Решение контактных задач стационарного качения автомобильной шины

Рассматриваются решения контактных задач о деформациях автомобильной шины при стационарном качении по твердой опорной поверхности дороги или бегового барабана. Для шины радиальной конструкции используется расчетная схема анизотропной трехслойной оболочки, учитывающая реальное строение беговой части шины (каркас – прослойка – брекер). Оболочка дополняется внешним винклеровским слоем, моделирующим протектор шины. Задачи решаются в геометрически нелинейной постановке методом конечных элементов. Для выполнения условий контакта применяется метод штрафа. В области контакта рассматривается наличие зон сцепления и скольжения. Для определения границ этих зон и вычисления касательных напряжений в контакте скольжения используется кулоновская модель сухого трения.

При выводе уравнений применяется схема обращенного движения, согласно которой считается, что ось колеса неподвижна, под колесом движется с известной скоростью опорная поверхность. В стационарном состоянии скорости и ускорения точек шины определяются конвективными производными векторов положения точек в конфигурации деформированной шины , , где – скорость вращения колеса, – перемещения точек, , – орты радиального и окружного направлений.

Для описания динамического равновесия при стационарном движении оболочки используется уравнение принципа возможных перемещений

где – работа внутренних сил в оболочке на возможных перемещениях , , – плотность и объем материала оболочки, – часть лицевой поверхности оболочки, на которой заданы внешние силы .

Для представления внутренней структуры шины в беговой части применена схема трехслойной оболочки. Пакеты резинокордных слоев каркаса и брекера рассматриваются как две оболочки Тимошенко, соединенные несжимаемой в направлении нормали резиновой прослойкой, работающей на поперечный сдвиг. Для определения деформаций каркаса и брекера в каждой расчетной точке на базовой поверхности вводится локальная система декартовых координат, в которой формализуются гипотезы теории оболочек. Деформации оболочки в тангенциальных направлениях выражаются по формулам

, ,

, ,

где ,, – перемещения точек базовой поверхности; , – углы поворота материальной нормали, – координата, отсчитываемая по нормали к базовой поверхности, верхние индексы служат для обозначения величин, относящихся к каркасу и брекеру соответственно.

Поперечные сдвиги в пакетах каркаса и брекера ; . Деформации прослойки определяются по перемещениям базовых поверхностей каркаса и брекера.

Для расчета шин построен 18-узловой конечный элемент трехслойной оболочки, имеющий по 9 узлов на базовых поверхностях ее внешних жестких слоев. Линейные и угловые перемещения внешних слоев оболочки аппроксимированы на элементе биквадратичными функциями. Для устранения эффектов «сдвигового и мембранного заклинивания» применена процедура двойной аппроксимации деформаций, детально изложенная в [1].

В контактных задачах стационарного качения шины в качестве параметров нагружения, определяющих режим качения, задаются следующие величины: внутреннее давление в шине, смещение основания к оси колеса (обжатие шины), угловая скорость вращения колеса, продольная и боковая составляющие скорости основания, коэффициент трения скольжения элементов протектора по основанию. Контактные напряжения, силы и моменты, действующие на колесо, вычисляются в результате решения.

Условие непроникания в направлении нормали к опорной поверхности формулируется как требование неположительности функции внедрения , где – начальное внедрение оболочки в основание, которое имело бы место в случае проницаемых тел, – перемещения точек внешнего слоя оболочки в направлении нормали к основанию, – нормальное контактное давление, – жесткость протектора в направлении нормали.

Контактное давление определяется по формуле

Искомая область контакта характеризуется неравенством .

В уравнение принципа возможных перемещений (1) добавляется вариация энергии обжатия протектора , где – левая часть уравнения (1).

В результате уравнения МКЭ получают модифицированный вид: к матрице жесткости оболочки и вектору внешних сил добавляются соответственно матрица жесткости контакта и вектор дополнительной нагрузки, возникающей при контакте:

где – матрица функций формы в аппроксимации перемещений , – вектор направляющих косинусов нормали .

Используемый способ выполнения контактного условия соответствует методу штрафа, причем коэффициентом штрафа служит жесткость протекторного слоя .

В задачах качения изложенный алгоритм дополняется учетом касательных напряжений в площади контакта. При рассмотрении тангенциальных условий контакта предполагается, что деформации сдвига элементов протектора нарастают по мере продвижения элементов от входа к выходу из контакта. Применяется концепция «сцепление – скольжение», согласно которой площадь контакта делится на две зоны: зону сцепления в передней части контакта и зону скольжения, прилежащую к выходу из контакта. Условия контакта в тангенциальном направлении учитываются в вариационном уравнении задачи как штрафные слагаемые:

где – перемещения точек оболочки, тангенциальные по отношению к основанию, – орт касательной к опорной поверхности в направлении скорости качения колеса, – начальные значения соответствующей функции «проникания», – жесткость протектора в направлении , , – площади зон сцепления и скольжения соответственно , – коэффициент трения скольжения.

Матрица дополнительной жесткости контакта и вектор дополнительной нагрузки для элементов в зоне сцепления имеют вид

, ,

где – вектор направляющих косинусов касательной .

Те же матрицы для элементов в зоне скольжения

, .

При наличии зон скольжения матрица контактных жесткостей теряет свойство симметрии из-за слагаемого . В этом случае для улучшения сходимости итерационного процесса решения применен метод установления.

Решение задачи осуществляется по трехуровневой итерационной схеме, внешний цикл которой реализует метод дискретного продолжения по параметрам нагружения, средний – метод последовательных приближений для определения параметров контакта, внутренний цикл реализует метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений задачи. Подробное изложение постановки, алгоритма и результатов решения контактных задач качения шины содержится в [2-4].

Литература

1. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: Физматлит, 2006. – 392 с.

2. Белкин А.Е., Нарская Н.Л. Численный анализ деформаций автомобильной шины при стационарном качении // Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин. Сб. статей. Под ред. В.А. Светлицкого, О.С. Нарайкина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – С. 71–89.