«Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции»

________________________________________________________________________

1. 
   Образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию мате риала темы и создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений;
   
2. 
   Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления, внимания, памяти, т.е. активизация познавательной деятельности и формирование творческого подхода к решению задач.
   
3. 
   Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности.
   

1. 
   Организационный момент.
   
2. 
   Входной контроль.
   
3. 
   Блок информаций (Блок №1 - №5).
   
4. 
   Завершающий контроль (Блок №6).
   
5. 
   Подведение итогов урока.
   

б). Задание на дом.

1. 
   Класс разбит на 4 группы и работают 2 консультанта. В лабиринте 4 маршрута. У каждой команды свой маршрут, эти листы имеются у каждой группы.
   
2. 
   Каждая команда должна пройти путь от края лабиринта до его центра, решая задачи на сравнение, обобщение, выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, применяя полученные знания в нестандартных случаях и оценивая свои возможности, свои знания.
   
3. 
   Ворота каждого круга оцениваются определенным числом баллов. Число баллов указывает уровень сложности вопроса, чем сложнее вопрос, тем больше баллов за него начисляется.
   
4. 
   Каждая команда должна пройти путь от края лабиринта до его центра, набрав 15 баллов.
   

5. 
   В качестве подтверждения того, что команда прошла тот или иной круг, ей выдаются жетоны с указанием набранных баллов и в конце урока, по числу набранных баллов ставите себе оценку.
   

I – команда: 2 – 2 – 4 – 3 – 4 (=15)

II – команда: 2 – 3 – 3 – 5 – 2

III – команда: 2 – 2 – 4 – 3 – 4

IV – команда: 2 – 3 – 3 – 4 – 3
А в качестве напутствия звучит стихотворение:
Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В лабиринт отправляемся смело –

В мир загадок и сложных задач.

Не беда, что идти далеко,

И не бойтесь, что путь будет труден.

Достижения крупные людям

Никогда не давались легко!

1. 
   Входной контроль.
   

После ответов на вопросы команды считаются прошедшими I круг лабиринта.

2. 
   Блоки информаций.
   

(Каждый блок содержит задания на сравнение, обобщение, выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма и другие).

О чем идет речь? а) 1б б) 2б
а)	1) arcsin = - π/4	3) arctg (-1)= 3π/4
	2) arccos = 5π/6	4) arcctg (-1)= 3π/4
б)	1) arcsin 1 + arcsin= π/6	3) arcsin * arcsin = -π2/36
	2) arccos * arccos (-1/2)= = -π2/12	4) arctg 1 + arctg = 5π/12

Каждая команда решает задания в зависимости от того, сколько баллов в воротах соответствующего круга своего маршрута.

б). 3 – неверно.

Где ошибка? а) 1б б) 2б в) 2б г) 3б
а)	1) sin (arcsin)=	3) cos (arccos 3/2)= 3/2
	2) tg (arctg)=	4) ctg (arcctg/3)= /3
б)	1) arcsin (sin 5/7)=5/7	3) arctg (tg π/3)= π/3
	2) arccos (cos 5)= 5	4) arcctg (ctg 3π/4)= 3π/4
в)	1) arcctg (ctg π/6)= π/6	3) arcsin (sin 3)= 3
	2) arctg (tg π/4)= π/4	4) arccos (cos π/2)= π/2
г)	1) tg (arctg 10)= 10	3) ctg (arcctg π)= π
	2) arccos (cos 11 π/9)= 11π/9	4) sin (arcsin π/4)= π/4

1)	sin (arcsin a)= a,	-1 a 1
2)	cos (arccos a)= a,	-1 a 1
3)	tg (arctg a)= a,	- < a <
4)	ctg (arcctg a)= a,	- < a <
5)	arcsin (sin x)= x,	-π/2 < x < π /2
6)	arccos (cos x)= x,	0 < x < π
7)	arctg (tg x)= x,	-π/2 < x < π /2
8)	arcctg (ctg x)= x,	0 < x < π

б). Равенство arccos (cos x)= x справедливо только при условии 0 < x < π, т.к. число 5 не принадлежит отрезку [0; π], то этим равенством непосредственно пользоваться нельзя.

Преобразуем: arccos (cos 5)= arccos (cos (-5))= arccos (cos (2 π -5)), т.к. 0 2π -5 π, то arccos (cos (2π -5))= 2π -5

в). 3 – неверно, т.к. arcsin (sin 3)= arcsin (sin (π -3))= π -3

г). 2 – неверное равенство.

arccos (cos 11π/9)= arccos (cos (11π/9 – 2π +2π))= arccos (cos (11π/9 – 2π))= arccos (cos (-7π/9))= arccos (cos 7π/9))= 7π/9.

б). 3 уравнение не имеет решения, т.к. 4 π /3 (0; π).

в). 4 уравнение не имеет решения.

Задания каждого блока рассматриваются на доске. У доски объясняет задание представитель той группы, которая должна набрать самое большее количество баллов.

arccos (2x – 3)= π /2

2x – 3= cos π /2

Ответ: x= 3/2
б). 1; 3; 4 уравнения даны через арксинус, а 2 уравнение через арккосинус. Решим это уравнение.

arccos (x² – 4x + 3)= π /2

arcsin x= y

y² – π /2 * y + π ²/18= 0

Д= (π /6)²;

Y₁= π /6; y₂= π /3

arcsin x= π /6 arcsin x= π /3

Итак, мы дошли до центра.

Там, где есть желание, всегда найдется путь!

Кидают кубик поочередно.

Всего для выхода из лабиринта каждой группе надо снова набрать 15 баллов.

Если выпадет грань с тремя точками, то задания из 3-го конверта, грань с четырьмя точками – задания из конверта №4 и т.д.

Там имеются задания, которые оцениваются в 5, 10 и 15 баллов, т.е. задания II-го и III-го уровня сложности, в случае затруднений можно пользоваться подсказками, данными ниже.

Блок №6. ? Метод решения!

Вариант – I 1) arcsin (x2 – 3x +1/2)= π /6 5б 2) 4 * arctg2 x + 5 π * arctg x + π2= 0 10б 3) arccos (2x3 + 3x2 + 0,1)= arccos (x + 2x2 + 0,1) 15б 4) arctg (2 * sin x)= arcctg (cos x) 15б Указание: 2) arctg= t; -π/2 < t < π /2 3) arccos f (x)= arccos g (x)  4) arctg f (x)= arcctg g (x) => f (x) * g (x)= 1

? Метод решения!

2) 3 * arctg² x - 2 π * arctg x= π² 10б

3) arcsin (3x³ – x² + 1)= arcsin (2x + 1) 15б

4) arcsin x * arccos x= π² /18 15б

3) arcsin f (x)= arcsin g (x) 

4) arcsin x + arccos x= π /2 => arccos x= π /2 – arcsin x

arcsin x= t, - π /2 < t < π /2

Вариант – I

1. 
   arcsin (x² – 3x + ½)= π /6
   

x² – 3x + ½= ½

x² – 3x= 0

x (x – 3)= 0

x=0 или x – 3= 0

x= 0

2. 
   4 * arctg² x + 5 π * arctg x + π²= 0
   

4t² + 5 π * t + π² = 0

Д= 25 π² – 4 * 4 * π²= 9 π²= (3 π)²

t_1,2= (-5 π + 3 π)/8; t₁= - π; t₂= - π /4

3. 
   arccos (2x³ + 3x² + 0,1)= arccos (2x² + x + 0,1)
   

x * (2x² + x – 1)= 0

x=0 или 2x² + x – 1= 0

Д= 1² – 4 * 2 * (-1)= 9= 3²

x₂= (-1 – 3)/4= -1 (постоянный корень).

x₃= (-1 + 3)/4= ½ (постоянный корень).

4. 
   arctg (2sin x)= arcctg (cos x) => f (x) * g (x)= 1.
   

x= π /4 + π n, n z.

1. 
   arcsin (x² – 4x + 2)= - π /2
   

x² – 4x + 3= 0

Д= 16 – 4 * 3= 4

x_1,2= (4+2)/2; x₁=1; x₂=3

2. 
   3 * arctg² x – 2 π * arctg x= 2 π²
   

3t62 – 2 π t – π² = 0

Д= 4 π² – 4 * 3 * (-π²)= 16 π² = (4 π)²

t_1,2= (2 π + 4 π)/6; t₁= - π /3; t₂= π

arctg x= - π /3 => x= tg (-π /3)= -

arctg x= π не имеет решения.

3.arcsin (3x³ – x² + 1)= arcsin (2x + 1)

x * (3x² – x – 2)= 0

x= 0 или 3x²– x – 2= 0

Д= 1 – 4 * 3 * (-2)= 25= 5²

x_1,2= (1 + 5)/6; x₁= -2/3; x= 1 (постоянный корень).

Ответ:{0;-2/3}

4). arcsin x * arccos x= π²/18

arccos x= π /2 – arcsin x

arcsin x * (π /2 – arcsin x)= π ²/18

π /2 * arcsin x – arcsin² x – π ²/18= 0

пусть arcsin x= t; | t | < π /2

18 * arcsin² x – 9 π * arcsin x + π ²= 0  тогда

t₁= π /6; t= π /3.

В зависимости от полученного результата учащиеся получают задания на дом.

II уровень: №2.5.31, №2.5.32. Сборник заданий (УНГТУ), №2.5.36.

arccos (x *) + arccos x= π /2

arcsin (1 + 2 * cos x) + arccos (1 + 3 * tg x)= π /2

Оценка за весь модуль зависит от суммы баллов по всем учебным блокам.