычислить определенные интегралы:
Решение
При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница
. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.
б)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0
Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем
значения функций и составим их таблицы:
х
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
х
|
-1
|
3
|
у1
|
-4
|
1
|
4
|
5
|
4
|
у2
|
-4
|
4
|
Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла
-
Дискретная математика
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Множества, их виды, способы задания.
-
Простейшие действия над множествами.
-
Отношения, их некоторые виды.
-
Графы, их основные элементы.
-
Некоторые виды графов.
Упражнения и их решение.
-
Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.
а) А={3; 4; 6; 7}, B={2; 3; 4; 5}
AB={2; 3; 4; 5; 6; 7}, AB={3; 4}, A \ B ={6; 7}
б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]
AB=(-1;5]; AB=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)
В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.
-
Комплексные числа
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Определение комплексного числа в алгебраической форме.
-
Геометрическое изображение комплексного числа.
-
Тригонометрическая форма комплексного числа.
-
Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Примеры решения задач
-
Построить на координатной плоскости числа Z1 , Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.
Решение
На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом
координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.
-
Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.
Z1=3+4i, Z2=2i18-5i15
Решение
Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i18=i16+2=i16i2=1i2=-1, i15=i12+3=i12i3=i3=-i, Z2=-2+5i
Выполним действия над числами:
Z1+Z2=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i
Z1-Z2=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I
Z1 .Z2=(3+4i) . (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i2=-6+7i – 20= - 26 + 7i
-
Представить число в тригонометрической форме Z=
Найдем модуль и аргумент комплексного числа
-
Элементы теории вероятностей
Изучить по учебной литературе вопросы:
-
Случайные события, их виды.
-
Вероятность случайного события, способы ее получения.
-
Комбинаторика. Применение элементов комбинаторики к вычислению вероятности.
-
Действия над случайными событиями, вычисление вероятностей результатов действий.
-
Случайные величины, их виды. Закон распределения случайной величины
-
Ряд и функция распределения дискретной случайной величины.
-
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
-
Дисперсия дискретной случайной величины.
Примеры решения задач
-
Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.
Решение
Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.
-
Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».
Решение
В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий
А – получение слова «роман»; В1 – извлечение первой карточки с буквой «р»;
В2 – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В1 . В2 . В3 . В4 . В5
Р(А)=Р(В1) . Р(В2) . Р(В3) . Р(В4) . Р(В5)=
-
В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,
1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.
Решение
Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В1 – извлечение качественного изделия из первого ящика;
В2 – извлечение качественного изделия из второго ящика; В3– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность
-
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины
-
Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой
Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3
Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.
В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21
M(X2)=(-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9
D(X)= 8,9 – 1,32 =7,21 (значения должны совпадать)
Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (xi ;pi) и последовательно их соединить отрезками.
Для построения функции распределения воспользуемся схемой:
В примере получим
Используя значения заданного примера получим графики:
Литература
-
Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008
-
«Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004
-
Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010
-
Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008
-
Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005
-
Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007
-
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. Н.И. Сидняев – М.: Издательство Юрайт, 2011
Достарыңызбен бөлісу: |