Модель Дискретно-непрерывного пространства-времени и апории движения «ахиллес» и

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00–06–80178).

Как следствие, получено новое развитие представления о возможной дискретности структуры пространства-времени и соответствующего ему физического содержания – новой материальной среды. Можно сказать, что достаточным основанием гипотезы о реальности нового вида материи служит сам факт объективного существования фундаментальных констант, свойства которых качественно отличаются от свойств величин, характеризующих вещественно-полевой мир.

Наличие минимального элемента l_pl позволило, с одной стороны, получить ограничение на область применимости СТО, а с другой стороны, сформулировать для движения вещественного объекта понятие предельной скорости, являющейся функцией параметров этого объекта:
v_max = c (1 – l_pl²/l₀²)^1/2, (1)
где l₀ – характерный размер элементарной частицы в собственной системе отсчета [3].

Для объектов, относящихся к элементарным частицам с характерным размером l₀ = l_pl, следует существование нового состояния [4]:

Подобное кинематическое свойство инвариантного покоя – это та альтернатива, которая в свое время не была должным образом рассмотрена при анализе всех возможных кинематических условий существования эфира [5]. Действительно, при введении понятия эфира, пространственно покоящегося относительно любой инерциальной системы отсчета, законы, описывающие явления природы, не будут находиться в зависимости от состояния движения, поскольку понятия равномерного и прямолинейного движения для вещественных объектов относительно такого эфира не существует. При таких и только при таких условиях, накладываемых на среду, может выполняться принцип относительности, представляющий собой прямое проявление свойства инвариантного покоя эфира. В такой инвариантно покоящейся среде, играющей роль светоносной, всегда оказывается справедливым принцип постоянства скорости света, являющийся также следствием инвариант­ности покоя эфира относительно инерциальных наблюдателей.

С этих позиций был проведен сравнительный анализ инвариантных свойств новой среды и контраргументов, высказанных против эфира в период построения СТО [6]. Показано, что в процессе построения СТО кинематические свойства среды (эфира) были возведены Эйнштейном в ранг постулатов и существующий к тому времени формализм Лоренца – Пуанкаре оказался нормированным на эти условия. Придав инвариантности скорости света и относительности статус принципов, Эйнштейн тем самым вывел возможное изучение этой среды за рамки СТО. В дальнейшем анализ принципов, положенных в основание теории, позволил Эйнштейну единым образом описать два принципиально разных вида движения – относительное движение вещества и инвариантное движение света.

С точки зрения кинематических свойств планкеонного эфира (см. формулу (2)) представление о нем находится в согласии с основами СТО. Эйнштейн рассматривал возможность существования среды с подобными свойствами, но отверг ее как абсурдную. Он писал: “Действительно, если каждый луч света в пустоте распространяется со скоростью c относительно системы K, то световой эфир должен всюду покоиться относительно K. Но если законы распространения света в системе K (движущейся относительно K) такие же, как и в системе K, то мы с тем же правом должны предположить, что эфир покоится и в системе K. Так как предположение о том, что эфир покоится одновременно в двух системах, является абсурдным и так как не менее абсурдно было бы отдавать предпочтение одной из двух (или из бесконечно большого числа) физически равноценных систем, то следует отказаться от введения понятия эфира, который превратился лишь в бесполезный довесок к теории, как только было отвергнуто механистическое истолкование света” [7].

Пространственно-временные свойства планкеонной среды содержат в себе помимо непрерывного также и дискретное начало. Дискретный элемент обусловливает в модели наличие минимальной области локализации объекта как в собственной системе отсчета l₀ > l_pl, так и в движущейся, что связано с существованием максимальной скорости движения объекта (см. формулу (1)).

В силу существования непрерывного спектра относительных скоростей непрерывная компонента пространства представлена в модели спект­ром пространственных характеристик движения вещественных объектов, т.е. проходимого пути.

Аналогичные рассуждения можно провести и для временнóй компоненты дискретно-непрерывного многообразия. Единственным, но существенным отличием является тот факт, что фундаментального минимального значения для времени можно достигнуть только в покоящейся системе отсчета. Более подробно на этом результате мы остановимся при обсуждении апории Зенона “Ахиллес”.

Такое сочетание непрерывного и дискретного названо нами элементами модели дискретно-непрерывного пространства-времени.

Итак, принципиально новым моментом в модели является состояние лоренц-инвариантного покоя среды как целого относительно любого инерциального наблюдателя (v_max = 0 – invariant) [8]. Это условие существования среды однозначно удовлетворяет известным свойствам кекинемы и реновации [9].

Первое свойство, дающее представление о механизме движения частицы по решетке, свойство кекинемы, требует неделимости элементарного движения. Другими словами, «в элементарном движении нельзя различать стадии движения – оно неделимо и, следовательно, для него “двигаться” и “продвинуться”, “идти” и “прийти”, равно как и другие глаголы движения несовершенного и совершенного вида – синонимы» [10]. В рамках концепции “чисто” дискретного пространства и времени наблюдение элементарного движения объекта по решетке невозможно. В аристотелевской формулировке это звучит так: “по неделимому пути ничто не может двигаться, а сразу же является продвинувшимся”.

В рамках нашей модели в силу инвариантного покоя наблюдателя и планкеонной среды отсутствует их взаимное движение. А поскольку нет движения объекта относительно решетки, постольку нет необходимости различать стадии их относительного движения. Обоснование свойства кекинемы в рамках модели становится излишним.

Вторым свойством, требующим интерпретации при анализе движения по решетке, является свойство реновации, оказывающееся в некоторой степени дополнительным к кекинеме. Свойство реновации представляет собой рекреационный механизм перемещения, когда нет непрерывного движения, а есть только результат перемещения. Процесс движения при этом рассматривается “как ряд последовательных исчезновений и рождений частицы: частица исчезает в данной точке пространства и появляется в некоторой другой точке, затем исчезает в той же точке и появляется в другой точке, где затем также исчезает, чтобы возникнуть в следующей новой точке, и т.д., и т.д.” [11].

Как и свойство кекинемы, свойство реновации является порождением представлений о механизме движения частицы по решетке. Практически все попытки описать свойство реновации предпринимались в рамках классической модели дискретного пространства и времени, прообраз которой представлен в современном естествознании периодической решеткой твердого тела. В модели дискретно-непрерывного пространства в силу отсутствия относительного движения частицы и планкеонной среды также нет необходимости объяснять несуществующее свойство реновации. Движения по решетке нет.

Однако существует еще одно свойство, требующее нетривиального решения в рамках изучения механизмов движения. Наличие дискретных пространственных и временных интервалов требует существования в модели дискретного элемента движения.

Ньютоновское движение тела, в котором пространство, время и инерциальное состояние приобрели классическое единство, позднее получило свое обобщение в механистической картине мира. Далее, в рамках специальной теории относительности в процессе объединения двух видов движения, относительного для вещества и абсолютного (инвариантного) для фотонов, пространство и время были сведены в единую сущность – четырехмерное пространство-время Минковского. Однако нам неизвестны какие-либо попытки трактовать свойство изотахии в рамках пространства-времени СТО. Классическая формулировка свойства изотахии осуществляется обычно в рамках ньютоновского понимания свойств пространства и времени с включением дискретных элементов, по преимуществу пространственных.

Если обозначить минимальные и фундаментальные интервалы длины и времени через  и  соответственно [12], то на современном физическом языке свойство изотахии может быть сформулировано следующим образом. «Частное / даст нам некоторую определенную скорость. Для скорости, в два раза большей, мы должны взять 2/, но это значит, что элемент пути  пройден телом за полуинтервал времени /2: “быстрое поделило время”. Тем самым полуинтервал времени получил реальное бытие, что противоречит нашему исходному предположению о неделимости . Для скорости, в два раза меньшей, запишем: /, т.е. за элемент времени  пройден путь /2: “медленное поделило путь”. Тем самым полуэлемент пути приобрел реальный смысл, что несовместимо с нашим исходным предположением о неделимос­ти . Таким образом, концепции дискретности пространства и времени противоречит как скорость, бóльшая /, так и скорость, меньшая /. Отсюда следует, что в рамках данной концепции возможно движение только с одной скоростью, равной /» [13]. В утверждении этого факта и состоит свойство изотахии, каким его представлял себе Аристотель и каким его видит современная философия движения. То, что при формулировке свойства подразумевается точечный объект, не играет принципиальной роли. В рамках модели континуального пространства свойство изотахии может быть сформулировано и для макротел. Роль точечной частицы могут выполнять и центр масс, составляющих объект, и граница макротела, рассматриваемая в категории непрерывности как линия.

В процессе поиска удовлетворительного объяснения данного свойства неизбывным остается желание представить любое движение, в частности движение элементарных частиц, как равноскоростное. “Если бы удалось каким-либо способом обнаружить, что элементарные частицы могут перемещаться только с некоторой всегда одной и той же скоростью, мы имели бы, очевидно, ясное и недвусмысленное подтверждение концепции дискретного пространства-времени” [14].

Итак, согласно условию / = const, введение значения минимальной и фундаментальной длины автоматически означает наличие и определенного минимального фундаментального дискретного элемента времени. Однако сказать, что данное условие однозначно указывает на определенную модель дискретного пространства и времени, нельзя. Можно лишь утверждать, что в рамках модели пространства-времени, претендующей на адекватное описание реальности, эта взаимообусловленность минимальных интервалов должна быть выполненной в совокупности с другими свойствами, такими как кекинема и реновация. Именно одновременное удовлетворение всем этим свойствам и позволит модели пространства-времени претендовать на адекватность описания реальности.

Появление в теории относительности инвариантной скорости – скорости света – практически однозначно указывало на возможность приписать ей роль скорости изотахии. В процессе анализа проблемы выявляется ряд причин, по которым скорость света якобы не может быть отождествлена с единственной скоростью изотахии. Например, согласно представлениям СТО, скорость света недостижима для вещественных объектов, а потому СТО неприменима к анализу данного свойства. Кроме того, для любых вещественных объектов микро- и макромира наличие практически любой скорости в пределах от нуля до (асимптотически) скорости света представляет собой экспериментальный факт [15].

Относительно первого аргумента можно согласиться с тем, что в основе теории относительности лежит концепция континуального пространства-времени, и это основной довод против ее непосредственной применимости к случаю построения модели движения в рамках дискретного пространства-времени. Однако сам факт существования универсальной скорости света, с нашей точки зрения, является прямым указанием на существование элемента дискретности. Связано это прежде всего с невозможностью в рамках архимедовой модели движения (ньютоновской) выделить и зафиксировать наличие по крайней мере двух качественно различных элементов множества, в частности скоростей. Скорость света является, с одной стороны, внешним элементом СТО, аксиоматически введенным в формализм теории, а с другой – необходимым условием существования дискретной структуры пространства-времени. Можно сказать, что математический формализм, лежащий в основании модели континуального пространства-времени Минковского, необходим, но недостаточен для построения более общей модели, учитывающей дискретные элементы и связанной с континуальной принципом соответствия.

Что касается второго аргумента, то он и является предметом анализа в данной работе.

Результаты попыток сведения всех скоростей движений к единой скорости можно разделить на две группы. К первой относятся модели, включающие в процесс движения периодические моменты покоя (инобытия) элементарной частицы [16]. Чередование длительности покоя и скорости изотахии определяет спектр возможных скоростей. Ко второй группе относятся результаты интерпретации свойства изотахии на основе рыскающего движения по зигзагообразной траектории. Эта группа включает в себя модели, подобные шредингерову “дрожанию” электрона [17]. В данной концепции наблюдаемым является только усредненная траектория движения, тогда как амплитуда дрожания представляет собой минимальную фундаментальную длину и не наблюдается. Скорость “внутри” траектории предполагается фундаментальной.

В совмещении свойства изотахии с видимым разнообразием скоростей движения обнаруживается ряд серьезных недостатков. Во-первых, наблюдение за процессом движения и его интерпретация осуществляются с позиции неподвижного наблюдателя, что, в свою очередь, предполагает существование изотропного состояния покоя (v = 0), а это требует отдельного обоснования. Во-вторых, на что указывалось неоднократно, имеет место явное нарушение следствий СТО, связанных с относительностью пространственно-временных и энергетических характеристик движущегося объекта. Наконец, в-третьих, предполагается наличие абсолютно неподвижного пространства и связанного с ним наблюдателя, относительно которых рассматривается движение через решетку. Действительно, практически все попытки решения проблемы изотахии предпринимались с точки зрения неподвижного наблюдателя, т.е. анализ движения проводился с позиции внесения элемента дискретности в модель неподвижного пространства эфира Лоренца – Пуанкаре. В современном звучании общая проблема движения должна быть сформулирована, как правильно указал Б.Г. Кузнецов, следующим образом: “какими чертами должна обладать концепция дискретного пространства-времени, чтобы ее можно было сблизить не с введенной ad hoc лоренцевой теорией сокращения, а с эйн­штейновской теорией относительности?” [18].

Чем, собственно говоря, отличается гипотеза ad hoc от истинной гипотезы? Тем, что истинная гипотеза дает систематическое решение широкого круга возникающих проблем, при этом дальнейшие действия в отношении вновь возникающих вопросов носят в основном интерпретационный характер. Гипотеза ad hoc предлагает решение одной проблемы или ряда проблем одного класса и часто входит в противоречие с некоторыми уже хорошо известными и апробированными результатами либо порождает новые проблемы.

Ранее мы уже проанализировали несостоятельность подхода с использованием концепций классических решеточных моделей, в которых не удается избежать существования выделенной системы отсчета – системы решетки [19]. В подобного рода моделях движение частицы рассматривается относительно системы отсчета, жестко связанной с дискретной структурой, что, естественно, придает пространственной структуре решетки статус абсолютной системы отсчета. Это приводит к отсутствию инвариантного описания, в том числе к несоответствию принципу относительности [20]. Система отсчета, связанная с решеткой, является выделенной в отношении других систем, движущихся относительно этой решетки. По этой причине два инерциальных наблюдателя, один – связанный с выделенной системой отсчета, т.е. покоящийся в системе решетки, другой – покоящийся в движущейся относительно решетки системе отсчета, не являются эквивалентными.

Кроме того, практически во всех работах рассматриваемые элементарные пространственные интервалы не отличаются каким-либо качеством от любых других интервалов, изучаемых в рамках современного естество­знания, таких как, например, область локализации элементарных частиц или пройденный путь.

Предлагаемое в настоящей работе решение проблемы изотахии позволяет избежать подобного рода несоответствий и однозначным образом показать единственность универсальной скорости в исследуемой нами области реальности.

В качестве основополагающей идеи используется аксиоматическое введение пространственного и временного дискретных элементов в из­вестную модель единого четырехмерного пространства-времени Минковского. Согласно представлениям СТО, эта единая форма является более адекватной механизму движения объекта, нежели составляющие ее относительно самостоятельные компоненты четырехмерного континуума – пространство и время. Кроме того, введенное в рассмотрение понятие “событие”, с нашей точки зрения, представляет собой более адекватное реальности понятие для описания движения в рамках единого пространства-времени, а не просто перемещения в пространстве за определенный интервал времени. Раздельное рассмотрение явлений в пространстве и времени в рамках существования единой сущности пространственно-временного континуума в значительной степени ограничивает получаемую информацию и обедняет содержание этого понятия.

Сегодняшнюю ситуацию в понимании четырехмерности пространственно-временного аспекта реальности удачно, с нашей точки зрения, охарактеризовал М.Д. Ахундов: «Теория относительности оперирует единым четырехмерным континуумом, разделенность которого на пространство и время лишена абсолютного смысла. Здесь лишь терминологическая бедность обуславливает использование термина “пространство-время”; примерно так же, как мы могли бы воду назвать “водород-кислород”» [21]. “Факт отсутствия разумного объективного способа разделить четырехмерный континуум на трехмерное пространство и одномерный временнóй континуум, – писал А. Эйнштейн, – указывает, что законы природы примут наиболее удовлетворительный, с точки зрения логики, вид, будучи выражены как законы в четырехмерном пространственно-временнум континууме” [22]. В качестве примера плодотворности применения четырехмерного формализма рассмотрим понятие “четырехмерная скорость” и дадим ему нетривиальную интерпретацию.

Под событием мы будем понимать место, отображенное тремя пространственными координатами, и время, когда это событие произошло. В рамках СТО два близких события объединены пространственно-временным интервалом, квадрат которого записывается следующим образом: dS² = c²dt² – dx² – dy² – dz² = inv.

Вид интервала задает метрику пространства и является инвариантом, т.е. не зависит от выбора системы отсчета, в рамках которой рассматривается изменение событий. С другой стороны, инвариантный четырехмерный интервал позволяет не только учитывать пространственно-временные характеристики покоящейся системы отсчета, но и органически связать их с событиями на любой другой инерциальным образом движущейся системе.

В рамках пространства-времени Минковского, точками которого являются события, рассмотрим относительное движение двух инерциальных систем отсчета.

Введем для одиночного события следующие обозначения: x₀ = ct, x₁ = = ix, x₂= iy, x₃ = iz, где четверка чисел x₀, x₁, x₂, x₃ может рассматриваться как проекции четырехмерного радиус-вектора R на оси x₀, x₁, x₂, x₃ в системе координат неподвижного наблюдателя. В этих обозначениях квадрат интервала между двумя событиями выразится следующим образом:

По аналогии с четырехмерным радиус-вектором построим вектор четырехмерной скорости, проекции которого определяем как производные проекций четырехмерного радиус-вектора (x₀, x₁, x₂, x₃) частицы по инвариантному (собственному) времени  в движущейся системе отсчета:

или

Для того чтобы представить такую ситуацию, рассмотрим еще один вектор пространства-времени Минковского – четырехмерный вектор импульса. Для этого умножим проекции четырехмерной скорости (6) на инвариантную массу покоя m₀. Обозначая проекции вектора через p_k (k = 0, 1, 2, 3), получим следующие выражения:

или

Сравнивая нулевые компоненты (скаляры) в выражениях (6) и (8), можно видеть, что временнáя компонента четырехмерной скорости u_t определяет энергетическую характеристику движения p_t – энергию. При этом энергию “покоя” вещественного объекта следует трактовать как импульс “движения” по времени в дополнение к хорошо изученному движению по пространству. По этой причине и по аналогии с законом сохранения энергии-импульса (9) условие (7) можно назвать законом сохранения состояния движения в четырехмерном пространстве-времени Минковского.

Обратим внимание на следующую ситуацию. Зависимость отдельных компонент 4-вектора энергии-импульса от компонент 4-скорости определяет их трехмерный вид: E = m₀c²/(1 – v²/c²)^1/2 и p_x = m₀v_x/(1 – v²/c²)^1/2.

Нетрудно видеть, что в рамках четырехмерного формализма Минковского, согласно (6) и (8), рост релятивистских значений энергии и импульса связан с фактором роста компонент 4-скорости, а не роста массы. Релятивистский множитель в выражениях энергии и импульса появился из-за того, что в пространстве-времени Минковского мы пользуемся инвариантным собственным временем вместо неинвариантного координатного времени. Кроме того, релятивистский множитель “относится к свойствам 4-пространства-времени, а не к внутреннему состоянию частицы” [23]. В общем случае релятивистские понятия в СТО являются следствием перехода от классических понятий системы координат и часов к единому четырехмерному понятию события.

Казалось бы, данная ситуация тривиальна и методологически по­следовательный анализ однозначно решает вопросы возникновения релятивистских эффектов именно с позиции непосредственного участия в них пространственных компонент 4-вектора [24]. Тем не менее в настоящее время вопросы интерпретации релятивистских эффектов через другие понятия, такие как, например, “релятивистская масса”, остаются актуальными и продолжают дискутироваться [25]. В контексте вышеизложенного понятие “релятивистская масса” в формализме СТО является некорректным.

Возвращаясь к анализу свойства изотахии, упомянем еще одну смежную проблему. Она связана с импульсом частицы, движущейся с универсальной скоростью изотахии – скоростью света. Наличие в классической механике связи массы и скорости в понятии импульса (p = mv) однозначно ставит те же самые проблемы, которые относятся к описанию скорости изотахии. Проблема формулируется следующим образом: если существует одна скорость изотахии – скорость света, то для любого вещественного объекта должно существовать и одно значение импульса – p_i = m_ic, тогда как в реальности мы наблюдаем практически непрерывный спектр значений импульсов. “Необычная связь между импульсом и скоростью, – пишет А.Н.  Вяльцев, – …совершенно еще не понята современной наукой и даже не дискутируется сколько-нибудь заметным образом, а между тем есть основание полагать, что она затрагивает самые глубокие корни современного научного мировоззрения” [26].

Решение данного вопроса содержится в анализе выражения четырехмерного импульса (7). Абсолютное значение 4-импульса любого вещественного объекта является инвариантом m₀c и не изменяется. Реальные изменения происходят внутри и между относительными компонентами 4-вектора энергии-импульса – энергии и трехмерного импульса.

Мы надеемся, что рассмотренные выше некоторые свойства дискретно-непрерывного пространства-времени в нашей модели включают в себя все то новое, что с необходимостью требует любая модель с элементами дискретности пространства-времени, претендующая при этом на адекватное описание реальности. В качестве подтверждения правильности выбранного нами направления построения модели дискретно-непрерывного пространства-времени рассмотрим решения двух апорий движения Зенона – “Ахиллес” и “дихотомия”.

Длительное отсутствие удовлетворяющего всех решения апории позволяет сделать однозначный вывод о том, что причина столь серьезных затруднений состоит в несовместимости реального, фиксируемого факта обгона и используемой для его объяснения теоретической модели движения в непрерывных пространстве и времени. Демон­страцией данного положения может служить существование апории движения “дихотомия”, согласно которой Ахиллес вообще не в состоянии даже сдвинуться с места [27].

Действительно, для того чтобы Ахиллес достиг места старта черепахи, ему нужно сначала пройти половину этого пути. Но прежде чем пройти первую половину, ему необходимо пройти четверть пути и т.д. Экстраполируя элементы пройденного пути к началу старта, мы приходим к выводу о необходимости бесконечного числа шагов для реализации начала движения. Таким образом, складывается ситуация, когда Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места, т.е. согласно заключению, сделанному Зеноном, движение вообще невозможно.

Рассмотрим эти две апории в рамках модели дискретно-непрерывного пространства-времени, в основании которой лежат четырехмерный формализм Минковского и существование минимального фундаментального 4-элемента l³_pl  t_pl, где l_pl – минимальный планковский элемент протяженности; t_pl – минимальный планковский элемент длительности. Согласно условиям задачи достаточным является рассмотрение относительного движения в рамках трехмерного формализма с привлечением, как будет показано ниже, элементов понятия “событие”, включающего в себя представление о собственном времени движущегося объекта.

Движение рассматривается в системе отсчета, относительно которой со скоростью v_tor движется черепаха и в том же направлении со скоростью v_A ее догоняет Ахиллес, причем v_A > v_tor. Проходимый ими путь можно записать как
x_A = v_A t_A ,

x_tor = v_tor t_tor. (10)
Измеряемые наблюдателем координатные времена t_A и t_tor связаны с собственными инвариантными временами Ахиллеса t_A и черепахи t_tor следующим образом:
t_A = t_A/(1 – v_A²/c²)^1/2 ,

t_tor = t_tor/(1 – v_tor²/c²)^1/2. (11)
Тогда проходимые Ахиллесом и черепахой пути можно представить в виде
x_A = v_A t_A/(1 – v_A²/c²)^1/2 ,

x_tor = v_tor t_tor/(1 – v_tor²/c²)^1/2. (12)
В процессе движения, как с точки зрения наблюдателя, так и с точки зрения состязателей, постоянно уменьшаются промежутки времени и соответствующие им проходимые пути. Поскольку проходимый путь является, в частности, функцией скорости, постольку его численное значение может быть любым бесконечно малым значением, в том числе и нулевым. Пространственный элемент дискретности в данном случае не проявляется. Нулевое значение проходимого пути достаточно тривиально и соответствует состоянию относительного покоя,
v_A (v_tor) = 0. В данном случае дискретность проявляется через временнýю компоненту пространственно-временного многообразия. Это связано прежде всего с тем условием, что минимальное значение, соответствующее фундаментальному планковскому элементу времени, достижимо только для собственного времени в покоящейся системе отсчета. Из условия (11) видно, что если величина собственного времени, например t_A или t_tor, стремится к минимальному фундаментальному значению, то для любой другой инерциальной системы отсчета, относительно которой эта система движется с ненулевой скоростью, измеряемое значение всегда будет больше минимального.

В рамках разрабатываемой модели пространства-времени достигнуть минимального кванта времени можно только в системе неподвижного наблюдателя и в режиме деления какого-либо вещественного временнóго процесса, да и то, по-видимому, только асимптотически. Связано это с тем, что минимальный квант времени не принадлежит к классу вещественноподобных временных интервалов. Одно из отличительных свойств последних – неинвариантность относительно преобразований Лоренца. Свойство инвариантности минимального планковского временнóго интервала характеризует качественно отличную от других длительность и связано с существованием нового вида материи, проявлением которого оно и является. Отсюда решение апории “Ахиллес” возможно через рассмотрение уменьшающихся промежутков собственного времени при прохождении все более малых расстояний.

В процессе движения Ахиллеса и черепахи интервалы времени прохождения ими очередного отрезка пути считаются для внешнего наблюдателя одинаковыми. Однако при совершении одинаково увеличивающегося числа шагов, делящих в том числе и собственные времена состязателей, наблюдатель будет фиксировать несимметричную
картину. В процессе приближения уменьшающихся интервалов собственного времени к минимальному значению t_pl внешний наблюдатель будет видеть, что интервалы координатного времени прохождения очередного участка пути с неизменяющимися скоростями стремятся к разным значениям:
t_A  t_A^min = t_pl/(1 – v_A²/c²)^1/2 ,

t_tor  t_tor^min = t_pl/(1 – v_tor²/c²)^1/2. (13)
Тем самым, мы можем констатировать появление нового качества во временных характеристиках движущихся объектов в отношении стороннего инерциального наблюдателя. Для Ахиллеса, имеющего бóльшую скорость, так же как и для черепахи, имеющей меньшую скорость, интервалы времени прохождения любого очередного отрезка пути будут стремиться к некоторым постоянным минимальным значениям времени, соответствующим их скоростям (13). Причем минимальный временнóй интервал более быстро движущегося объекта всегда будет больше минимального интервала объекта, движущегося более медленно.

Такое поведение временных интервалов приводит к ситуации, когда внешний наблюдатель будет фиксировать стремление проходимых объектами пространственных интервалов к постоянным минимальным значениям:

Аналогичное решение получает и апория движения “дихотомия”, сформулированная выше. Рассмотрим ее на примере движения Ахиллеса. Приближение к началу движения в процессе деления необходимого для прохождения все меньшего пути времени в соответствии с условием (14) приводит к появлению понятия минимально проходимого пути. Движущийся со скоростью v_A Ахиллес принципиально не может проходить путь, меньший, чем x_A^min = v_A t_A^min. Движущийся объект не может не двигаться! Возникновение этого эффекта связано с появлением минимального координатного временнόго интервала (13), который, в свою очередь, обусловлен существованием минимального кванта времени t_pl. Можно сказать, что движущийся объект обладает состоянием движения. Данное утверждение находится в согласии с рассуждениями Б. Рассела, но при условии их положительно определенной трактовки. В оригинале это вы­глядит так: “…Не соглашаясь с существованием бесконечно малых… мы должны полностью отвергнуть понятие состояния движения. Движение сводится просто к заниманию различных мест в различные времена… Нет ни перемещений с места на место, ни последовательных моментов и последовательных положений…” [28]. По-видимому, возникает реальная возможность рассматривать движение не столько как результат, сколько как процесс.

В рамках предложенного подхода к решению апории остается нерассмотренным вопрос относительно участия в этом процессе движения минимального пространственного кванта. Согласно условию (14), если скорость Ахиллеса стремится к скорости света, v_A  c, то значение минимально проходимого пути стремится к бесконечности. Решение о реально минимальном проходимом пути находится при использовании понятия максимальной скорости движения частицы, численное значение которого было представлено ранее (см. формулу (1)).

Для Ахиллеса, подставляя в формулу (14) максимальное значение скорости v_{А max} = c (1 – l_pl²/l_А²)^1/2, с которой может двигаться Ахиллес-частица с собственным характерным размером l_А, получаем условие на минимально проходимый вещественным объектом путь:

При размерах объекта l_А, много больших минимальной длины l_pl, это условие можно переписать в виде 0 < x_A^min < l_А.

Необходимо оговорить особо, что понятие максимального значения скорости v_max было получено и проанализировано нами ранее только для элементарных объектов микромира, размер которых представлен комптоновскими значениями [29].

Прежде чем сделать выводы, вернемся несколько назад и рассмотрим вопрос, касающийся нахождения численного значения номера “шага”, при котором Ахиллес догонит черепаху (на следующем “шаге” он ее обгонит).

Один из возможных вариантов связан с исследованием их относительного движения. В системе отсчета Ахиллеса черепаха приближается к нему со скоростью v_rel = |v_tor – v_A|. Минимально проходимый ею путь можно записать как x= v_rel t~ v_rel t_pl/(1 – v_rel²/c²)^1/2. Тогда если x₀ – начальное расстояние между состязателями, то максимальное число “шагов” до их соединения будет N = x₀/x. Аналогичные рассуждения и с тем же результатом можно провести и с точки зрения системы отсчета, связанной с черепахой.

Как показывает анализ ситуации, для получения более точного численного значения номера “шага” потребуется создание нового математического формализма. Связано это прежде всего с существованием минимального ненулевого элемента времени, асимптотическое приближение к которому и вызывает описанные выше эффекты. Здесь мы встречаемся с ситуацией, которая требует создания формализма, учитывающего, с одной стороны, существование минимального дискретного элемента, а с другой – непрерывное “движение” элементов множества к этому минимальному элементу. Как отмечает Р.А. Аронов, необходимость построения именно такого формализма обусловлена тем, что “все попытки создать дискретный математический аппарат, который был бы свободен от каких бы то ни было признаков непрерывности и в то же время был бы способен отразить все богатство соответствующей пространственно-временной области природы, по-видимому, обречены на неудачу. Будущий математический аппарат представляется единством непрерывности и дискретности” [30].

Первой удачной реализацией модели счета, посредством которой можно подойти к созданию необходимого нам математического формализма с минимальным элементом, можно считать работу В.Л. Рвачева. Им показано, что “используя теорему сложения скоростей в специальной теории относительности, можно отказаться от аксиомы Архимеда о неограниченности числовой оси и построить такие арифметические операции, элементарные функции, операторы дифференцирования и интегрирования и т.д., которые соответствуют предположению о существовании наибольшего числа с, т.е. такого числа, больше которого чисел нет” [31]. В частности, операция сложения имеет вид, аналогичный сложению скоростей в СТО:
xy = (x + y)/(1 + ²xy), (16)
где  = 1/с, с – максимальное число модели. С нашей точки зрения, использование релятивистской модели счета является более адекватным реальности, нежели использование классической модели натурального ряда. Вся проблема упирается в поиск предельных значений для исследуемой физической величины. В этом отношении для физического аспекта анализа проблемы может быть полезным введенный нами ранее ћcG-принцип, – согласно этому принципу все физические величины имеют свои планковские значения, которые в современных физических теориях играют, в частности, ограничивающую роль, или, в более широком смысле, роль их узловых точек [32].

Подтверждением правильности выбранного пути может служить ряд работ, в которых изучение свойств элементарной длины адекватным образом заменяется, в силу эквивалентности описания, изучением свойств импульсного пространства, где минимальной длине соответствует максимальное значение импульса, являющегося радиусом кривизны импульсного пространства [33]. В рамках модели импульсного пространства получен закон сложения коллинеарных импульсов, вид которого соответствует формуле (16). Обратная замена в (16) значений импульсов их эквивалентными пространственными представлениями (p_i ~ 1/l_i) приводит к зависимости вида

В данном случае может быть использован математический формализм, полученный нами ранее при построении модели “сверхсветовых” движений, где скорость света, оставаясь инвариантом, играет роль минимально недостижимой скорости [34]. В рамках нового неархимедова формализма с минимальным числом была предложена, в частности, следующая арифметическая операция сложения (вычитания):

В заключение отметим, что показанная выше внутренняя способность модели обладать свойствами изотахии, кекинемы и реновации, а также предложенный подход к объяснению ряда апорий движения Зенона позволяют надеяться на правильность выбранного нами пути.

2. См.: Корухов В.В. О природе фундаментальных констант // Методологические основы разработки и реализации комплексной программы развития региона. – Новосибирск: Наука, 1988. – С.59–79. См. также: Шарыпов О.В. Понятие фундаментальной длины и методологические проблемы современной физики. – Новосибирск: НИИ МИОО НГУ, 1998.

3. См.: Корухов В.В. О природе фундаментальных констант.

4. Там же.

5. См.: Корухов В.В. Относительность, инвариантность, эфир // Гуманитар. науки в Сибири. – 2001. – № 1. – С.13–16.

6. Там же.

7. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. – М., 1965. – Т. 1. – С.416.

8. Условие отсутствия динамического сопротивления среды, проанализированное нами в работе “Релятивистский эфир” (Корухов В.В. // Философия науки. – 2000. – № 2(8). – С.72–75) и связывающее плотность энергии среды и ее внутреннее давление (p = –), здесь не рассматривается.

9. См.: Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. – М.: Наука, 1965.

10. Там же. – С.37.

11. Там же. – С.47.

12. При формулировке апории мы сохранили обозначения фундаментальных постоянных такими же, как у Вяльцева. В настоящей работе  = l_pl и  = t_pl соответственно.

13. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. – С.16.

14. Там же. – С.18.

15. Там же. – С.26.

16. См.: Beck G. Die zeitliche Quaantelung der Bewegung // ZPh. – 1929. – Bd. 53. – S.675–682.

17. См.: Schrödinger E. Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik // SPAW. – 1930. – Bd. 24. – S.418-428; Margenau H. The nature of physical reality. – N.Y., 1950. – Р.158; Кузнецов Б.Г. Принцип относительности в античной, классической и квантовой физике. – М., 1959. – С.220.

18. Кузнецов Б.Г. Этюды об Эйнштейне. – М.: Наука, 1965.

19. См.: Корухов В.В. Относительность, инвариантность, эфир.

20. См.: Ambarzumian V., Iwanenko D. Zur Frage nach Vermeidung der unendlichen Selbstruckwirkung des Elektrons // ZPh. – 1930. – Bd. 64. – S.563–567.

21. Ахундов М.Д. Пространство и время в физическом познании. – М.: Мысль, 1982.

22. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. – М., 1965. – Т. 2. – С.25.

23. Угаров В.А. Специальная теория относительности. – М.: Наука, 1977.

24. Там же. – С.338–342.

25. См.: Окунь Л.Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) // УФН. – 1989. – Т. 158, вып. 3. – С.511-530.

26. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. – С.35.

27. См., например: Панченко А.И. Континуум и физика. – М.: Наука, 1975.

28. Цит. по: Панченко А.И. Континуум и физика. – С.56. См. также: Russell B. The principles of mathematics. – L., 1950. – Р.473.

29. См.: Корухов В.В. О природе фундаментальных констант.

30. Аронов Р.А. Непрерывность и дискретность пространства и времени. – С.103.

31. Рвачев В.Л. Неархимедова арифметика и другие конструктивные свойства математики, основанные на идеях специальной теории относительности // ДАН СССР. – 1991. – Т. 316, № 4. – С.884.

32. См.: Корухов В.В. О природе фундаментальных констант. – С.74.

33. См.: Гольфанд Ю.А. О введении “элементарной длины” в релятивистскую теорию элементарных частиц // ЖЭТФ. – 1959. – Т. 37, вып. 2(8); Кадышевский В.Г. К теории квантованного пространства-времени // ЖЭТФ. – 1961. – Т. 41, вып. 6(12).

34. См.: Корухов В.В. Новая модель арифметики с минимальным числом и тахионная теория относительности // Физика в конце столетия: теория и методология. – Новосибирск, 1994 (Препринт Ин-та философии и права СО РАН). – С.42.

35. Симанов А.Л. Понятие “состояние” как философская категория. – Новосибирск: Наука, 1982. – С.61.
Институт философии и права

СО РАН, г. Новосибирск