Приводим квадратичную форму



Дата25.06.2022
өлшемі237.51 Kb.
#459476
Линейна алгебра


17. Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.
Приводим квадратичную форму:
B = 5x2 + 26xy + 5y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
В =


Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(5 - λ)x1 + 13y1 = 0
26x1 + (5 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:


= λ2 - 10λ - 144 = 0












λ2 -10 λ - 144 = 0
D=(-10)2 - 4·1·(-144)=676



Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0)
Вид квадратичной формы:
-8x12 + 18y12


Приводим уравнение к каноническому виду.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
λ1 = -8
13x1 + 13y1 = 0
13x1 + 13y1 = 0
или
13x1 + 13y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = -8 при x1 = 1:


= (1, -1).

Длина вектора x1:


=

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

e1 = ( ; - )




Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 18, находим из системы:
-13x1 + 13y1 = 0
13x1-13y1 = 0


= (1, 1).
Длина вектора x2:


=

e2 = ( ; )


Проверим ортогональность векторов: e1 и e2

e1 e2 = · - · =0 – векторы ортогональны



Итак, имеем новый ортонормированный базис (e1, e2).
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому базису, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
Т = - матрица перехода


Матрица квадратичной формы в новом базисе находится как:


В’ = Tт ВТ =
= = =
=
=
или


Вносим выражения x и y в исходное уравнение 5x2 + 26xy + 5y2 - 72 и, после преобразований, получаем:
- 8x21 + 18y21 = 72
Разделим все выражение на 72
- получили уравнение кривой в новом базисе

Параметры кривой.
Данное уравнение определяет гиперболу с полуосями:
a = 3 (мнимая полуось); b = 2 (действительная полуось)
В системе координат (O1,e1e2) данное уравнение имеет вид:

Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x2=0 задается в старой системе координат уравнением x-y=0, а ось y2=0 уравнением x+y=0. Начало новой системы координат O1(0,0) является точкой пересечения этих прямых.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13

Тогда эксцентриситет будет равен:

Асимптотами гиперболы будут прямые:


и

Директрисами гиперболы будут прямые:





Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет