С. В. Сухинин., К. Т. Искаков., А. К. Кудайкулов Собственные колебания около пластины в неоднородных каналалах

С.В. Сухинин., К. Т. Искаков., А.К. Кудайкулов

Собственные колебания около пластины в неоднородных каналалах

Точная математическая формулировка задачи о собственных акустических колебаниях газа около пластины в канале впервые появилась в работах [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶, ⁷, ⁸]. В них содержится полное теоретическое обоснование математической модели, описывающей акустические и электромагнитные собственные колебания около произвольной решетки препятствий, и теоретическое доказательство существования собственных частот колебаний в рамках предложенной модели.

Впервые экспериментальные и численные исследования собственных колебаний около симметричной решетки пластин в прямоугольном канале были описаны в [1,2]. Численные исследования были проведены при помощи метода конечных разностей для симметричных решеток пластин и не являлись полными — отсутствовала точная теоретическая постановка задачи. Точная математическая формулировка задачи впервые появилась в работах [3-7]. В [8] Исследованы собственные акустические колебания газа около пластины в прямоугольном канале в двумерной постановке: зависимость собственной частоты колебаний от хорды и положения пластины в канале, изучен вид собственных функций. Предложена и обоснована математическая модель собственных колебаний около пластины в канале, на основе которой проведены численные исследования зависимости собственных частот колебаний от геометрических параметров.
Уравнения, описывающие акустические колебания. Рассматривается математическое моделирование аэроакустических резонансных явлений около профиля в неоднородном канале. На рис.1 представлена геометрия области акустических колебаний, разбитая на подобласти 1 - 4. Потенциал акустического возмущения скорости имеет вид: . В силу этого, уравнение для потенциала акустического возмущения скорости , имеет вид:

в , (1)

где  - область, занятая газом. Безразмерные частота  и переменные имеют вид , где - скорость звука, - высота канала в области 4, - круговая частота акустических колебаний.

Рисунок 1. Геометрия области акустических колебаний. 1-4 подобласти области колебаний. B - стенка канала. G – профиль. L – длинна профиля. h1 – расстояние от пластины до границы канала в области 1. h2 и h3 – разница между верхними границами канала областей 2, 1 и 4, 2 соответственно.

На стенках канала и на профиле пластины должны выполняться условия непротекания:

на . (2)

Так как функция Грина задачи (1), (2) не единственна [5-7], то необходимо, основываясь на физическом содержании задачи, ввести дополнительные условия, при которых решение будет единственным хотя бы для некоторых частот колебаний.

где имеет смысл энергии колебаний. Общее решение уравнения (1), описывающего установившиеся колебания в канале без профиля (свободном канале), представим как суперпозицию нормальных волн плоского волновода с характерным размером , т.е. поле будет иметь вид:

Отметим, что для каждого фиксированного числа при в решении представлены две моды, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси . Для значений в решении представлены возрастающая или затухающая по пространству моды, если или соответственно. Во всех случаях выбирается одна фиксированная ветвь квадратного корня.

Предполагается, что для выбрана ветвь квадратного корня такая, что . и — комплексные числа такие, что ряды сходятся. Если функция удовлетворяет условию излучения, тогда она затухает либо возрастает, как экспонента при удалении от начала координат.

Постановка задачи собственных колебаний (СК). Нужно найти функцию , которая должна удовлетворять системе соотношений:

Условия должны быть выполнены для некоторого числа .

Это условие будет выполнено для всех значений тогда и только тогда, когда для всех значений справедливо тождество

Пусть для областей 1-4 собственные функции приближенно представлены в виде:

Для того чтобы данные функции были решением задачи СКО, на границах областей 1-4 должны быть выполнены условия непрерывности решения и его нормальной производной, обычно эти условия называются условиями склейки:

Так же должны быть выполнены условия конечности энергии на кромках профиля:

Выражая , получаем систему уравнений вида . Для того чтобы система имела нетривиальные решения надо .

Зависимость собственных чисел от геометрии области и вид собственных функций. Для простоты дальнейшего изложения зафиксируем ширину канала в области 4 равной 1 (2(h1+h2+h3)=1), а длину пластины L=2, если не оговорено иное.

Зафиксируем ширину канала в 2,3,4 подобластях, а ширину канала в области 1 будем сужать на 2x , т.е. h1=0.5-x, h2=x, h3=0 (Рис. 2.2.). Тогда на Рис. 2.1. представлена зависимость собственных частот от x. При сужении канала в области 1 собственные числа увеличиваются. Численные исследования так же были проведены для случая длинных пластин, что позволяет упростить вычисления условием излучения на границах 12, 24. Было получено подтверждение зависимости собственных чисел от геометрии области 1. Необходимо отметить, что при х=0 получается случай рассмотренный в [8].

При помощи метода принудительного учета конечности энергии произведены расчеты зависимости амплитуды колебаний от координат (x,y), для первой моды собственных колебаний, рис. 2.3. Профиль находится посередине канала – собственная функция антисимметрична относительно профиля (колебания сверху и снизу профиля находятся в противофазе). На рис. 2.4. показана интенсивность колебаний около профиля для первых двух мод.

Зафиксируем ширину канала в областях 1,4, а в областях 2 3 будем сужать канал на x, т.е. h1=0.45, h2=0.05-x, h3=x (Рис. 3.2.). На Рис. 3.1. представлен график зависимости собственных колебаний от ширины областей 2,3, показано, что собственные числа уменьшаются при сужении областей 2,3. Так же получено подтверждение для больших пластин. На рис. 3.3. и рис .3.4. показаны зависимость амплитуды колебаний от координат (x,y), для первой моды собственных колебаний, и интенсивность колебаний около профиля для первых двух мод соответственно.


Далее исследована зависимость собственных чисел при расширении подобласти 1. Зафиксируем области 2,3,4, а границы канала в области 1 увеличиваем на x. (Рис. .4.2.). Численные исследования показали, что при расширении левой части канала собственные значения уменьшаются. Аналогично на рис. 4.3 и рис .4.4. приведены зависимость амплитуды колебаний от координат и интенсивность колебаний.

Фиксируем ширину канала во всей области . Меняем только длину пластины и соответственно длину областей 2 и 3. На рис. 5.1. приведены данные численных исследований зависимости собственных чисел от длинны профиля L.

1. При помощи методов работы [4] проведены исследования собственных колебаний около пластины в неоднородном канале.

2. Исследованы вопросы существования собственных колебаний в неоднородных каналах, содержащих тонкое препятствие.

3. Проведены численные исследования собственных колебаний в неоднородном канале данного вида:

а) показано, что собственные числа уменьшаются, при увеличении длинны пластины;

б) показано, увеличение собственных чисел колебаний при сужении левой части канала, уменьшение собственных чисел при сужении средней части канала и расширении левой.

в) найден вид собственных функций.

1. 
   Parker R. Resonance effects in wake shedding from parallel plates, some experimental observations // J. Sound Vib. 1966. V. 4, N 1. P. 62-72.
   
2. 
   Parker R. Resonance effects in wake shedding from parallel plates: calculation of resonant frequencies // J. Sound Vib. 1967. V. 5, N 1. P. 330.
   
3. 
   Курзин В. Б. О собственных колебаниях газа, обтекающего решетку пластин // ПМТФ. 1969. No. 5. С. 68-75.
   
4. 
   Курзин В. Б. О затухающих собственных колебаниях газа, обтекающего решетку пластин // Изв. Акад. наук СССР. МЖГ. 1970. No. 5. С. 84-88.
   
5. 
   Сухинин С. В. Об акустических и электромагнитных колебаниях около периодической решетки // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 51. С. 159-168.
   
6. 
   Сухинин С. В. Эффект волновода // Тез. докл. VI Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике, Ташкент, 1986. 1986.
   
7. 
   Сухинин С. В. Эффект волновода // ПМТФ. 1989. No. 2, С. 92- 102.
   
8. 
   Сухинин С. В. Собственные колебания около пластины в канале // ПМТФ, 1998. Т. 39, №2. С. 78-90.
   

Кеңейтілген және тартылған сатылы бір текті емес тікбұрышты каналдың пластина манындағы меншікті акустикалық газ тербелісі зерттелген. Каналдар мен пластиналардың геометриялық параметрлеріне тәуелді газдың меншікті тербеліс жиілігінің сандық-аналитикалық зерттеулері келтірілген және меншікті функциялар түрлері қарастырылған.

In this work the free acoustic oscillations of gas in the neighborhood of plate in non-homogeneous rectangular channel with step shrinking and broadening is considered. The numerical and analytical research of eigen-frequencies of gas oscilations subject to geometrical parameters of plate and channel is conducted. The form of eigen-functions is studied.