Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса 2010 – 2011 учебный год



Дата21.07.2016
өлшемі142 Kb.
Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

2010 – 2011 учебный год

  1. Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?




















































  1. В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

  2. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?

  3. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?

  4. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?

  5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть Eточка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса

2010 – 2011 учебный год

  1. Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?




















































  1. В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

  2. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?

  3. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?

  4. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?

  5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

Решения и ответы

  1. Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?




















































Ответ:













































































































  1. В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

Ответ: Так каждая надпись не соответсвует действительности, то в третьем ящике – вермишель, в первом – сахар, а во втором – крупа.

  1. Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?

Решение: По течению катер проплывает за день 1/3 часть пути, а против течения 1/5 часть. Следовательно, плоты проплывут за день (1/3 – 1/5) : 2 = 1/15 часть пути.

Ответ: 15 дней.

  1. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?

Решение: Пусть a – первоначальный вес Обломова, тогда его вес через год будет равен

a  0,75  1,2  0,9  1,2 = 0,972 a, что меньше чем a. Таким образом, Обломов похудел.

Ответ: Обломов похудел.

  1. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?

Решение: Вначале заметим, что 5 кг золота имеют тот же объем, что и 1 кг алмазов, но стоят дороже. Докажем, что:

1). Али-Баба может получить за сокровища 3000 динаров. Действительно в мешок входит 40кг алмазов. Если мы заменим 15кг алмазов на 75кг алмазов, то объем мешка останется прежним, а стоимость его будет равна 3000 динаров.

2). Докажем теперь, что 3000 динаров – это наибольшая сумма, которую можно выручить за сокровища. Если из мешка содержащего 25кг и 75кг золота убрать еще алмазов, то заменить их будет можно таким же количеством золота (чтобы не было превышения в весе) и общая стоимость уменьшится, так как алмазы стоят дороже. Если же убрать часть золота, то общая стоимость уменьшится, так как вес взятых вместо него алмазов будет в пять раз меньше (иначе – превышение по объему !). Например, если взять 5x кг золота и заменить их на x кг алмазов, то стоимость сокровищ уменьшится на 40x динаров. Ответ: 3000 динаров.


  1. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них говорит: «Мои соседи – лжец и рыцарь». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Решите задачу, если за столом – 9 человек.


Решение:

1). За столом сидит хотя бы один лжец. Действительно, если бы за столом сидели только рыцари, то высказывание каждого из рыцарей: «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» было бы ложным, что невозможно.

2). Соседями лжеца могут быть либо 2 лжеца, либо 2 рыцаря.

3). Если у лжеца оба соседа лжецы, то и дальше за столом сидят одни лжецы, иначе высказывание одного из лжецов «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» будет правдой, что невозможно. Таким образом, один из возможных ответов – все лжецы.

4). Если же соседями лжеца являются рыцари, то за каждым рыцарем должен сидеть еще рыцарь, затем лжец, затем снова два рыцаря , затем лжец и так далее. Если за столом 9 человек, то лжецов – 3 (рис. 1), если 8 человек, то получим противоречие (рис 2).

Примечание: р – рыцарь, л – лжец.



Ответ: 1). Если за столом 8 человек, то все лжецы. 2). Если за столом 9 человек, то лжецов либо 9, либо 3.







  1. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

Решение


Имеем, SADK = SALK, так как они имеют общее основание AK и равные высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми AB и DC. SADE = SADK – SAEK = SALK – SAEK = SKLE. Аналогично, SBCF = SKLF. Таким образом, сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.






Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет