Элективный курс для предпрофильной подготовки девятиклассников «Машинная арифметика»

Целые числа

Давайте поразмышляем, какие числа мы поместили бы в один байт памяти компьютера? Рассмотрим все возможные варианты ответов.

От 1 до 256. Удобен ли этот диапазон? Даже если нам никогда не понадобятся отрицательные числа, то нулевое значение нам нужно будет всегда.

От 0 до 255. Да такой вариант существует. Например, тип byte в Паскале использует этот формат хранения данных. Это представление называется беззнаковым, и целые числа в памяти компьютера хранятся в явном виде.

Операция сложения беззнаковых чисел происходит по стандартному алгоритму двоичной арифметики.

Сложим двоичные числа 65 и 42.

Проведем компьютерный эксперимент. Если при компиляции программы у вас появляется ошибка Range check error, следовательно, компилятору дается директива отслеживать ошибочные ситуации. Чтобы убрать проверку, снимите опцию Options – Compiler… – Range checking.

a,b,c:byte;{Тип короткое целое без знака}

begin

a:=167;

c:=a+b;

end.

Помимо однобайтового представления беззнаковых чисел (byte) в языке программирования Паскаль поддерживается двухбайтовый тип Word.

Получаем 127 положительных значений, 127 отрицательных значений и нулевое значение, то есть 255 значений. Потерялось одно значение 10000000.

Если цифровая часть положительных и отрицательных чисел всегда содержит абсолютную величину числа, то такой способ представления знаковых чисел называют прямым кодом. Обработка чисел, представленных в прямом коде:

• 
  требует отдельных операций над цифровой и знаковой частями,
  
• 
  требует альтернативного выполнения операций сложения и вычитания,
  
• 
  приводит к появлению двух представлений нуля: +0 (00000000) и -0 (10000000).
  

С этой проблемой столкнулся еще Блез Паскаль в XVII веке при конструировании своей суммирующей машины. При реализации идеи автоматического переноса десятков Паскаля остановила определенная трудность: изобретенный им механизм переноса десятков работал при вращении счетных колес только в одном направлении, а это не позволяло производить вычитание вращением колес в противоположную сторону. Простой и остроумный выход из этого положения, найденный Паскалем, был настолько удачен, что используется в современных ЭВМ. Паскаль заменил вычитание сложением с дополнением вычитаемого.

Для 8-разрядной машины Паскаля, работавшей в десятичной системе счисления, дополнением числа А будет (100.000.000-А), поэтому операция вычитания В-А может быть заменено сложением В+(100.000.000-А)=100.000.000+(В-А). Получившееся число будет больше искомой разности на 100.000.000, но так как машина 8-разрядная, то единица в девятом разряде просто пропадает при переносе десятков из восьмого.

В компьютере происходит все то же, только в двоичной системе счисления.

Дополнением k-разрядного целого числа Z в двоичной системе счисления называется величина D(Z, k) = 2^k – Z (1).

Данную формулу можно представить в ином виде: D(Z, k) = ((2^k-1)-Z)+1. Число 2^k-1, состоит из k наибольших в данной системе счисления цифр (в нашем случае одного байта – 11111111). Поэтому (2^k-1)-Z можно получить путем дополнения до 1 каждой цифры числа Z и последующим прибавлением к последнему разряду 1.

Так как в двоичной системе счисления дополнением 1 является 0, а дополнением 0 является 1, построение D(Z, k) сводится к инверсии данного числа, т.е. замена нулей единицами и единиц нулями, и прибавлением 1 к последнему разряду. Другими словами, дополнение двоичного числа формируется в два этапа:

1. 
   строится инвертированное представление исходного числа;
   
2. 
   к инвертированному представлению прибавляется 1 по правилам двоичной арифметики.
   

• 
  для Z≥0 дополнительный код совпадает с самим числом;
  
• 
  для Z<0 дополнительный код совпадает с дополнением модуля числа, т.е. D(|Z|, k).
  

После построения такой таблицы становится очевидным, что ось симметрии диапазона проходит между 0 и -1. Следовательно, диапазон знаковых чисел, занимающих один байт в памяти компьютера – от -128 до +127. В языке программирования Паскаль этот тип данных обозначается служебным типом ShortInt (короткое целое).

Анализируя полученную выше таблицу значений можно сделать вывод, что отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде.

Рассмотрим в общем случае сложение двух знаковых двоичных числа C=A+B

Рассмотрим все подобные случаи на примере.

Убедимся, что результат, получаемый компьютером при сложении положительного и отрицательного числа, получается корректным.

Вычтем 42 из 65. Найдем дополнительный код числа -42.

Решение.

Число 65:	01000001
Инверсионные биты:	10111110
Плюс 1:	10111111	равно -65

Прибавим к -65 +42 по правилам машинной арифметики.

Решение. Сначала переводим оба числа в дополнительный код. Затем складываем эти числа.

Решение.

Попробуем провести компьютерный эксперимент.

var

begin

b:=54;

writeln(c);

end.

Действительно, данная программа дает в результате -100.