Пространство, время, анизотропия

Пространство, время, анизотропия.

Вейник В.А.

Рукопись, июль 1983 года.

Материя представляет собой объективную реальность, существующую вне и независимо от сознания человека. Способом существования материи служит движение. Априорно считается, что форм движения материи бесконечно много.

Человек воспринимает движение материи с помощью органов чувств в виде плоского «изображения». Представление о третьем измерении у него возникает за счёт дополнительных средств, которые вносят соответствующие поправки в ощущения. Например, зрительные образы фиксируются на сетчатке глаза в плоскости и только наличие у человека двух глаз и в связи с этим бинокулярного зрения обеспечивает ему возможность с высочайшей точностью определять положение объектов в третьем измерении. Органы слуха позволяют оценить лишь направление до источника звука, расстояние до него определяется по отражённому сигналу.

Плоское изображение окружающего мира подсознательно строится в ортогональной декартовой системе координат (ОДСК). Это, видимо, можно объяснить длительным формированием способности ориентироваться всех живых организмов, в том числе и человека, в условиях постоянного и равномерного гравитационного поля планеты. В процессе эволюции человек никогда не сталкивался с искривлёнными полями, поэтому у него не было необходимости развивать и совершенствовать в себе способность воспринимать искривление полей не только гравитационного, но и любого другого известного происхождения.

Криволинейные пространства и координатные системы, которые широко используются в настоящее время в научной практике, непосредственно человеком не осознаются. Он переводит их на свой язык ощущений, т.е. в реальный действительный мир с ОДСК, и в этом случае свойства изучаемой системы становятся неодинаковыми в зависимости от направления измерения. Таким образом, криволинейные пространства служат геометрической моделью анизотропии движения материи.

Необходимо отметить ещё одну особенность человеческого восприятия: любая форма движения, какая бы она ни была, человеком фиксируется и осознаётся в виде перемещения в пространстве или во времени. Косвенно это подтверждается тем, что любое изменение мы оцениваем с количественной точки зрения, выражаем числами и переводим в геометрические образы. Свойства полей, материальных объектов, характеристики процессов или явлений человек трансформирует в показания приборов, т.е. в перемещение стрелок, изменение индикаторов, перемену цифр на табло и т.п.

Формирование абстрактного мышления постепенно привело людей к необходимости поиска математических методов интерпретации движения материи с целью удобства записи, хранения и анализа информации о природе. Такой поиск требовал в первую очередь разобраться в столь важных категориях, как пространство и время. Историческое развитие смысловых значений и различные трактовки этих категорий широко освещены в философской и физической литературе, поэтому я не стану на них останавливаться специально. Для того, чтобы ход дальнейших рассуждений в статье был понятен, попробую предложить новое понятие сути пространства и времени.

Пусть идеализированное пространство представляет собой особое состояние материи, которая находится в абсолютном покое. Такое пространство однородно и изотропно, в нём нельзя выделить какие-либо конкретные области, объекты, направления, оно есть всеобщий серый фон. Количественная характеристика покоящейся материи, например, энергия, отлична от нуля, однако численное значение её установить нельзя, т.к. не существует физических эталонов, с которыми можно было бы проводить сравнение.

Любое движение материи автоматически приводит к возникновению ряда свойств, определяющих её количественные и качественные стороны. В движущейся материи неизбежно образуются структурные неоднородности, которые допускают рассматривать их в виде самостоятельных взаимодействующих объектов или систем. Наличие неоднородностей позволяет мысленно расставлять в пространстве метки и, тем самым, выделять направлений. Отсюда, как следствие, возникает понятие мерности. Для фиксации расположения объектов в любых направлениях человеком в пространство вводится трёхмерная ОДСК, а также задаётся способ вычисления расстояния между этими объектами, т.е. метрика. Таким образом, реальное физическое пространство должно быть тождественным движущейся материи в целом, а с количественной точки зрения давать полную характеристику движения и включать в себя энергетическое описание как структурных неоднородностей (объектов), так и их взаимодействие, переведённое на язык механического перемещения.

Время – это предельно абстрактное свойство движущейся материи, причем причина, побудившая движение, не принимается во внимание. Оно указывает только на интенсивность движения. Время можно сопоставить с энергетической характеристикой взаимодействия объектов, с изменением их положения в пространстве. Пространство и время неразрывно связаны друг с другом, взаимно обусловлены и в этом смысле пространственно-временные отношения достаточно полно описывают состояние материи.

Геометрически время интерпретируется и отображается четвёртой координатой, ортогональной трём пространственным. Если нас не интересует направление движения, а важен только сам факт перемещения, то реальное трёхмерное пространство допускает «свёртывание» до одномерного. При этом на пространственной оси координат необходимо откладывать изменение длины радиус-вектора, начало которого совпадает с началом координат, а конец совмещён с движущимся объектом. Таким образом, четырёх координат (или двух, если не учитывать направление) вполне достаточно для полного геометрического описания движения без анализа причин, побудивших это движение. В связи с тем, что любое изменение материи традиционно рассматривается с энергетических позиций, как это делается, например, в термодинамике, пространственно-временные соотношения можно считать эквивалентными энергетическим.
§ 2

Начиная с VII-VI веков до новой эры трудами греческих математиков разрозненные математические сведения, накопленные к тому времени человечеством, были систематизированы и преобразованы в строгую логическую систему. Великий геометр древности Евклид обобщил и довёл до совершенства первую геометрическую модель окружающего мира. Все основные положения геометрии он развил на основе аксиоматики, непротиворечивость которой была доказана только в XIX веке Давидом Гильбертом (Hilbert, 1862-1943).

Главной особенностью геометрии Евклида необходимо считать, что она рассматривала пространство трёхмерным, изотропным и однородным, представляющее собой как бы вместилище материи. О глубокой взаимосвязи пространства, времени и движения, как формы существования материи, в тот период не знали. Да и неудивительно, опыт людей ограничивался только сугубо практической деятельностью. По сути дела геометрия Евклида давала сведения лишь о статике, о расположении объектов в пространстве.

Понятие о метрике, т.е. уравнении, с помощью которого можно вычислять расстояние R между двумя точками в трёхмерном или двухмерном пространствах через их координаты Х₁ , Х₂ и Х₃ , появилось только в XVII веке в трудах Ренэ Декарта (Descartes, 1596-1650). Он создал метод координат и разработал начала аналитической геометрии. Декарт установил, что метрика изотропного пространства инвариантна относительно переносов и поворотов системы координат

Понятие времени вплоть до конца XIX века играло самостоятельную роль и никаким образом не было связано ни с пространством, ни с движением материи. Даже в том случае, если механическое перемещение объекта графически изображалось на плоскости в системе координат пространство-время, никакого смысла это не имело, а использовалось только для наглядности восприятия.

Время всегда и по сегодняшний день рассматривается с антропогенной точки зрения. Под временем традиционно понимается равномерный периодический процесс, с которым человек сопоставляет любые изменения, превращения, события в природе. В качестве эталонных процессов выбраны некоторые характеристики движения Земли, например, вращение её вокруг собственной оси, вращение вокруг Солнца и др. Не менее антропогенными является и роковое свойство однонаправленности времени. Оно неразрывно связано с биологической сущностью любого живого организма на планете, т.е. отождествляется с необратимостью биологической жизни.

На самом деле время – это изменение, движение. Если мы не можем обнаружить изменение, то естественно, нет и времени.

Первым в истории науки обратил внимание на неразрывную и непосредственную связь пространства и времени Альберт Эйнштейн (Einstein, 1879-1955). Он не вдавался в основы этих категорий, он просто понял, что они взаимосвязаны. Причиной, которая привела Эйнштейна к пересмотру пространственно-временных отношений, стали исследования в области электромагнитных явлений и физики элементарных частиц.

Математическую интерпретацию идеи Эйнштейна выполнил Герман Минковский (Minkowski, 1864-1909) на базе «воображаемой» геометрии Николая Ивановича Лобачевского (1792-1856). В отличие от пространства Евклида пространство Минковского приняло, наконец, законченную форму, оно стало четырёхмерным. Роль четвёртой координаты Х₄, расположенной ортогонально к трём пространственным, взяло на себя время
R² = + + - (2)
Впервые геометрическая модель природы объединила статическое состояние и динамику. Однако этот революционный шаг не был завершён. Понятие анизотропии движения не нашло отражения в созданной теории. И требование инвариантности сыграло здесь роковую роль.

Хотя пространство Минковского и было четырёхмерным, и с ОДСК, оно нисколько не походило на реальное действительное пространство, в котором живёт человек, которое он способен воспринимать своими органами чувств. Оно было так называемым псевдоевклидовым, т.е. таким, где три координаты точки выражаются действительными числами, а четвёртая (время) – мнимым. Тем не менее метрика псевдоевклидова пространства Минковского удовлетворяла инвариантности относительно переносов и поворотов системы координат, правда координатные преобразования имели некоторые особенности.

Если пространство Минковского попытаться отобразить на реальное действительное пространство с ОДСК, то обнаружится, что в нём появляются такие области и направления, в которых выполнить какие-либо измерения нельзя, т.к. результаты получатся мнимыми. В этом случае понятие направления теряет смысл, ибо для человека неясно, как в одном направлении что-то измерить можно, а в другом нет.

С другой стороны, следует обратить внимание на одно интересное обстоятельство. Любое псевдоевклидово пространство допускает отображение в реальном действительном пространстве с ОДСК в ином виде, но полностью равнозначном традиционному. А именно, в виде несплошной гиперсферы, движение точки по которой испытывает меняющееся «напряжение», возрастающее по гиперболическому закону до бесконечности при подходе точки к линии разрыва поверхности.

Итак, возникшее противоречие между моделью движения и его восприятием человеком оказалось неразрешимым в рамках геометрии Минковского. Время, как эквивалент движения, не может быть мнимой величиной, оно действительно и только действительно.

Выход из создавшегося положения можно найти только путём введения дополнительных постулатов, не имеющих отношения к геометрии. Они должны запрещать выполнение измерений в тех направлениях, где результат оказывается мнимым. Именно по такому пути и пошёл Эйнштейн при разработке своей специальной теории относительности.

В начале XX столетия при попытке объяснить характер распределения гравитационных полей во вселенной, впервые была высказана мысль о том, что метрическое уравнение имеет две равноценные трактовки: с одной стороны оно позволяет вычислить расстояние между двумя точками в любой области пространства, с другой – уравнение описывает анизотропию гравитации. Эйнштейном была предложена модель гравитационных взаимодействий, где проведена аналогия между распределением гравитационных полей и четырёхмерной геометрией, объединяющей пространство и время. В основу теории легла геометрия, разработанная Бернаром Риманом (Riemann, 1826-1866).

Как известно, Риман подхватил идею, содержащуюся в трудах Карла Фридриха Гаусса (Gau, 1777-1855) по теории поверхностей в действительном евклидовом пространстве и высказал в 1854 году важную гипотезу, лежащую в основании геометрии: если между двумя точками существует интервал, то величина этого интервала строго определена независимо как от выбора координат, так и от того, пользуемся ли мы представлением о координатах вообще. Расстояние от любой точки до соседней выражается билинейной функцией через разности координат этих точек по формуле
= (3)
Указанное метрическое уравнение имеет второй и только второй порядок, а также оно инвариантно относительно произвольных преобразований координат. Структура метрики определяется не постоянными, а переменными коэффициентами g_ij , зависящими от пространственных и временной координат.

Изо всех разновидностей римановых пространств Эйнштейн для своей модели выбрал самый неудачный, но привычный вариант, который уже использовался в геометрии Минковского, т.е. выбрал четырёхмерное псевдориманово пространство. И опять время осталось мнимой величиной. С другой стороны можно считать положительным то, что в модель было введено понятие анизотропии, как свойства четырёхмерного пространства, пусть даже заполненного только гравитационным полем и его источниками.

Нужно заметить, что римановы пространства представляют собой предельное обобщение метрических геометрий. Евклидово и псевдоевклидово пространства являются частными случаями римановых и возникают, когда коэффициенты g_ij при одноимённых сомножителях в метрическом уравнении постоянны и не равны нулю (g_ii и g_jj = const  0), а коэффициенты при разноимённых сомножителях нулю равны (g_ij = 0 при i  j).

Вера в многозначительность и универсальность метрического уравнения второго порядка укрепилась после отдельных достижений и выводов специальной и общей теории относительности даже несмотря на то, что успехи были весьма скромными и не соответствовали тем трудностям, которые возрастали с каждым новым шагом.

Таким образом, применение четырёхмерного анизотропного псевдориманова пространства для описания распределения гравитационных полей во вселенной не разрешило противоречий, стоявших перед моделью Минковского, хотя и подчеркнуло огромную роль понятия анизотропии в анализе силового взаимодействия любых объектов в природе, в анализе движения материи в общем смысле этого слова.
§ 5

Итак, постепенно мы пришли к необходимости разобраться в том, что такое анизотропия.

Прежде всего дадим определение понятию «точка». Точка – это такая малая область пространства, внутри которой мы не способны различить ещё более мелкие структуры никакими существующими в настоящее время техническими средствами. Пространство может быть разбито на множество точек и в этом смысле мы имеем право называть его дискретным или ячеистым. Относительно каждой конкретной или нулевой точки, с которой совмещается ОДСК, в пространстве можно выделить бесчисленное множество направлений. В любом из них найдётся не менее одной соседней точки, отличающейся по некому «метрическому свойству» от исходной, т.е. нулевой.

Разность «метрического свойства» между точкой отсчета и близлежащей соседней точкой в заданном направлении представляет собой некую напряженность пространства-времени, которая характеризует, условно выражаясь, его анизотропию. Распределение напряженности по направлению в каждой конкретной точке можно описать обобщённой «функцией анизотропии», зависящей от положения точки в пространстве-времени. В эту функцию должны входить четыре переменные величины – три пространственных и одна временная координаты. Введение дополнительных переменных или координат излишне. Если нас интересует только сам факт существования движения независимо от его направления, то три пространственных координаты заменяются одной – длиной радиус-вектора. Такой вид функции анизотропии условен, но в некоторых случаях позволяет получить более упрощенную картину явления и, тем самым, легче разобраться в характере движения.

Обобщённая функция анизотропии должна обладать рядом неотъемлемых свойств, которые определяют её геометрический образ. К ним относятся в первую очередь непрерывность функции и её первой производной; чётность в виде, приведённом к каноническому; невозможность одновремённого равенства нулю всех переменных; невозможность подстановки бесконечно больших значений в любую из переменных. Графически функция анизотропии должна отображаться в четырёхмерном пространстве симметричной относительно начала координат ПДСК, замкнутой и гладкой гиперповерхностью, которая окружает точку отсчёта, не соприкасаясь с ней и не удаляясь в бесконечность. Два вида метрического уравнения являются всего лишь её частными случаями и описывают так называемые «эллиптическую» и «гиперболическую» анизотропии. Вполне естественно, что требование инвариантности, предъявляемое к метрическим уравнениям, не может быть применимо к обобщенной функции анизотропии, т.к. инвариантность – это сугубо «индивидуальное» свойство билинейной функции второго порядка, т.е. метрического уравнения.

В соответствии с этим любая функция, удовлетворяющая указанным свойствам, способна задать какой-либо класс анизотропии, например:

Перечисленные свойства наглядно показывают, что применение в геометрических моделях движения материи псевдоримановых пространств (в частном случае псевдоевклидовых) неправомерно. Псевдогеометрические пространства образуются в том случае, если одна или несколько координат Х имеют мнимые значения. В настоящее время известен только один физически реальный и понятный класс анизотропии – это эллиптический. Других мы пока не знаем. Однако, тенденция широкого использования в теоретических разработках мнимых чисел и комбинаций на их основе (комплексные числа, кватернионы, октавы и др.) подсказывают о существовании какого-то иного класса анизотропии, геометрическая интерпретация которого до сих пор не имеет убедительной расшифровки.

Впервые упоминание о мнимых числах, как неком курьёзе, появилось в трудах Джироламо Кардано (Cardano, 1501-1576). Правила действия с этими числами разработал Рафаэле Бомбелли (Bombelli, 1526-1573). Попытки проведения совместных математических операций с действительными и мнимыми числами показали, что связь между ними может быть только геометрического характера. Исследование комплексных чисел и их геометрическая интерпретация, как точек на специальной плоскости с ОДСК, завершилась к концу XVIII - началу XIX века. Параллельно разрабатывались новые гиперкомплексные числа, например, кватернионы, октавы и др. Гиперкомплексные числа, по аналогии с комплексными, отображаются в n-мерном пространстве с ОДСК точками, координаты которых представляют собой либо действительные, либо мнимые величины. Такое пространство называется псевдоевклидовым индекса К, указывающим на количество мнимых координат, и является обобщением комбинированных пространств (одним из частных случаев псевдоевклидовых пространств является пространство Минковского).

Какими бы не были геометрические образы гиперкомплексных чисел, мы должны себе чётко представлять, что в основе их лежат только два исходных вида чисел – действительные и мнимые. Других не существует.

Как уже показано выше, псевдоевклидовы пространства нельзя отобразить на реальное действительное пространство с ОДСК с сохранением тех требований, которые предъявляются к геометрическому описанию анизотропии. Поэтому надо попытаться найти новое уравнение, которое позволило бы одновременно использовать как действительные, так и мнимые числа, учитывая их специфические особенности.

Известно, что мнимые числа при возведении их в чётную степень превращаются в действительные. Полная независимость от направления отсчёта, т.е. независимость от знаковой ориентации, появляется при возведении мнимого числа как минимум в четвёртую степень. Отсюда сделаем предположение, что в данном случае уравнение анизотропии должно иметь порядок не ниже четвёртого. Учитывая требования, предъявляемые к обобщённой функции анизотропии, сконструируем это уравнение для n-мерного пространства с ОДСК в виде:

= const, (5)
Коэффициенты g_ii и g_jj здесь имеют смысл масштабов переменных Х. С физической точки зрения они никогда не могут быть отрицательными или равными нулю числами и принимают только действительные значения. Коэффициенты g_ij для i  j зависят от степени анизотропии пространства-времени, действительны и изменяются в пределах, задаваемых требованиями к обобщённой функции.

Построив графическое изображение уравнения (5) в n-мерном пространстве с ОДСК, можно заметить, что оно обладает сложным рельефом с выпуклостями и впадинами. Высота и расположение элементов рельефа на поверхности определяются значениями коэффициентов g_ij. Влияние направления на любую из переменных Х графически изображается линией, напоминающей по форме известные резонансные кривые.

Уравнение (5) характеризует принципиально новый класс анизотропии, который возникает в пространстве-времени при осуществлении таких физических явлений как периодические процессы, где встречаются вращательные и колебательные формы движения. Но так как периодические процессы наблюдаются везде, особенно в микромире, это уравнение можно с достаточной степенью обоснованности считать универсальным. Уравнение (5) автоматически вытекает из уравнения (4) при подстановке в него m = 1. Степень общности уравнения (4) существенно возрастает, т.к. становится понятной интерпретация отдельных значений коэффициента m. Во-первых, m = 0 соответствует эллиптическому классу анизотропии, при котором движение материи описывается только действительными числами. И во-вторых, m = 1 соответствует новому классу анизотропии, при котором движение материи описывается мнимыми числами (или комбинацией из мнимых и действительных чисел).

§ 7

Рассмотрим применение уравнения (5) для описания движения частицы без учёта её взаимодействия с другими объектами, находящимися в пространстве-времени. Для упрощения рассуждений воспользуемся двухмерным (свёрнутым) типом пространственно-временных соотношений. В этом случае уравнение (5) будет иметь следующий вид

На первоначальном уровне развития физику удовлетворяло знание так называемого статического состояния движущейся материи в произвольный момент времени. Энергетическая характеристика материи выражалась простым равенством

Следующий этап развития физики ознаменован потребностью разделения полной энергии на две главные составляющие: энергию неподвижных структурных неоднородностей (не взаимодействующих с окружающей средой) или внутреннюю энергию частицы Е_ВН и энергию изменения, как механического перемещения, т.е. кинетическую – Е_КИН. Экспериментально установлено, что связь между перечисленными величинами определяется уравнением

К сожалению уравнение (9) было выведено совершенно из иных соображений, с использованием искусственных постулатов, затеняющих роль энергетических характеристик движущейся материи. По Минковскому интервал между двумя событиями выражается тем же уравнением (9), с той лишь разницей, что переменные Х₁, Х₂, Х₃ обозначают пространственные проекции интервала или отрезка прямой R, а Х₄ = Ct – временную проекцию (здесь С – скорость света в вакууме). Дальнейший розыгрыш уравнения проводился между псевдоевклидовой геометрией и преобразованиями Лоренца (Lorentz, 1853-1928). Цель игры – полное соответствие математической модели экспериментально установленным фактам зависимости изменения энергии частицы от её скорости движения. Правда в некоторых книгах, например, в Берклеевском курсе физики, встречается трактовка уравнения Минковского с точки зрения энергетических позиций

Выразим из (8) полную энергию Е_ПОЛН :

Е_КИН = < Е_ПОЛН ,

Итак, сопоставляя уравнения (6) и (8), мы видим, что переменная Х₁ в уравнении (6) представляет собой полную энергия частицы, Х₂ – кинетическую энергию, а константа в правой части уравнения суть ничто иное, как внутренняя энергия. В случае абсолютного покоя (отсутствия движения) Х₂ = 0 полная энергия тождественна внутренней энергии частицы. Теоретически константа в правой части уравнения (8) никогда не может быть равной нулю.

Традиционно считается, что модель Минковского не подходит для описания процессов, протекающих со сверхбольшими скоростями (  1). В соответствии с новой концепцией анизотропии пространства-времени уравнение (8) должно видоизмениться с учётом (6) на
+ = (11)

Здесь коэффициент g должен быть больше 0, причем диапазоны изменений коэффициента от 0 до 1 и от 1 до  тождественны, с той только разницей, что при 0 < g < 1 уравнение (11) напоминает кривую х² – у² = R² (см. рисунок – синяя кривая), а при 1 < g <  - кривую ху = R² (см. рисунок – зеленая кривая), при g = 1 уравнение (11) является уравнением окружности.

Отсюда следует, что при увеличении скорости движения объекта его кинетическая энергия будет расти до определённого предела. При достижении объектом «характеристической» скорости кинетическая энергия станет равной его полной энергии и возникнет парадоксальная ситуация – внутренняя энергия как бы «исчезнет», хотя фактически объект всего лишь изменит свою сущность, т.е. превратится в подобие «покоящегося» (как фотон, который вечно движется со скоростью С, а массы вроде бы и нет).

Обращаю внимание: из уравнения (11) вовсе не следует, что фотон или гравитон нельзя разогнать до сверхсветовой скорости или затормозить, просто при отклонении скорости от «характеристической» в любую сторону тут же обнаружится «спрятавшаяся» масса.

Степень устойчивости движения объекта с «характеристической» скоростью, т.е. трудность его дальнейшего разгона или торможения, всецело зависит от того, в каком диапазоне находится значение коэффициента g (от 0 до 1 или от 1 до ). Возможно для полевых частиц коэффициент g больше единицы и они «обречены» летать каждая со своей (видовой) «характеристической» скоростью, т.к. увеличение или уменьшение скорости потребует немалых дополнительных усилий (см. рисунок – зеленая кривая).

1. Движение объекта вызывает анизотропию пространства-времени, которая с достаточной степенью приближения описывается обобщённым уравнением чётного порядка (4). Частными случаями его являются:

- уравнение второго порядка, отображающее статическое положение в пространстве (m = 0, евклидова метрика) «статических» объектов;

- уравнение второго порядка, отображающее линейное движение в пространстве (m = 0, псевдоевклидова метрика) «статических» объектов;

- уравнение четвёртого порядка, отображающее движение в пространстве (m = 1) «динамических» объектов, т.е. вращающихся, колеблющихся или пульсирующих.

2. Два вида чисел – действительные и мнимые подсказали нам о существовании двух классов (m = 0 и 1) анизотропии пространства-времени и их связи с «энергетическим» описанием движения материи без учёта причин, побудивших это движение.