Глоссарий по математике Абсцисса точки м – координата проекции точки м в декартовой системе координат на ось ох. Термин

2. А. правильной пирамиды (полной и усеченной) – высота боковой грани.

Функция y= cos x, если ее рассматривать во всей области определения, обратной функции не имеет, т.к. каждому числу y из области ее значения соответствуют множество действительных чисел x. Однако, если рассматривать функцию y= cos x на промежутках монотонного ее изменения, например, на отрезке [0;п], то на нем существует обратная ей функция, она непрерывна и монотонно убывает от п до 0. Эту функцию называют арккосинусом и обозначают y=arcos x . Т.о., функция y=arcos x – дуга (угол), взятая на отрезке [0;п] косинус которой равен x .

Функция y=arcos x неотрицательная , ограниченная, свойствами четности или нечетности не обладает, т.к. arcсos ( -x) = п - arcos x, монотонно убывающая на отрезке [-1;1] от п до 0, ее график симметричен графику функции y= cos x относительно прямой y= x , для любого действительного числа х <=1 выполняется равенство cos (arcos x) = x, для 0<=x<=п верно равенство arcos (cos x) = x.

Арккотангенс – функция, обратная котангенсу. Она решает задачу нахождения дуги (угла) по данному ее котангенсу. Она решает задачу нахождения дуги (угла) по данному ее котангенсу.

Функция y=ctg x во всей области определения не имеет обратной функции, т.к. каждому числу y из области ее значения соответствует бесчисленное множество действительных чисел x. Если функцию y=ctg x рассматривать в интервале монотонного ее изменения, например, в интервале ]0;п[, то она в нем имеет обратную функцию, которая непрерывна и монотонно убывает от п до 0. Эту функцию называют арккотангенсом и обозначают y=arcctg x . Т.о., функция y= arcctg x –дуга (угол), взятая в интервале ]0;п[, котангенс который равен x. Функция y=arcctg x является положительной, ограниченной, свойствами четности или нечетности не обладает, т.к. arcctg (-x) =п – arcctg x, монотонно убывает на всей числовой прямой от п до 0, ее график симметричен графику функции y=ctg x относительно прямой y=x, для любого действительного х имеет место тождество ctg (arcctg x)=x, для
Арксинус – функция, обратная синусу. Она решает задачу нахождения дуги (угла) по данному ее синусу. Функция y=sin x всей области определения не имеет обратной функции, т.к. каждому числу y из области ее значений соответствует бесчисленное множество действительных чисел х. Если функцию y=sin x рассматривать на промежутках монотонного изменения, например, на отрезке [-п/2; п/2], то на нем существует обратная ей функция, она монотонно возрастает от-п/2 до п/2. Эту функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Т.о., функция y=arcsin x – дуга (угол), взятая на отрезке –п/2;п/2], синус которой равен х

Функция y =arcsin x ограниченная, нечетная ,т.к. arsin (-x)=-arcsin x, возрастающая на отрезке [-1;1] от –п/2 до п/2, положительная на отрезке [0;п/2], отрицательная на отрезке [-п/2;0], ее график симметричен графику функции y=sinx относительно прямой y=x, для любого действительного числа |x| <=1 верно равенство sin(arsin x) =x, а для |x| <= п/2 имеет место равенство arcsin (sin x)=x.

Б.ч.п. задается записью ее членов, расположенных в порядке возрастания их номеров:

X1,x2,…,xn,…, либо заданием общего члена (xn) , рекуррентно, т.е. формулой, выражающей любой член последовательности, начиная со второго, через предшествующие один или несколько членов, или как-нибудь иначе – все равно, лишь бы был указан закон образования ее членов.

Числовая последовательность, определенная для натуральных чисел, не превосходящих n, наз. конечной.

Б.ч.п. наз. возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, т.е. xn+1 > xn убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего, т.е. xn+1 > xn. Последовательность 1,2,3,…, 2n+1,… возрастающая, а последовательность 1,1/2,1/2^2,… 1/2n,… убывающая.

Б.ч.п. наз. невозрастающей, если для всех n Е N верно xn+1 <=xn . Б.ч.п. наз. постоянной, если ее общий член не зависит от n, например: an=2. Б.ч.п., не являющиеся монотонными, например, 1,-1/2,1/3,-1/4,…,(-1)n+1/n,…, получили название колеблющихся (см. Монотонная последовательность, Ограниченная последовательность, Предел числовой последовательности). График последовательности состоит из отдельных точек с натуральной абсциссой.

Некоторые свойства Б.м.в.

1. 
   Алгебраическая сумма конечного числа Б.м.в. есть Б.м.в.
   

3) Произведение Б.м.в. на постоянное число есть Б.м.в.

Т.е., точки D и E делят отрезок BC в крайнем и среднем отношении. Б. внешнего и смежного с ним внутреннего угла взаимно перпендикулярны.



Вектор – направленный отрезок . В. с началом A и концом В обозначается АВ. В. обозначается также одной строчкой латинской буквой со стрелкой наверху:

  

a , b , c.

Модулем В. AB наз. длина отрезка AB и обозначается |AB|.

Примеры векторных величин : скорость, ускорение, сила и др.

Для характеристики этих величин, кроме численного (скалярного) значения, надо знать направление их действия. Любой В. определяется своей начальной точкой, направлением



и длиной или парой соответствующих точек х и а (х). В., у которого начало совпадает с концом, наз. нуль-вектором и обозначается 0. Нуль-вектор не имеет направления, его

длина равна нулю. Два В. АВ и СD равны , если они сонаправлены и |AB|=|CD|.

Равные В. обладают свойствами транзитивности (см.) , рефлексивности (см.), симметричности (см.).

 

Расположенную на луче заданного направления с началом в точке х на расстоянии r от этой точки.

Обратное отображение задается противоположным вектором –а (См. Компланарные векторы, Коллинеарные векторы, Радиус-вектор). В., длина которого равна единице, наз. единичным.

Множество всех равных между собой В. наз. свободным В.

1. 
   Сонаправленные лучи с общим началом совпадают: [ОА)^[ОВ)=[OB).
   
2. 
   Сонаправленные лучи, имеющие разные начала, образуют луч: [OA^[O1B)=[OA), если точка О1 лежит левее точки О, и [OA)^[O1B)=[O1B), если точка О1 лежит правее точки О.
   
3. 
   Противоположно направленные лучи либо имеют общую точку, если О и О1 совпадают: [OA)^[O^B)= О=О1, либо не имеют ни одной общей точки: [OA)^[O1B)= зачеркнутый О, либо образуют отрезок ОО1 : [OA)^[O1B)=[OO1).
   
4. 
   Лучи, лежащие на разных прямых, либо параллельны, либо пересекаются. В пространстве два луча могут быть параллельными (в частности, совпадающими), пересекающимися, скрещивающимися.
   

F(х) в интервале ]х₁; х₂[ возрастает. Если х₂ < х₃, а y₂> Уз, то функция в данном интервале ]х₂; х₃[ убывает.

2. Чтобы вычесть из одного целого числа другое, надо уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

3. В. иррациональных чисел определяется вычитанием их рациональных приближений.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ — решение геометри­ческих задач с помощью циркуля и линейки. В геометрических задачах на построение требуется отыскать искомые элементы (точку, прямую, отрезок и др.), удовлетворяющие условию за­дачи.

На плоскости это сводится к таким простейшим операциям: 1) построению точки пересечения двух прямых; 2) построению прямой через данные две точки; 3) описанию окружности данно­го радиуса из данной точки; 4) определению точки пересечения данной прямой с данной окружностью; 5) нахождению точки пересечения данных двух окружностей; 6) .построению перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку; 7) про­шению через данную точку прямой, параллельной данной пря­ной.

Решение задачи на Г. е. в пространстве только описывается, обосновывается и сопровождается схематическим чертежом и она считается решенной, если ее удается свести к решению сле­дующих простейших задач: 1) проведению плоскости через три •очки, «е лежащие на одной прямой; 2) проведению плоскости через две параллельные или пересекающиеся прямые; 3) проведению плоскости через прямую я точку, лежащую вне этой прямой; 4) построению линии пересечения двух плоскостей; 5) геометрическим построениям в какой-л. Плоскости.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — правило, по которому каждой точке А фигуры F ставится в соответствие точки А' фигуры F '. Г. п. — обратимое точечное преобразование од­ой фигуры в другую. Другими словами, Г. п. — функция, областыо определения и областью значений которой является множество точек. Вместо фигуры часто рассматривается вся плоскость или пространство. В школьной -геометрии изучаются такие Г. п.:

а) Преобразования, переводящие фигуру F в конгруэнтную ей фигуру F ', т. е. изометрические перемещения: параллельный перенос (см.), центральная (осевая) симметрия (см.), поворот.

б) Преобразования, переводящие фигуру Р в подобную ей фигуру .Р, т.е. подобие (см. Преобразование подобия, Гомоте­тия) .

Г. п. применяется при решении геометрических задач.

  k

Если K > 0, то точки х и у = Н _о (х) лежат на прямой Ох

по одну сторону от центра Г., если k < 0, то — по разные сто­роны от точки О.

В первом случае Г. яаз. положительной, во втором—отрица­тельной. При k = 1 отрицательная Г. обращается в центральную симметрию, а доложи тельная —в тождественное преобразование.

Преобразование гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч— в луч, угол—в конгруэнтный угол, многоугольник — в подобный многоугольник, многогранник — в подобный многогранник, у ко­торых двугранные, а также многогранные углы соответственно конгруэнтны, а отношение соответствующих ребер равно и. Вме­сто термина «гомотетия» в этом же смысле употребляют терми­ны: «перспективное подобие», «центральное подобие». Гомоте­тичные фигуры подобны.

k

Чтобы задать Г., необходимо задать центр Г. и одну пару со­ответствующих точек х и у = Н ₀ (х), лежащих на одной прямой с центром О.

Свойство Г. применяется в кино-фото проекционных аппа­ратах для увеличения или уменьшения изображения. При к<1 получается уменьшенное изображение, при к> 1 — увеличенное изображение.

2. В подкоренном выражении, стоящем под квадратным кор­нем, две цифры, под кубическим — три цифры, отделяемые спра­ва налево, если подкоренное выражение целое число; от заня­той вправо и влево, если подкоренное выражение дробное. На-

3. Плоские углы при вершине многогранного угла.
ГРАФИК. 1.Г. - чертеж, применяемый для наглядного изо­бражении количественной зависимости разного рода явлений и связанных с ними процессов. Например, кривая, изображающая процент выполнения плана производства по месяцам.

2. График функции — множество точек плоскости (множест­во пар х и y), координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y = f(x).

Г. функции — линия (сплошная или разрывная), но он мо­жет состоять из отдельных точек или отрезков, не примыкаю­щих друг к другу.

Определение прямых, вертикальных, смежных Д. у. строится по аналогии с соот­ветствующими определениями плоских углов.

Угол между двумя перпендикулярами к ребру Д. у., прове­денными в его гранях из одной точки ребра, наз. линейным уг­лом Д. у., он является мерой Д. у. Д. у. с гранями а и В и реб­ром АВ обозначается аАВВ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА —совокупность всех рацио­нальных и иррациональных чисел. Д. ч. называют также веще­ственными. Д. ч. образуют поле числовое. Геометрическое пред­ставление Д. ч.: всякому Д. ч. а можно привести в соответствие точку на координатной прямой, находящуюся от нуля на рас­стоянии | а |.Верно и обратное утверждение: каждой точке коор­динатной прямой соответствует 'единственное Д. ч. Ом. Сложение Вычитание, Умножение, Деление, Возведение в степень, Извлечение корня, Преобразование корней.


ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ — логарифмы при основании 10. Д. л. то же, что бригговы логарифмы.

Для чисел х> 1 Д. л. выражаются в виде смешанных чисел, целая их часть наз. характеристикой (термин введен Бриггом), а дробная часть — мантиссой, т.е. lg х = [lgх] + {lgx}, где [lgx]- целая часть, {lgx} — дробная часть Д. л.

Свойства логарифмов чисел по основанию а>1 полностью распространяются на Д. л. (см. Логарифмы).
ДЕТЕРМИНАНТ — синоним термина «определитель». Тер­мин введен в 1815 г. О. Коши.
ДИАГОНАЛЬ. 1) Д. многоугольника (см. Многоугольник); 2) Д. многогранника (см. Многогранник).
ДИАГОНАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ — часть диагональной плос­кости, ограниченная линией пересечения поверхности многогран­ника с этой плоскостью.
ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН — то же, что распределитель­ный закон (см.).

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ у = f(х). Если функция У=f(х) для частного значения аргумента х имеет конечную

производную f'(х), то диф­ференциал от f(х), обозначае­мый символом dу или df (х) (введен в 1675 г.Лейбницем), определяется равенством: dу = f(х) dх, т. е. Д.ф. y= f(x) наз. главная линейная часть приращения функции. Но х = dх, поэтому d у = у'dх = =f'(х) dх, т.е. Д. ф. равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.

Д.ф. геометрически выра­жает приращение ординаты точки, движущейся по каса­тельной к графику функции.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ —раздел (часть) математического анализа, в котором (изучаются свойства и спо­собы вычисления производных и дифференциалов, их примене­ние к 'исследованию функции.

Первые попытки создания Д. и. были сделаны Р. Декартом,

П. Ферма и др. еще XVII веке. Однако создание Д. и. связано с работами И. Ньютона и Г. Лейбница. Термин Д. и. ввел Лейб­ниц.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ —операция, состоящая в вычис­лении производных и дифференциалов от любой дифференцируе­мой функции.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ. Функция у = f(х)

наз. дифференцируемой в точке х=х₀, если она в этой точке име­ет конечную производную. Функция у = f(х) наз. дифференци­руемой в промежутке ]а; b[, если она имеет конечную производ­ную в каждой точке этого промежутка.

Если функция у = f(х) дифференцируема в некоторой точке х = х₀, то она в этой точке непрерывна. Обратное заключение не всегда верно.
ДЛИНА КРИВОЙ. Принципы измерения Д. к., заданной в декартовой системе координат, дал в 1836 г. Н. И. Лобачевский, который определил Д. к. как предел, к которому стремится пери­метр ломаной линии, вписанной в дугу (или описанной около нее) при условии, что длина каждого звена этой ломаной стремится к нулю, а число звеньев неограниченно растет.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. За Д.о. принимается общий пре­дел, к которому стремятся периметры правильных «писанного и описанного многоугольников, когда число их сторон неограни­ченно возрастает. Д. о. С = 2пR = пD..
ДОДЕКАЭДР — двенадцатигранник. Правильный Д. один из пяти правильных многогранников, гранями которого являются правильные 'пятиугольники (рис. 26). Д. имеет 12 граней, 30 ре­бер, 20 вершин, в каждой из которых схо­дятся по 3 ребра. Правильный Д. имеет 15 плоскостей симметрии, 15 осей второго по­рядка, 10 осей третьего порядка, 6 осей пя­того порядка (см. Куб).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — выведение ложности или истинности всякого математического предложения (кроме аксиомы и опре­деления) на основании ранее доказанных теорем, определений, первичных понятий и аксиом, принятых в данной науке. При до­казательстве нельзя опираться на наглядность, очевидность, ин­туицию, на представления, полученные из жизни. Чтобы дока­зать ложность какого-л. утверждения, достаточно привести хотя •бы один пример, отвергающий это утверждение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВА— установление того, что данное неравенство тождественно выполняется при всех до­пустимых значениях,«ходящих в него букв. Общего метода Д.н. не существует. Некоторые способы Д. н.:

Первый способ. Он основан на выяснении знака разно­сти между левой и правой частями неравенства. Неравенство А>В справедливо, если А — В > 0. Точно так же А < В, если А—В < 0.