Многоаспектные векторные логики

Аршинский Л.В.

Восточно-Сибирский институт МВД России

1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Логики с произвольным числом аспектов истинности назовем многоаспектными векторными логиками, или, сокращенно, Vⁿ-логиками.

Для начала обратим внимание на следующий момент: каковы бы ни были аспекты истинности в произвольной многаспектной логике, все они могут быть разделены на два класса. В первом случае истинность, выраженная вектором , предпочтительнее истинности , если , Во втором,  если . В каком смысле можно говорить о предпочтении здесь не уточняем, а просто обратим внимание, что рост (убывание) аспектов первого и второго типа влияют на истинность взаимно противоположным образом (пример – аспекты Истина и Ложь). Аспекты первого типа назовем позитивными, а второго негативными. Чтобы различать их между собой будем пользоваться символами «+» и «» соответственно. При этом в отличие V^TF-логик, где аспектов всего два, и для них определены позиции в векторе, в Vⁿ-логиках возникает необходимость явно указать характер аспектов (позитивный/негативный). Поэтому символы + и целесообразно применять не только в буквенной, но и в числовой записи векторов истинности (например ). Однако предлагается вначале указывать позитивные, а затем негативные компоненты. Такую запись назовем нормальной формой вектора истинности:

.

Далее введем полезные понятия логического инфинума (linf ) и логического супремума (lsup ). Обозначим множество значений i-го аспекта истинности n­-аспектной векторной логики символом  ⁱ,а все множество возможных значений вектора истинности как . В качестве  ⁱ примем отрезок [0,1].

Обозначать его будем как linfⁱ. Если соответствующая граничная точка принадлежит упомянутому множеству (как в нашем случае), то linfⁱ можно назвать также логическим минимумом.

Обозначать его будем как lsupⁱ. Если граничная точка принадлежит упомянутому множеству, lsupⁱ назовем также логическим максимумом.

Если l ⁱ=[0,1] и i -ый аспект позитивный, то linfⁱ=0, lsupⁱ=1. Для негативного аспекта наоборот: linfⁱ=1, lsupⁱ=0.

Пользуясь linf и lsup можно обобщить некоторые понятия из V^TF-логик.

Для Vⁿ-логики, в которой все l ⁱ=[0,1], предельными будут векторы , и так далее до .

и минимальным, если

Оба этих суждения предельны.

Понятия максимального и минимального суждений служат обобщением понятий истинного и ложного суждения в классической логике, и строго истинного и строго ложного – в логиках V^TF.

2. ЧИСТОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СУЖДЕНИЙ

Здесь и – операции композиционного умножения и сложения – подкласс триангулярных конормы и нормы, удовлетворяющих, соответственно, аксиомам:

Сложение и умножение производятся по всем позитивным и всем негативным аспектам.

Отметим некоторые свойства введенных проекций.

В силу свойств композиционного сложения и умножения для обоих видов проекций справедливо:

(для краткости записи, совпадающие по структуре и смыслу выражения для позитивных и негативных аспектов, объединяем). Данные соотношения и обусловили принятые названия. Выполняются соотношения: и . Помимо максимальной и минимальной проекций удобно ввести еще среднепозитивную и средненегативную проекции:

где А ⁺ и А^  множества позитивных и негативных аспектов вектора ||a||, N(А⁺) и N(А^)  количество соответствующих аспектов. Смысл данных числовых характеристик вполне очевиден. Очевидно также, что

Как для максимальной и минимальной проекций, для средних проекций справедливы свойства: .

Минимальная и максимальная проекции определяют нижнюю и верхнюю границы значений соответствующих аспектов истинности, а среднее – их усредненную величину («среднюю проекцию»).

Вышеперечисленные проекции будут использованы при построении числовых мер для Vⁿ-логик. С этой целью объединим некоторые из вышеперечисленных понятий в понятие характерной проекции. При этом будем рассматривать два основных случая.

Характерную позитивную и характерную негативную проекции будем обозначать как и . На их основе можно ввести для Vⁿ-логик специальную форму вектора истинности, аналогичную вектору истинности для V^TF-логик.

Приведенная форма позволяет провести аналогию с V^TF-логиками, и отчасти воспользоваться полученными там результатами. В частности, можно обобщить меру определенности, рассматривая ее в Vⁿ-логиках как число

Перейдем к обобщению меры противоречия, для случаев А и Б.

где P – множество всех пар компонентов вектора ||a|| таких, что i ≠ j, а N(P) – число таких пар. Поскольку N(P) равно числу сочетаний из n элементов по два, в более развернутой форме данное выражение примет вид:

где n – число аспектов вектора истинности. Для двухаспектной логики, например логики V^TF, формула (2) даст знакомую конструкцию [1]:

Для трехаспектной логики это будет

Иначе говоря, суждение противоречиво настолько, насколько информационно подкреплены как позитивные, так и негативные аспекты.

Легко видеть, что в случае Б при таком определении меры противоречия равна 0, если вектор истинности содержит только позитивные либо только негативные аспекты.

Наконец, меру достоверности для Vⁿ-логик как в случае А, так и в случае Б будем вычислять по формуле:

Это выражение – обобщение меры достоверности в V^TF-логиках [1].

3. СРАВНЕНИЕ СУЖДЕНИЙ

Обозначать отношение логического порядка будем как

Помимо логического, для аспектов векторов истинности можно ввести также информационный порядок, который есть не что иное, как обычный числовой порядок между ними. Информационным он является по сути, поскольку чем большее значение имеет тот или иной аспект, тем более сильные свидетельства поступили в его пользу. Возможность существования в логиках двух этих порядков: логического и информационного отмечен еще для логики Данна, значениями истинности в которой являются все подмножества множества {Истина, Ложь} [5]. Поскольку информационный порядок для аспектов истинности не отличим от числового, специальные обозначения для него не вводим, а пользуемся обычными отношениями ≤ и ≥. Основываясь на этих понятиях, обобщим рассмотренные в V^TF-логиках отношения правдоподобия и доминирования на случай Vⁿ-логик.

т.е., если все аспекты вектора ||a|| не меньше соответствующих аспектов вектора ||b|| в обычном «арифметическом» смысле.

т.е., если все аспекты вектора ||a|| не меньше соответствующих аспектов вектора ||b|| в «логическом» смысле.

Как и в V^TF-логиках, будем называть данные отношения отношениями доминирования и правдоподобия и обозначать их, соответственно, как и .

Пример. В качестве примера рассмотрим три трехаспектных вектора:, и . Согласно определениям, и .

Очевидно, что в отличие от V^TF-логик, где каждая пара векторов истинности следует отношению правдоподобия или доминирования, в произвольной Vⁿ-логике ситуация не столь определенна. Здесь возможны случаи, когда пара векторов не отвечает ни тому, ни другому отношению (например, , . Однако вряд ли необходимо для каждого такого случая придумывать особое название. Правдоподобие и доминирование получили специальные названия лишь потому, что отражают самые характерные из возможных ситуаций, причем имеющие достаточно явную смысловую интерпретацию. Тем не менее, не исключена возможность того, что в каких-то логиках будут представлять интерес и другие комбинации преобладания/отставания в аспектах истинности. Также можно вводить порядок на основе различных числовых показателей (мер) суждений, как это делается в V^TF-логиках.

4. СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ

для всех аспектов вектора истинности.

для всех аспектов вектора истинности.

Очевидно, что при переходе к V^TF-логикам мы получаем обычную первую и вторую формы дизъюнкции и конъюнкции. Обозначать данные операции будем так же, как и в V^TF-логиках: – для первой формы дизъюнкции; – для второй формы дизъюнкции; – для первой формы конъюнкции; – для второй формы конъюнкции.

В силу коммутативности и ассоциативности операций композиционного сложения и композиционного умножения, обе формы дизъюнкции и конъюнкции также ассоциативны и коммутативны. Легко проверить также, что если данные операции сложения и умножения дистрибутивны по законам:

то первая форма дизъюнкции и конъюнкции дистрибутивны между собой. Аналогично и вторые формы дизъюнкции и конъюнкции. Дистрибутивность выполняется, например, если композиционное сложение и умножение задаются функциями:

В этом случае справедливо также и свойство идемпотентности:

Обозначая максимальное и минимальное суждения, соответственно, буквами и и л, а полностью насыщенное (все компоненты вектора истинности равны единице) и неопределенное  символами п и н, с учетом того, что для позитивных аспектов истинности логический максимум и логический минимум равны, соответственно, 1 и 0, а для негативных наоборот  0 и 1, получаем следующие соотношения:

 для дизъюнкций и

 для конъюнкций. Т.е. л и и, а также н и п играют роль нуля и единицы для соответствующих форм конъюнкции и дизъюнкции.

Для логик, аспекты истинности которых только позитивны, первая и вторая форма дизъюнкции, а также первая и вторая форма конъюнкции совпадают между собой.

Легко удостовериться также, что для произвольных векторных логик, с введенными на них операциями дизъюнкции и конъюнкции в 1-й и 2-й форме, а также отношениями правдоподобия и доминирования, введенными согласно определениям 10 и 11, справедливы отношения:

и

(аналогично, );

подобные тем, что выполнялись для логик V^TF.

Отрицания. В V^TF-логиках существовало две формы отрицания: отрицание в форме перестановки (первая форма) и отрицания в форме дополнения (вторая форма)[1]. Обсудим возможность введения подобных же отрицаний в логиках Vⁿ. Сначала разберем первую форму отрицания. Очевидно, что при перестановке местами значений компонентов истинности в векторе Истина; Ложь мы принимаем во внимание содержательный смысл данных аспектов: аспект Истина выражает совокупную силу всех факторов, подтверждающих суждение, аспект Ложь  опровергающих его. Именно знание содержательной стороны аспектов позволило вложить смысл и в операцию перестановки, объявив ее отрицанием. Однако в общем случае Vⁿ-логик, когда мы сознательно абстрагируемся от содержательного смысла аспектов, такая перестановка обессмысливается. Это ограничивает сферу применимости первой формы отрицания для общего случая Vⁿ-логик.

Еще одной формой отрицания V^TF-логик является отрицание в форме дополнения: . Данное отрицание легко обобщается на многоаспектный случай:

и не вызывает вышеупомянутых проблем. Для него, в частности, по-прежнему сохраняются законы де Моргана для обеих форм конъюнкции и дизъюнкции:

Вторая форма отрицания – это отрицание в силу отсутствия свидетельств: мы отрицаем каждый аспект истинности настолько, насколько нам не хватает уверенности для его «безоговорочного принятия».

5. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД

Сначала рассмотрим правило modus ponens. Одна из его форм в V^TF-логиках такова (правило С-МР [1]):

где i = ab, - строгая истина; через двоеточие указана схема расчета истинности заключения. Запись означает, что значения аспекта Истина принадлежат интервалу , а значения аспекта Ложь – интервалу [1]. Это правило несложно обобщить на случай произвольного числа аспектов истинности. Обобщение имеет вид:

Вектор здесь играет роль вектора И = 1; 0 в V^TF-логиках.

Сложнее обстоит дело с обобщением правила С-МР2 [1]. Это связано с тем, что при его формулировке для V^TF-логик используется отрицание в форме перестановки. Это своего рода «конструктивное» отрицание, если под конструктивностью понимать прямое обоснование значений всех аспектов истинности посредством соответствующих свидетельств. Выше говорилось, что для произвольных векторных логик, когда содержательный смысл аспектов истинности неизвестен, оно бессмысленно. Также бессмысленна и попытка построить правило С-МР2 на базе этого отрицания. Однако возможна формулировка С-МР2 на основе второй формы отрицания. Для V^TF-логик оно имеет вид:

|- .

Точно таким же оно будет и для Vⁿ-логик.

Аналогично и для правила modus tollens. Оно тоже может быть заранее выведено только для второй формы отрицания, причем как для С-МТ, так и для С-МТ2. Для С-МТ правило записывается как

|- .

Откуда

Для случая С-МТ2 получаем:

Отсюда:

Несколько слов следует сказать по поводу вывода на основе первой и второй форм отрицания. Вывод на основе первой формы учитывает данные, поступившие в пользу различных аспектов истинности, вывод на основе второй формы – возможное влияние отсутствующих данных. Это две различные методики (причем первая, как уже говорилось, проблематична для общего случая Vⁿ-логик). Ясно, что они дают различающиеся значения истинности заключений.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Важно и то, что нужно иметь в виду существование двух типов Vⁿ-логик: А-типа, когда противоречие связывается с отличием от 0 хотя бы двух компонентов вектора истинности и Б-типа, когда противоречивось связывается с отличием от 0 хотя бы одного позитивного и одного негативного аспекта истинности там, где они имеются.

1. 
   Аршинский Л.В. Логический вывод при принятии решений на основе логик с векторной семантикой// Труды III международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO’04. – М: Институт проблем управления, 2004. – С.396-412.
   
2. 
   Аршинский Л.В. Интервальное оценивание истинности в системах автоматизированных рассуждений на основе V^TF-логик// Труды IV международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO’05. – М: Институт проблем управления, 2005. – С.1061-1074.
   
3. 
   Аршинский Л.В. Использование противоречивых оценок истинности при анализе случайных событий// Идентификация систем и задачи управления. Труды V международной конференции SICPRO’06. – М: Институт проблем управления, 2006. – С.2111-2125.
   
4. 
   Аршинский Л.В. Моделирование множеств с противоречиями на основе векторного представления истинности// Идентификация систем и задачи управления. Труды VI международной конференции SICPRO’07. – М: Институт проблем управления, 2007. – С.716-724.
   
5. 
   Шрамко Я.В. Обобщенные истинностные значения: решетки и мультирешетки// Логические исследования. – М.: Наука, 2002. – Выпуск 9. – С.264-291.