Задания школьной олимпиады по математике для 9 класса 2010 – 2011 учебный год

1. 
   Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?
   

2. 
   В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
   
3. 
   Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?
   
4. 
   За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?
   
5. 
   Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?
   
6. 
   На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.
   

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. 
   Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?
   

2. 
   В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
   
3. 
   Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?
   
4. 
   За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?
   
5. 
   Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?
   
6. 
   На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.
   

1. 
   Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?
   

2. 
   В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом написано “крупа”, на втором “вермишель”, на третьем “крупа или сахар”. В каком ящике, что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
   

3. 
   Из города А в город В катер плывет 3 дня, а обратно – 5 дней. Сколько будут плыть плоты из А в В?
   

4. 
   За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился?
   

5. 
   Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото и алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?
   

1). Али-Баба может получить за сокровища 3000 динаров. Действительно в мешок входит 40кг алмазов. Если мы заменим 15кг алмазов на 75кг алмазов, то объем мешка останется прежним, а стоимость его будет равна 3000 динаров.

2). Докажем теперь, что 3000 динаров – это наибольшая сумма, которую можно выручить за сокровища. Если из мешка содержащего 25кг и 75кг золота убрать еще алмазов, то заменить их будет можно таким же количеством золота (чтобы не было превышения в весе) и общая стоимость уменьшится, так как алмазы стоят дороже. Если же убрать часть золота, то общая стоимость уменьшится, так как вес взятых вместо него алмазов будет в пять раз меньше (иначе – превышение по объему !). Например, если взять 5x кг золота и заменить их на x кг алмазов, то стоимость сокровищ уменьшится на 40x динаров. Ответ: 3000 динаров.

6. 
   За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый из них говорит: «Мои соседи – лжец и рыцарь». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Решите задачу, если за столом – 9 человек.
   

1). За столом сидит хотя бы один лжец. Действительно, если бы за столом сидели только рыцари, то высказывание каждого из рыцарей: «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» было бы ложным, что невозможно.

2). Соседями лжеца могут быть либо 2 лжеца, либо 2 рыцаря.

3). Если у лжеца оба соседа лжецы, то и дальше за столом сидят одни лжецы, иначе высказывание одного из лжецов «рядом со мной сидит рыцарь и лжец» будет правдой, что невозможно. Таким образом, один из возможных ответов – все лжецы.

4). Если же соседями лжеца являются рыцари, то за каждым рыцарем должен сидеть еще рыцарь, затем лжец, затем снова два рыцаря , затем лжец и так далее. Если за столом 9 человек, то лжецов – 3 (рис. 1), если 8 человек, то получим противоречие (рис 2).

Примечание: р – рыцарь, л – лжец.

7. 
   
   
   
   
   
   
   На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.
   

Имеем, SADK = SALK, так как они имеют общее основание AK и равные высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми AB и DC. SADE = SADK – SAEK = SALK – SAEK = SKLE. Аналогично, SBCF = SKLF. Таким образом, сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.