С. П. Радзевич векторное представление зубчатых пар

Зубчатые пары внутреннего зацепления, так же как и зубчатые пары «реечного типа», допускают представление в векторной форме.

Векторная диаграмма для зубчатой пары внутреннего зацепления строится подобно тому, как выше построена векторная диаграмма для зубчатой пары внешнего зацепления (см. рис. 5 в первой части данной статьи). Поэтому в этом разделе ограничимся кратким рассмотрением процедуры построения векторной диаграммы для зубчатой пары внутреннего зацепления и отметим некоторые её отличия от аналогичной векторной диаграммы для зубчатой пары внешнего зацепления.

Рассмотрим зубчатую пару, набор параметров которой (, , и ) позволяет отнести её к зубчатым парам внутреннего зацепления.

Пример графического построения вектора скорости мгновенного вращения показан на рис. 1, a. В горизонтальной плоскости проекций π₁ вектор скорости мгновенного вращения находится как векторная разность векторов вращений и .

На горизонтальную плоскость проекций π₁ вектор мгновенного вращения проецируется без искажений. Как и в случае зубчатой пары внешнего зацепления, проекции векторов вращений и на π₂ обозначены через и соответственно.

При внутреннем зацеплении зубчатых колёс точка находится вне пределов длины межосевого перпендикуляра . Наоборот, ось вращения шестерни пересекает межосевой перпендикуляр в некоторой точке, которая находится между точкой и точкой пересечения межосевого перпендикуляра осью вращения зубчатого колеса. Поэтому для зубчатой пары [вместо уравнения (2) в первой части статьи] справедливо равенство

.

(1)

,	(2)
.	(3)

Как и в рассмотренном выше случае, вектор линейной скорости скольжения , создаваемого зубчатым колесом, равен

.

(4)

.

(5)

.

(6)

.

(7)

На рис. 1, б показано расположение основных векторов относительно аксоидов A_g и A_p зубчатого колеса и шестерни зубчатой пары.

Естественно предположить, что наряду с существованием зубчатых пар внешнего и внутреннего зацепления должны существовать зубчатые пары некоторого промежуточного вида, подобно тому, как наряду с существованием цилиндрических зубчатых передач внешнего и внутреннего зацепления существуют также реечные передачи. Реечные передачи можно интерпретировать как некий предельный (критический) случай либо передачи внешнего, либо передачи внутреннего зацепления, когда число зубьев колеса устремляется к бесконечности. Иными словами, аналогично реечной передаче как предельного случая цилиндрической передачи, должна существовать передача более общего вида как предельный (критический) случай зубчатой передачи либо внешнего, либо внутреннего зацепления.

а	б
Рис. 1. Векторная диаграмма зубчатой пары внутреннего зацепления

.

(8)

.

(9)

На рис. 2 приведена векторная диаграмма зубчатой пары, векторы вращений и которой соотносятся так, что выполняется условие

.

(10)

а	б
Рис. 2. Векторная диаграмма зубчатой пары реечного типа

В плоскости, проходящей через межосевой перпендикуляр, линейная скорость скольжения аксоидов создается только вращением скольжения . Несмотря на то, что вектор не равен нулю (), составляющая скольжения равна нулю (). Это следствие того, что в рассматриваемом случае выполняется соотношение . Поэтому . В конечном итоге результирующая скорость скольжения в рассматриваемом случае равна

.

(11)

Векторная диаграмма зубчатой пары “реечного типа” представляет особый интерес при проектировании инструментов для обработки колёс и шестерён гипоидных и спироидных зубчатых передач.

Принципиальным отличием одной зубчатой пары от другой является величина угла, который составляют вектор вращения зубчатого колеса с вектором мгновенного относительного вращения . Это отличие аналитически описывается условиями (8)-(10). Как было отмечено выше, вектор мгновенного вращения равен векторной разности векторов вращений и зубчатого колеса и шестерни

.

(12)

Вид зубчатой пары	Аналитические признак
внешнего зацепления
“реечного типа”
внутреннего зацепления

Приведённые выше выражения для аналитического признака вида зубчатой пары записаны на основании известных свойств скалярного произведения векторов.

Для полного аналитического описания зубчатой пары удобно ввести в рассмотрение векторы, идущие вдоль межосевого перпендикуляра, и векторы, идущие вдоль осей вращения зубчатого колеса и шестерни. С названными векторами связаны некоторые другие параметры зубчатой пары, которые могут быть выражены скалярными величинами.

Введём в рассмотрение безразмерный единичный вектор , который проходит через начало системы координат и направлен вдоль оси . Вектор позволяет просто представить аналитически векторы и , направленные вдоль межосевого перпендикуляра. Вектор приложен в полюсе зацепления . Он равен . Соответственно, приложенный в точке вектор равен . Длина вектора всегда больше или равна длине вектора . Поэтому справедливо неравенство .

Рис. 3. Совокупность характеристических векторов, связанных с зубчатой парой

В простейших случаях, когда зубчатый венец расположен таким образом, что межосевой перпендикуляр проходит через середину зубчатого венца (например, как это имеет место в обычной винтовой зубчатой передаче и др.), линейная скорость скольжения целиком и полностью определяется взаимным расположением векторов вращений и . В этом случае линейная скорость скольжения рассчитывается по формулам (10) в первой части статьи и (7) и (11).

Более общим является такое положение зубчатого венца, когда его середина смещена относительно межосевого перпендикуляра в осевом направлении зубчатого колеса на некоторую величину, например, как это имеет место в гипоидной передаче. В этом и др. подобных случаях при неизменных угловых скоростях скорость скольжения зависит также и от величины осевого смещения зубчатого колеса. Это следствие того, что осевое смещение зубчатого венца приводит к увеличению расстояния от оси мгновенного вращения точки на оси зубчатого колеса, соответствующей середине зубчатого венца. Поэтому при неизменной частоте вращений осевое смещение зубчатого венца приводит к увеличению скорости скольжения в зубчатой паре.

Влияние осевого смещения зубчатого венца относительно межосевого перпендикуляра учитывается следующим образом.

Предположим, что сечение через середину зубчатого венца плоскостью, перпендикулярной его оси, удалено от межосевого перпендикуляра в осевом направлении на расстояние , как это показано на рис. 4. Тогда нетрудно получить следующую формулу для расчёта величины радиуса начальной окружности зубчатого колеса.

.

(13)

Обратно, если радиус начальной окружности зубчатого колеса задан, то соответствующее ему осевое смещение зубчатого венца равно

.

(14)

Аналогичные формулы справедливы для расчёта величины радиуса начальной окружности шестерни и/или величины осевого смещения .

Рис. 4. К определению радиуса произвольного сечения аксоида плоскостью, перпендикулярной оси зубчатого колеса

Связанный с зубчатым колесом вектор направлен вдоль оси вращения зубчатого колеса (рис. 3). В общем случае он приложен в точке пересечения оси и межосевого перпендикуляра , т.е. он приложен в точке перекрещивания осей вращений и . Вектор выражается через два параметра и и может быть вычислен по формуле . Здесь обозначает расстояние вдоль оси , которое измеряется от точки перекрещивания осей до середины зубчатого венца шириной . Единичный вектор направлен вдоль оси зубчатого колеса . Он является безразмерной величиной и определяется из соотношения .

Вектор связан с шестернёй аналогично тому, как вектор связан с зубчатым колесом. Для вектора справедлива формула , где обозначено – расстояние вдоль оси , измеренное от точки перекрещивания осей и до середины венца шестерни шириной , – направленный вдоль оси шестерни безразмерный единичный вектор, определяемый из соотношения .

Аксоиды в форме однополостных гиперболоидов вращения представляют собой бесконечные поверхности. В зубчатых парах используются только некоторые участки бесконечных поверхностей.

Если рассматриваются два вращения вокруг перекрещивающихся осей, возможны следующие три положения рабочего участка в пределах соответствующих аксоидов. Фактическое положение рабочих участков однозначно определяется знаком и величиной параметров и . Эти параметры могут быть положительными (, ), равными нулю (, ) или отрицательными (, ).

Из рис. 5 в первой части статьи следует, что скольжение аксоидов имеет место только в случаях, когда векторы вращений и не располагаются в общей плоскости. Векторы вращений и для зубчатых пар как с параллельными, так и с пересекающимися осями располагаются в общей плоскости по определению. Поэтому в зубчатых передачах с параллельными и с пересекающимися осями скольжение аксоидов не наблюдается. Скольжение аксоидов не только возможно, но оно и неизбежно имеет место только для зубчатых пар с перекрещивающимися осями.

Скольжение аксоидов является вредным для зубчатых пар. Поэтому следует стремиться уменьшать его всеми доступными средствами. Вместе с тем, скольжение аксоидов полезно при работе зубообрабатывающих инструментов. В этом случае скольжение аксоидов полезно увеличивать всеми доступными средствами.

Полезные кинематические и геометрические соотношения

Применение векторных диаграмм позволяет вывести формулы, удобные для расчёта ряда кинематических и геометрических параметров зубчатой пары.

Для расчёта удалений и оси мгновенного вращения от осей вращения зубчатого колеса и шестерни можно поступить следующим образом.

Спроецируем векторы вращений , и на некоторую плоскость, перпендикулярную отрезку прямой (см. рис. 1, a). Здесь же показаны составляющие и вектора вращения зубчатого колеса и составляющие и вектора вращения шестерни . Составляющие и расположены в общей плоскости, содержащей отрезок прямой . Из условия чистого вращения в зубчатой паре справедливо соотношение

.

(15)

Радиус горловины аксоида шестерни можно выразить через радиус горловины аксоида колеса и межосевое расстояние , т.е. как . Это позволяет представить соотношение (15) в виде

.

(16)

.

(17)

.

(18)

Абсолютная величина вектора мгновенного вращения может быть рассчитана по формуле

.

(19)

.

(20)

.

(21)

Если в уравнение (21) подставить значение , то получим формулу

.

(22)

Рассмотрены зубчатые пары общего вида, оси вращений в которых перекрещиваются. Для изучения свойств зубчатых пар предложено использовать векторные диаграммы. Приведены примеры векторных диаграмм для зубчатых пар (a) внешнего зацепления, (b) внутреннего зацепления и (c) пространственных зубчатых пар реечного типа. Выведен ряд вспомогательных зависимостей, удобных для расчётов параметров зубчатых пар. Применение векторных диаграмм позволяет избежать необходимости применения аксоидов, построение которых в случае пространственного зацепления сопряжено с большими неудобствами.

Путем наращивания одна на другую векторных диаграмм зубчатых пар может быть составлена векторная диаграмма многоступенчатой зубчатой передачи, состоящей из двух и более зубчатых пар, или зубчатой передачи с разделенным потоком мощности. Такая результирующая векторная диаграмма является удобным инструментом для (a) анализа и оптимизации, или (b) для анализа и синтеза наивыгоднейших (в некотором смысле) схем реальных зубчатых передач.

Показано, что векторные диаграммы зубчатых пар могут быть разработаны и для случая некруглых зубчатых колес. Для зубчатых пар с некруглыми колёсами могут быть построены (a) либо, так называемые, мгновенные векторные диаграммы, (b) либо векторные диаграммы с переменными во времени параметрами , , и .