«Бином Ньютона»

Курьякова Татьяна Сергеевна

учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».
Тема: «Бином Ньютона»
План лекции 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.

2. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.

– 1 –

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

• 
  правая часть формулы – разложение бинома;
  
• 
  – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
  

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1. 
   перемножить почленно четыре скобки:
   

2. 
   вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
   

• 
  общий член разложения бинома n-й степени: ,
  

– 2 –

1. 
   
   
2. 
   Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно
   
3. 
   Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
   

Рассмотрим -й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b:

Ч.т.д.

4. 
   Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)
   
5. 
   Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
   

Пусть , тогда:

• 
  левая часть равна ;
  
• 
  правая часть равна
  

Ч.т.д.

6. 
   Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
   

6. 
   Правило Паскаля:
   

6. 
   Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби
   

Доказательство – самостоятельно

– 3 –

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

1. 
   Найти член (номер члена) разложения бинома
   
2. 
   Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
   
3. 
   Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома
   

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).

Разложить по формуле бином

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!

Найти шестой член разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего:


Пример 3

Найдите два средних члена разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).


Пример 4

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Решение

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то

Тогда

Ответ:

– 4 –

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли:

Доказательство

Пусть

Так как , то

Переформулируем требование: Доказать, что , где

Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:

Это означает, что

Ч.т.д.

Пример 6

Доказать, что

Доказательство – самостоятельно

(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)

Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9

Доказательство

1 способ:

Ч.т.д.

Начнем рассматривать бином в общем виде:

Тогда

Ч.т.д.

Пример 8

Решить уравнение

Решение

Осуществим замену:

Применим формулу бинома к левой части уравнения:

В итоге

Ответ:

 Дополнительные задания для самостоятельного выполнения

1. 
   Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.
   
2. 
   Найти пятый член разложения бинома .
   
3. 
   Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
   
4. 
   Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
   
5. 
   Сколько членов разложения бинома являются целыми числами?
   
6. 
   Вычислить сумму .
   
7. 
   Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома .
   
8. 
   Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
   
9. 
   При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых?
   
10. 
    При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
    
11. 
    В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?