Схема полного исследования функции

1. 
   Найти область определения функции.
   
2. 
   Исследовать четность и периодичность функции.
   
3. 
   Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
   
4. 
   Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
   
5. 
   Найти точки пересечения графика с осями координат.
   
6. 
   Найти . Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.
   
7. 
   Найти . Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.
   
8. 
   Построить график функции.
   

1) Область определения функции ℝ.

2) Область определения функции симметрична относительно начала координат и

.

Следовательно, функция четная, и ее график симметричен относительно оси .

3) Функция имеет две точки разрыва: и . Определим тип разрывов:



,



.

Итак, точка является точкой разрыва II рода, прямая – вертикальная асимптота графика функции.

Учитывая симметрию графика функции относительно оси , для точки получаем:

и .

Следовательно, точка тоже является точкой разрыва II рода, прямая – вертикальная асимптота графика функции.

4) Функция определена при сколь угодно больших . Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При имеем:

,

.

Следовательно, прямая (т.е. прямая ) является наклонной асимптотой правой части графика функции. Та же прямая будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции (так как график функции симметричен относительно оси ).

5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью :

⇒ , ⇒ ,

⇒

Пересечение с осью :

⇒

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат .

6) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

,

⇒ а) при ; б) при .

Таким образом, критической точкой первого рода является только точка .

Критическая точка и точки разрыва разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах и , функция убывает на интервалах и . Точка – точка максимума. Максимум функции:

7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

⇒ а) при ; б) при .

Таким образом, критических точек второго рода функция не имеет. Значит, график функции не имеет точек перегиба.

Точки разрыва разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервалах и .

8) На основании проведенного исследования строим следующий график:

ПРИМЕР 2. Провести полное исследование и построить график функции .

1) Область определения функции ℝ.

2) Область определения функции симметрична относительно начала координат, но

,

⇒ и .

Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси или начала координат.

3) Функция не имеет точек разрыва. Следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот.

4) Функция определена при сколь угодно больших . Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При имеем:

,



.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой правой части графика функции. Та же прямая будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции, так как при вычислении и мы будем в точности повторять все действия, выполненные при вычислении и .

5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью :

⇒ , ⇒ ,

⇒ или .

Пересечение с осью :

⇒ .

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат и пересекает ось еще и в точке .

6) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

,

⇒ а) при ; б) при и .

Таким образом, критическими точками первого рода являются точки , , .

Критические точки разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах и , функция убывает на интервале . Точка – точка максимума, точка – точка минимума. Максимум функции и минимум функции:

7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

⇒ а) при ; б) при и .

Таким образом, критическими точками второго рода являются точки , .

Критические точки разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале . Точка – точка перегиба графика функции.

8) На основании проведенного исследования строим следующий график:

ПРИМЕР 3. Провести полное исследование и построить график функции .

1) Область определения функции .

2) Область определения функции не симметрична относительно начала координат. Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси или начала координат.

3) Функция имеет две точки разрыва: и . Определим тип разрывов:



,

.

Итак, точка является точкой разрыва II рода, прямая – вертикальная асимптота графика функции. Точка является точкой разрыва первого рода.

4) Функция определена при сколь угодно больших положительных . Следовательно, возможно существование наклонной асимптоты для правой части графика. Имеем:

,

.

Следовательно, прямая (т.е. прямая ) является наклонной асимптотой правой части графика функции.

5) График функции не пересекает оси координат, так как (⇒ не пересечения с осью ) и (⇒ нет пересечения с осью ).

6) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

⇒ а) при ;

б) при и при .

Таким образом, критических точек первого рода функция не имеет. Значит, функции не имеет экстремумов.

Точка разрыва разбивают область определения функции на две части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция убывает на интервалах и .

7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

⇒ а) при ;

б) при и при .

Таким образом, критической точкой второго рода является точка .

Критическая точка и точка разрыва разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервалах и . Точка – точка перегиба.

8) На основании проведенного исследования строим следующий график: