Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии
интегральной геометрии с возмущением
жүктеу/скачать 477.38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство.
- 4. Единственность решения пространственной задачи
| интегральной геометрии с возмущением
Пусть в полосе двумерного пространства дано семейство дано двупараметрическое семейство кривых , такое же, что и в 2. Рассмотрим задачу интегральной геометрии, в которой из уравнения где - области ограниченные кривыми и осью , и - заданные функции. Неинвариантность весовой функции к сдвигу вдоль оси не позволяет применить метод исследования, использованный в 2. В дальнейшем функция функция предполагается финитной функцией с носителем , причем эта функция дважды непрерывно дифференцируема по , непрерывна по . Множество таких функций обозначим через . Заметим, что семейство кривых и весовая функция инвариантны к сдвигу вдоль оси . Теорема. Пусть функций , удовлетворяют условиям (1) из 2, весовые функций , непрерывно дифференцируемы, причем и Тогда решение уравнения (1) единственно в классе функций . Доказательство. Сводя криволинейный интеграл (1) к определенному интегралу, двойной интеграл – к повторному, имеем К обеим частям последнего уравнения применяем преобразование Фурье по , предварительно подставив во втором интеграле вместо выражение где - преобразование Фурье по от функции : После изменения порядка интенгрирования в кратных интегралах и перехода к новым переменным во внутреннем интеграле с помощью , , имеем где непрерывно дифференцируемые функции. Условия теоремы позволяют нам продифференцировать (2) по . Учитывая, что , и разделив обе части получаемого уравнения на получим интегральное уравнение где непрерывные функции. Временно полагая функцию известной, мы можем формально решить семейство интегральных уравнений Вольтерра второго рода с вещественным параметром : В самом деле где резольвента ядра . В (4) вместо подставим ее значение, тогда где Из теории интегральных уравнений известно, что для полосы с достаточно малой шириной , при условии решение уравнения (5) существует и единственно для любой непрерывной функции . Используя оценки можно убедиться в справедливости неравенства (6). Из единственности следует единственность , что и требовалось доказать. 4. Единственность решения пространственной задачи жүктеу/скачать 477.38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|