Программа по дисциплине «теория дискретных систем» для специальности 013800 Радиофизика и электроника

1. 
   Отображения как класс динамических систем
   
   1. 
      Общее определение динамической системы и ее математической модели.
      
   2. 
      Классификация динамических систем.
      
   3. 
      Итерирование линейного отображения. Типы поведения.
      
   4. 
      Графический способ итерирования одномерного отображения.
      

2. 
   Устойчивость стационарных решений дискретных систем
   

1. 
   Определение неподвижной точки отображения.
   
2. 
   Анализ устойчивости неподвижной точки отображения. Уравнение в вариациях. Матрица Якоби. Мультипликатор неподвижной точки.
   
3. 
   Устойчивость неподвижных точек одномерного отображения.
   
4. 
   Неподвижные точки логистического отображения и анализ их устойчивости.
   
5. 
   Типы неподвижных точек одномерного отображения.
   
6. 
   Устойчивость неподвижных точек двумерного отображения
   
7. 
   Типы неподвижных точек двумерного отображения. Случаи действительных и комплексных собственных значений.
   

3. 
   Циклы отображения и их устойчивость
   

1. 
   Определение цикла периода m отображения.
   
2. 
   Анализ устойчивости m-цикла отображения.
   
3. 
   Сверхустойчивый цикл.
   

4. 
   Бифуркации и структурная устойчивость
   

1. 
   Определение явления бифуркации. «Мягкие» и «жесткие» бифуркации динамических систем.
   
2. 
   Бифуркации неподвижных точек одномерных отображений.
   
   1. 
      Касательная бифуркация.
      
   2. 
      Транскритическая бифуркация
      
   3. 
      Суперкритическая и субкритическая бифуркация «вил» или потери симметрии.
      
   4. 
      Суперкритическая и субкритическая бифуркация удвоения.
      
3. 
   Бифуркации неподвижных точек двумерных отображений
   

4.3.2 Случай комплексных собственных значений неподвижных точек. Бифуркация Неймарка. Число вращения. Резонанс.

5. 
   Автоколебательные системы
   

5.2 Обобщенная схема радиофизического генератора автоколебаний.

6. 
   Предельные множества: аттракторы, репеллеры и седла.
   

7. 
   Бифуркационные механизмы перехода к хаосу.
   

1. 
   Режим детермированного хаоса: определение, свойства, основные отличия от «случайного» процесса.
   
2. 
   Фракталы: определение, свойства, примеры, применение.
   
3. 
   Переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.
   
   1. 
      Каскад бифуркаций удвоения в логистическом отображении.
      
   2. 
      Бифуркационная диаграмма. Точки бифуркаций удвоения. Константы Фейгенбаума.
      
   3. 
      Идеи теории универсальности.
      
   4. 
      Хаос в логистическом отображении. Каскад бифуркаций связанности. «Окна периодичности». Порядок Шарковского.
      

7.5 Переход к хаосу через разрушение замкнутой инвариантной кривой.

8. 
   Характеристики хаоса.
   

1. 
   Инвариантное распределение.
   
2. 
   Ляпуновские показатели.
   

9. 
   Хаос в двумерных отображениях.
   

1. 
   Отображение Эно. Хаотический аттрактор в отображении Эно. Явление мультитабильности.
   
2. 
   Отображение Арнольда. Кубическое отображение. Связанные логистические отображения.
   

Основная

1. 
   Д.Э. Постнов. Введение в динамику итерируемых отображений. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. – 160 с.
   
2. 
   В.С.Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. Учебное пособие. Москва: Изд-во УРСС, 2008. – 144 с.
   
3. 
   В.Н.Белых. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем. Учебное пособие, Горький, изд. ГГУ, 1980.
   
4. 
   С.П.Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.
   
5. 
   В.С.Анищенко, Т.Е.Вадивасова, В.В.Астахов. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
   

1. 
   Ф.Мун. Хаотические колебания. М.: Мир, 1988.
   
2. 
   М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.