Приводим квадратичную форму
жүктеу/скачать 237.51 Kb.
|
|
17. Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат. Приводим квадратичную форму: B = 5x2 + 26xy + 5y2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы: В = Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (5 - λ)x1 + 13y1 = 0 26x1 + (5 - λ)y1 = 0 Характеристическое уравнение: = λ2 - 10λ - 144 = 0
λ2 -10 λ - 144 = 0 D=(-10)2 - 4·1·(-144)=676 Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0) Вид квадратичной формы: -8x12 + 18y12 Приводим уравнение к каноническому виду. Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. λ1 = -8 13x1 + 13y1 = 0 13x1 + 13y1 = 0 или 13x1 + 13y1 = 0 Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = -8 при x1 = 1: = (1, -1). Длина вектора x1: = В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор: e1 = ( ; - ) Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 18, находим из системы: -13x1 + 13y1 = 0 13x1-13y1 = 0 = (1, 1). Длина вектора x2: = e2 = ( ; ) Проверим ортогональность векторов: e1 и e2 e1 e2 = · - · =0 – векторы ортогональны Итак, имеем новый ортонормированный базис (e1, e2). Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому базису, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам: Т = - матрица перехода Матрица квадратичной формы в новом базисе находится как: В’ = Tт ВТ = = = = = = или Вносим выражения x и y в исходное уравнение 5x2 + 26xy + 5y2 - 72 и, после преобразований, получаем: - 8x21 + 18y21 = 72 Разделим все выражение на 72 - получили уравнение кривой в новом базисе Параметры кривой. Данное уравнение определяет гиперболу с полуосями: a = 3 (мнимая полуось); b = 2 (действительная полуось) В системе координат (O1,e1e2) данное уравнение имеет вид: Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x2=0 задается в старой системе координат уравнением x-y=0, а ось y2=0 уравнением x+y=0. Начало новой системы координат O1(0,0) является точкой пересечения этих прямых. Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13 Тогда эксцентриситет будет равен: Асимптотами гиперболы будут прямые: и Директрисами гиперболы будут прямые: жүктеу/скачать 237.51 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|