Программа вступительного экзамена мгимо(У) мид россии по математике москва 2010

1.Основные математические понятия и факты

1. 
   Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
   
2. 
   Целые, рациональные и действительные числа. Изображение чисел на прямой. Проценты. Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
   
3. 
   Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.
   
4. 
   Функция, ее область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значение функции. График функции.
   
5. 
   Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной, степенной, у=k/x, показательной, логарифмической, тригонометрических, арифметического корня.
   
6. 
   Уравнение, неравенство, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность.
   
7. 
   Арифметическая и геометрическая прогрессии.
   
8. 
   Прямая, луч, отрезок; длина отрезка. Угол, величина угла. Параллельные прямые.
   
9. 
   Треугольник. Виды треугольников.
   
10. 
    Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
    
11. 
    Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
    
12. 
    Подобные фигуры.
    
13. 
    Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости
    
14. 
    Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Производные функций:
    

2. 
   Основные теоремы и формулы
   

1. 
   Свойства числовых неравенств.
   
2. 
   Формулы сокращенного умножения.
   
3. 
   Свойства линейной функции и ее график.
   
4. 
   Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители. Теоремы Виета.
   
5. 
   Свойства квадратичной функции и ее график.
   
6. 
   Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
   
7. 
   Формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.
   
8. 
   Формулы общего члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.
   
9. 
   Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями.
   
10. 
    Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.
    
11. 
    Свойства показательной функции и ее график.
    
12. 
    Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.
    
13. 
    Свойства логарифмической функции и ее график.
    
14. 
    Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения, двойного и половинного аргумента. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов. Преобразование в произведение сумм (разностей) синусов и косинусов. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму. Введение вспомогательного угла.
    
15. 
    Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Обратные тригонометрические функции.
    
16. 
    Свойства тригонометрических функций и их графики.
    
17. 
    Теорема Пифагора.
    
18. 
    Признаки равенства и подобия треугольников.
    
19. 
    Формулы площади: треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции.
    
20. 
    Формулы длины окружности и площадей круга, сектора. Уравнение окружности.
    
21. 
    Формула расстояния между двумя точками плоскости.
    

2. 
   Основные умения и навыки
   

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

1. 
   выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями, преобразовывать буквенные выражения, переводить одни единицы измерения в другие;
   
2. 
   сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора), доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;
   
3. 
   решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами) и исследовать их решения;
   
4. 
   исследовать функции, строить графики функций и множества точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
   
5. 
   изображать геометрические фигуры на чертеже;
   
6. 
   пользоваться свойствами чисел, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессии;
   
7. 
   пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади;
   
8. 
   составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи.
   

Продолжительность экзамена по математике - четыре астрономических часа (240 минут).

Результаты сдачи экзамена оцениваются по 100-балльной шкале. Максимально возможная суммарная оценка - 100 баллов. Минимальный балл для участия поступающих в дальнейшем конкурсе – 60 баллов. Абитуриент, набравший на экзамене менее 60 баллов, к дальнейшему участию в конкурсе не допускается.

Абитуриентам будет предложено 16 задач. По традиции чисто геометрические задачи из экзамена исключаются. Все задачи будут строго соответствовать примерной программе по математике для поступающих в российские высшие учебные заведения в 2009 году.

На каждую из первых 8-ми задач экзаменующимся будет предложено четыре варианта ответа, помеченные буквами от (А) до (D), из которых требуется выбрать один. Например:

1. Найти корень уравнения

2. Найти значение выражения

Предлагаемые первые 8 задач оцениваются в пять баллов каждая. Если абитуриент не даёт ответа на задачу или даёт неправильный ответ, то он получает за него 0 баллов. Таким образом, общая сумма баллов, которую может набрать абитуриент за решение первых 8-ми задач, составляет 40 баллов.

1. 
   Решить неравенство
   

2. 
   Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн, однако понадобилось на 8 вагонов больше, и при этом всё равно один вагон оказался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на 6 вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
   

Каждую из трёх последних задач абитуриент должен будет решить, написать ответ и изложить в письменном виде решение задачи, как это делается в обычной контрольной работе. Правильное решение каждой задачи из этой группы будет оценено в 10 баллов. Способ решения и выбор формы изложения решения не влияют на оценку задачи с единственной оговоркой: решение должно быть изложено в форме, понятной для экзаменатора. Примеры задач этой группы:

1. 
   Найти максимальное значение выражения , если
   

2. 
   Найти множество всех значений параметра а, при которых неравенство имеет максимальное число целых решений.
   

Уровень сложности трёх групп предлагаемых задач примерно соответствует уровням сложности задач, относящихся группам A, B и C единого государственного экзамена, и для подготовки к вступительному экзамену в МГИМО можно использовать многочисленные пособия по сдаче ЕГЭ.