Учебно-методическое пособие по курсу Введение в механику сплошных сред Москва мфти 2013 Рецензент

Ширко И.В.

Шишко А.Н.

Извеков О.Я.

Учебно-методическое пособие по курсу

Введение в механику сплошных сред

Москва

2013

Рецензент:

Кандидат технических наук Быков А.А.
Определение механических характеристик сыпучей среды:
уч.-методическое пособие по курсу Введение в механику сплошных сред / Ширко Игорь Владимирович, Шишко Антон Николаевич, Извеков Олег Ярославович.–М.: МФТИ, 2013. − 23 с.
В учебно-методическом пособии представлено описание лабораторной работы, входящей в практикум в рамках курса «Введение в механику сплошных сред». Изложены элементы статики сыпучей среды и методы определения ее механических свойств. Настоящее пособие рассчитано на студентов II курса ФАКИ, обучающихся по направлению 010900 «Прикладные математика и физика».

© Федеральное государственное автономное

ВВЕДЕНИЕ

С точки зрения механики сплошной среды грунты, как и другие материалы, проявляют свойства упругости, пластичности, ползучести, в грунтах могут образовываться трещины. Наличие жидкости в порах грунта приводит к дополнительным эффектам, таким как фильтрация (дренирование) – медленное движение жидкости относительно твердых частиц под действием градиента давления, растрескивание грунта при осушке, капиллярная пропитка и т.д.

В пособии предлагается изучить частный случай грунта – сухую идеально сыпучую среду, которая моделируется упаковкой стеклянных шариков приблизительно одного размера. Такой материал не выдерживает никаких растягивающих напряжений, а в сжатом состоянии его поведение может быть описано моделью пластичности с внутренним трением. В начале пособия вводится понятие тензора напряжений, обсуждается графическая интерпретация напряженного состояния в сплошной среде – круги Мора, формулируется закон внутреннего трения Кулона. Далее обсуждаются экспериментальные методы изучения механических свойств грунтов, формулируется задание к выполнению лабораторной работы, предлагаются вопросы для самоконтроля.

Основные положения теории напряжений

Напряжения в сплошной среде

где –нормальные, а –касательные напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных к координатным осям , , .

Вектор напряжения на произвольно ориентированной площадке с единичной нормалью (рис.1) определяется формулами Коши:

(2)

где   составляющие единичного вектора нормали , равные соответствующим направляющим косинусам.

Для компонентов тензора напряжений принято следующее правило знаков: нормальные напряжения считаются положительными, если они растягивающие, и отрицательными, если они сжимающие. Проектируя компоненты вектора на направление нормали, получаем нормальное напряжение , действующее на рассматриваемой площадке:

. (3)

Величина касательного напряжения равна

. (4)

Рис. 1
Использование тензорных обозначений упрощает изложение и делает его более ясным. Декартовы координаты , , будем обозначать через и записывать, как , где индекс принимает значения 1, 2, 3. Через обозначим составляющие единичного вектора нормали к площадке. Очевидно, что равны направляющим косинусам нормали: .

Компоненты тензора напряжения можно теперь обозначить через . Вследствие закона парности касательных напряжений . Связь между тензорными обозначениями и использованными выше «техническими» обозначениям очевидна: , и т.д. Условимся далее говорить о тензоре напряжения как о тензоре .

Формулы Коши (2) можно теперь представить в форме

Согласно правилу суммирования, введенному А. Эйнштейном, опустим знак суммы, учитывая, что по всякому дважды повторяющемуся в одночлене латинскому индексу проводится суммирование. Тогда формулы (2) запишутся в виде

Повторяющийся индекс называется индексом суммирования. В каждом одночлене один и тот же индекс не должен встречаться более двух раз.

Легко видеть, что нормальное напряжение (3) равно

, (6)
здесь проводится двойное суммирование по индексам , . Среднее давление равно

.

Символ Кронекера (дельта-символ) определяется соотношениями

Круги Мора

Проекции вектора напряжения на элементарной площадке, перпендикулярной новой оси , на старые оси вычисляются по формулам (5), в которых надо положить , что дает

Чтобы получить компоненты тензора напряжений, действующие на этой же элементарной площадке, в новой системе координат следует составляющие спроектировать на новые оси . Откуда окончательно получим

В соответствие с принятым в тензорном исчислении определении тензорных величин формула преобразования вида (9) является определением тензора второго ранга и доказывает, что тензор напряжений является тензором второго ранга.

Допустим теперь, что при заданном тензоре напряжений в точке существует такая площадка, на которой действует вектор напряжений , направленный по нормали к ней, т.е. , где –пока неизвестный скалярный множитель. Направляющие косинусы можно получить с помощью системы уравнений, положив в последних , получим . Учитывая, что , получим систему трех уравнений
(j = 1,2,3) относительно трех неизвестных направляющих косинусов:

. (10)

Поскольку в системе уравнений (10) уравнения однородны относительно искомых , то они имеют нетривиальное решение только в случае, если ее определитель . Откуда следует кубическое уравнение

В силу симметрии тензора напряжений оно имеет три действительных корня, которые будем обозначать , , и называть главными нормальными напряжениями и нумеровать так, что

Площадки, по которым они действуют, называются главными и образуют главную систему координат, а нормали к ним образуют систему главных осей.

Наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку, дает диаграмма Мора. Пусть в этой точке направления координатных осей совпадают с главными направлениями. Тогда согласно формулам (3) и (4) имеем

,

,
причем

. (13)

Из этой системы уравнений находим квадраты направляющих косинусов:



Так как , а левые части этих равенств неотрицательны, то должно быть:



т.е. напряжения , лежат внутри области, ограниченной полуокружностями и заштрихованной на рис. 2. Точкам какой-либо окружности отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Рис. 2

Критерий Кулона

Сопротивление сдвигу по данной площадке сыпучей среды, определяющее ее прочностные свойства, следуя Кулону, может быть представлено линейной зависимостью, связывающей нормальную и касательную компоненты напряжения:

и называется критерием Кулона.

Рис. 3
Это сопротивление складывается из сопротивления от внутреннего трения и из сопротивления от сцепления.

Постоянные и называются углом внутреннего трения и коэффициентом сцепления. Эти два параметра характеризуют полное сопротивление сыпучей среды сдвигу. Напряженное состояние, удовлетворяющее критерию (16), называется предельным или пластическим.

Наряду с вектором действительного напряжения на площадке с нормалью иногда удобно рассматривать так называемый вектор приведенного напряжения, имеющий нормальную и касательную компоненты (рис.3). Вводя коэффициент , критерий (16) записывается в виде

Рис. 4
Предельное состояние сыпучей среды (17) может быть наглядно представлено на плоскости переменных и при помощи диаграммы Мора. Оно изображается на этой диаграмме в виде прямой, которая служит огибающей всех больших главных полуокружностей напряжения и носит название предельной прямой (рис.4). Эта прямая для идеально-сыпучей среды, когда , проходит через начало координат, а для идеально связанной среды, когда , параллельна оси абсцисс.

Методы испытания грунтов и описание экспериментальных установок

Испытания грунтов при определении их прочности проводится в лабораторных условиях в приборах различной конструкции: прямого (одноплоскостного) среза, чистого сдвига, трехосного сжатия и т.д.

Срезная коробка

Схема нагружения образцов грунта в приборах прямого среза показана на рис.5.

  

Рис. 5
В условиях прямого среза образец грунта подвергается действию постепенно возрастающих касательных напряжений при постоянном нормальном напряжении .

В результате непосредственно получается зависимость , которая затем аппроксимируется прямой линией (рис.6).

Рис. 6

Стабиллометр (установка трехосного осесимметричного сжатия)

Испытания методом трехосного сжатия цилиндрических образцов грунта проводятся в условиях осесимметричной деформации в рабочей камере, схема которой показана на рис.7 (конструкция рабочей камеры слева и схема нагружения образца грунта справа).

Рис. 7
Обозначения на рисунке следующие: 1–образец, 2–жидкость, 3–резиновая оболочка, 4–подача давления в рабочую камеру, 5–дренаж нижний, 6–дренаж верхний, 7–соединительная трубка, 8–прозрачная оболочка камеры, 9–поршень, 10–крышка рабочей камеры, 11–верхний штамп, 12–фильтры.

Из рис.2 следует, что в случае криволинейный треугольник допустимых значений вырождается в дугу окружности радиуса . Поэтому для определения предельной кривой необходимо построение нескольких кругов Мора (рис.8). Значения нормальных напряжений даны по модулю.

Рис. 8
На рис.9 представлен внешний вид установки трехосного сжатия производства ООО «НПП «Геотек», используемой в работе.

Рис. 9

Выполнение лабораторной работы

В качестве модельного грунта в данной работе используется стеклобисер с шарообразными частицами диаметром 1.00 ± 0.05 мм.

Определение характеристик сыпучей среды
с использованием срезной коробки

Подготовка к работе

1. 
   Установить краны «Сброс нагрузки» и «Сброс вертикальной нагрузки» в положение «ОТКР». Ослабить гайки, закрепляющие крышку, и снять её. Извлечь верхний перфорированный вкладыш. Проверить соосность срезных колец и удалить зазор между большим и малым срезными кольцами.
   
2. 
   Засыпать образец испытуемого грунта в камеру. Так как установка предназначена для связанных сред (грунтов), мы используем плёнку для удобства работы с сыпучей средой. Закрыть камеру крышкой срезной коробки, закрутить фиксирующие гайки.
   
3. 
   Зафиксировать балку в горизонтальном положении, закрутив сначала нижние, а затем верхние гайки. Выкручивая винт датчика силы, довести его до лёгкого касания с шариком на штоке поршня.
   
4. 
   Установить в нижний кронштейн датчик линейных перемещений. Установить краны «Сброс нагрузки» и «Сброс вертикальной нагрузки» в положение «ЗАКР».
   

Установка готова к работе.
Выполнение работы

1. 
   Запустить программу АСИС. При запуске выбрать конфигурацию: «МФТИ установка универсальная для вузов». Выбрать «Устройство силового нагружения» из списка испытательных устройств окна «Устройства» главного окна приложения. На панели инструментов выбрать из списка «Тип испытания»: Одноплоскостной срез (с постоянной вертикальной нагрузкой).
   
2. 
   Запустить помощник подготовки к испытанию. Настроить датчики устройств.
   
3. 
   В строке «название строительной площадки» указать номер учебной группы, в строке «номер образца» указать номер эксперимента. Остальные поля оставить по умолчанию.
   
4. 
   Ввести дополнительные параметры устройства в окне «схема нагружения»:
   

5. 
   Установить в поле «нормальное давление» 100 кПа и выбрать непрерывное нагружение, в поле «предельная деформация» установить 15%. Установка готова к проведению опытов.
   
6. 
   Запустить испытание. Hа образец грунта передаётся в одну ступень нормальное давление, при котором будет производиться срез. После приводится в действие механизм для создания касательной нагрузки и производится срез образца грунта. Критерием окончания испытания служит достижение предельной деформации среза. По завершению испытания фиксируется максимальная касательная нагрузка, созданная в процессе испытания, и производится разгрузка прибора.
   
7. 
   После проведения опыта установить краны «Сброс нагрузки» и «Сброс вертикальной нагрузки» в положение «ОТКР» и извлечь исследуемый образец с помощью плёнки.
   
8. 
   Снять максимальное давление сдвига.
   
9. 
   Запустить программу АСИС РЕПОРТ и перейти к данным об образце по строительной площадке и номеру испытания и скопировать зависимость давления сдвига от времени в Excel.
   
10. 
    Повторить пункты 1–9, предварительно каждый раз заново подготавливая срезную коробку к работе, 5 раз для нормальных давлений из диапазона 100–250 кПа.
    

Определение характеристик сыпучей среды
с использованием установки трёхосного сжатия

Подготовка к работе
Подготовьте образец и установку согласно Приложению 1.
Выполение работы

1. 
   Запустите программу АСИС. При запуске выбрать конфигурацию: «МФТИ АСИС 1 № 0040». Из списка испытательных устройств окна «Устройства» выбрать «Установка трехосного сжатия».
   
2. 
   На панели инструментов выбрать из списка «Тип испытания» «Метод трёхосного сжатия (тип А) + панель управления давлением».
   
3. 
   Провести подготовку к испытанию с помощью «Помощника подготовки к испытанию»: а) установить допустимые значения для датчиков перемещения (все датчики кроме датчика вертикальной нагрузки); б) в строке «название строительной площадки» записать номер группы и любое число в строке «номер образца», остальные поля оставить по умолчанию.
   
4. 
   Испытания проводятся в полуавтоматическом режиме. Окно просмотра испытаний показано ниже.
   
5. 
   Установите с помощью Приложения 1 значение бокового давления 100 кПа.
   

6. 
   В окне «Устройство» отображаются показания датчиков. Открыть вкладку «Всестороннее обжатие» и установить 5 секунд в поле «Время», нажать кнопку «Начать уплотнение». После этого перейти к стадии вертикального нагружения.
   

7. 
   Во вкладке «Вертикальное нагружение» выбрать непрерывное нагружение. Установить 15% в поле «Предельная относительная вертикальная деформация». Установить скорость деформации 4 мм/мин.
   

8. 
   Запустить испытание, нажав на кнопку «начать вертикальное нагружение». Показания датчиков будут отображаться в окне, также в том же окне отображаются графики зависимости нагрузки и перемещения от времени.
   
9. 
   После окончания опыта записать максимальное значение «боковое давление» и «девиатор».
   
10. 
    Провести 3 опыта по пунктам 1–9 для значений бокового давления 200 кПа, 250 кПа, 300 кПа (для каждого измерения следует сливать воду из камеры, разбирать камеру, поправлять образец и снова собирать и заполнять камеру).
    
11. 
    Привести рабочее место к исходному состоянию согласно Приложению 1.
    
12. 
    Запустить АСИС-Репорт. В нужной строительной площадке найти испытанный образец и скопировать таблицу данных по зависимости от времени вертикальной и боковой нагрузке в файл Excel.
    

Обработка результатов измерений

1. 
   По данным, полученным в методе трехосного нагружения, построить диаграммы Кулона–Мора. По данным, полученным на установке одноплоскостного среза, построить зависимость напряжения сдвига от вертикального давления.
   
2. 
   По диаграммам получить угол внутреннего трения и коэффициент сцепления.
   
3. 
   Сравнить характеристики, полученные двумя методами.
   
4. 
   Оценить погрешность для каждого из методов.
   

Контрольные вопросы

1. 
   Какая среда называется «идеально сыпучей» и «идеально связанной»?
   
2. 
   Объяснить построение диаграммы Кулона–Мора.
   
3. 
   Описать принципиальную схему и работу установок.
   
4. 
   Где можно применить данные, получаемые на данных установках?
   

Литература

1. 
   Ширко И.В. Механика обобщенно-пластических сред. – М.: МФТИ, 2007. – 150 с.
   
2. 
   Геогджаев В.О., Извеков О.Я. Понятие тензора: учебно-методическое пособие по курсу Введение в механику сплошных сред. – М.: МФТИ, 2013. – 32 с.
   
3. 
   Соколовский В.В. Статика сыпучей среды – М.: Физматгиз, 1960. – 243 с.
   
4. 
   Долматов Б.И. и др. Механика грунтов. – М.: АСВ, 2000. – 201 с.
   
5. 
   Болдырев Г.Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние вопроса: монография. – Пенза: ПГУАС, 2008. – 696 с.
   

Приложение 1. Установка трёхосного сжатия

Рис. 1 Схема панели управления давлением

Подготовка к работе на установке трехосного сжатия

Отключить срезную коробку от пневмосети и подключить установки трёхосного сжатия. Отключить кабель 1, соединяющий компьютер и «блок управления 1», и подключить к такому же разъёму на «блоке управления 2».

Подготовка образца

На нижний и верхний перфорированные вкладыши положить фильтровальную бумагу. Резиновую оболочку одним концом надеть на штамп в основании камеры трехосного сжатия. Для обеспечения герметичности резиновую оболочку прижать резиновым кольцом, поместив его в проточки на штампе. Поставить поверх штампа пазами вверх разъемную форму из двух полуобойм.

Поверх разъемной формы надеть резиновое крепящее кольцо. Свободный конец резиновой оболочки расправить поверх разъемной формы.

Трубку, идущую от разъемной обоймы, вставить в штуцер 42, открыть кран дренажа 43 (при этом кран подачи давления 15 должен быть закрыт), открыть кран «Вакуум» 13, открыть кран подачи давления на регулятор вакуума 38. Прижать разъемную форму к нижнему резиновому кольцу на нижнем штампе и вращая регулятор вакуума 36, создать такое разряжение, чтобы резиновая оболочка прижалась к разъемной обойме.

Засыпать грунт в разъемную обойму с резиновой оболочкой. На образец грунта установить верхний штамп. Резиновую оболочку надеть на верхний штамп и для обеспечения герметичности резиновую оболочку прижать резиновым кольцом, переместив его с формы в нижнюю проточку на штампе. Вращая регулятор вакуума 36, сбросить вакуум в ноль. Трубку, идущую от разъемной обоймы, вынуть из штуцера.

Закрыть краны 13,38 и 43.

Соединить трубкой штуцер «Дренаж внизу» со штуцером «Дренаж вверху». Штуцер «Боковое Давление» для подачи давления в камеру соединить трубкой со штуцером «Рабочая камера».

Сборка камеры

Соединить штуцеры для дренажа образца на верхнем штампе и рядом с нижним штампом спиралевидной трубкой. Трубка обязательно должна быть надежно закреплена в штуцерах. Поставить прозрачный цилиндр на основание рабочей камеры и прокрутить его для более плотного контакта с основанием. Аккуратно, не сжимая подготовленный образец, установить на прозрачный цилиндр верхнюю платформу камеры трехосного сжатия так, чтобы основание поршня попало в паз на верхнем штампе. Вставить выдвижные болты в пазы на основании платформы и зафиксировать их гайками, при этом фиксирование болтов следует проводить одновременно для избегания перекоса образца.

На верхней платформе камеры в держатель вставить датчик перемещения и зафиксировать его винтом.
Заполнение камеры водой

Залить рабочую жидкость в ёмкость для жидкости 25 до риски, нанесённой на лицевой панели изделия. Соединить ёмкость для жидкости со штуцером 27 «ВАКУУМ» и провести деаэрацию жидкости в течение 5 минут (удаление воздуха, растворенного в воде). Для этого открыть краны 34, 38 и вращением регулятора 36 запустить откачку воздуха из ёмкости для жидкости. После этого закрыть краны 34 и 38, вернуть регулятор 36 в нулевое положение и вынуть соединительную трубку из штуцера 27.

Подсоединить рабочую камеру к штуцеру 40 и открутить винт на крышке рабочей камеры. Открыть кран 21, затем пустить воду в бюретку 12, открыв кран 35. Когда бюретка заполниться до 40 делений, открыть кран 41. Камера начнет заполняться водой. Опустить трубку с верхней крышки камеры в стакан. Когда из трубки польётся вода, закрыть винт на крышке рабочей камеры и кран 35 одновременно.

Установить собранную камеру в нагрузочное устройство. Опустить поперечную балку, перемещая вначале нижние гайки, а потом верхние, до касания датчиком силы рабочей камеры.

Установка готова к проведению эксперимента.
Установка значений бокового давления

Открыть краны 38, 33. Установить боковое давление с помощью регуляторов 38 и 23 (камера должна быть заполнена). Закрыть краны 33,38 и вернуть регулятор вакуума 36 в нулевое положение.

Действия по завершению работы

Вставить в штуцер 27 и трубку 24, открыть краны 33,38 (кран 21 должен быть уже открыт) и с помощью регулятора вакуума 36 откачать воздух из ёмкости 26.

Соединить объем камеры с атмосферой, открутив винт на крышке рабочей камеры (иначе при откачке воды образец из-за перепада давления сильно деформируется, что может привести к порче резиновой оболочки). Открыть кран 35 для откачки воды из рабочей камеры. Когда в рабочей камере не останется жидкости, закрыть краны 21, 41, 35, 38 и установить в нулевое положение регулятор вакуума 36.

Разобрать рабочую камеру и извлечь рабочий материал. Протереть досуха рабочую камеру.

жүктеу/скачать 1.85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: