Эугенио Мануэль Фернандес Агиляр Эврика! Радость открытия. Архимед
жүктеу/скачать 3.07 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Метод механических теорем
- Исчерпывающая математика: метод исчерпывания
- Доказательство от противного
- Пусть это изобразят на моем надгробии!
- Складывая почти до бесконечности
- Искусство нарезки параболоидов
- Трехмерные архимедовы фигуры
ГЛАВА 3Защитник круговЭпоха Архимеда представляет собой водоворот открытий и исследований в области математики. Многие талантливые ученые посвятили себя этой науке, и все же Архимед выделяется среди них тем, что он ввел новые методы и анализировал уже известные результаты со своей собственной точки зрения. Он вошел в историю благодаря вычислению приближения числа п и улучшению метода исчерпывания, необходимого для определения объемов и площадей криволинейных геометрических фигур. Хотя широкая публика знает Архимеда как физика и механика, большинство его научных трудов посвящены математике. Он даже просил выбить на его могиле символы одной из решенных им геометрических задач. Ученый занимался практически всеми проблемами, актуальными для его времени; находил новые доказательства и создавал новые методы. Он поднял методы исчерпывания и доведения до абсурда до невиданных в ту эпоху высот. Также Архимед вплотную подошел к исчислению бесконечно малых величин и интегральному исчислению и смог использовать свои открытия в области рычага для получения новых математических результатов. В этой главе мы рассмотрим некоторые из важных достижений, описанных в его трудах, начиная с тех методов, которые ученый применял в своих исследованиях для анализа особых случаев.
Методы АрхимедаНаучный успех Архимеда почти полностью основан на используемой им методологии. В целом применяемые ученым методы можно разделить на две группы: первая направлена на поиск интересующего его решения (механический метод), а вторая — на доказательство верности полученного результата. В работах Архимеда часто встречаются цитаты из текстов Евклида и других более ранних математиков, то есть он приводит многие решения как само собой разумеющееся и для краткости говорит о них в своих трудах, словно они всем известны. Таким образом, мы видим математика, который работает с достойными доверия источниками и умеет извлекать из них материал, необходимый для его собственных исследований. В наши дни для любых доказательств мы используем алгебраический язык (формулы с буквами, цифрами и математическими символами), но в рассматриваемое нами время, когда жил Архимед, такого языка еще не существовало. Вот почему его тексты нелегки для современного читателя, ведь все его рассуждения основываются на чисто геометрических понятиях. Далее мы представим некоторые математические открытия Архимеда и постараемся реконструировать путь его мысли, хотя для этого нам и придется прибегать к языку алгебры. Метод механических теоремИз книги «Метод механических теорем» можно понять, что Архимед не скрывал свои методы от научного сообщества того времени, как мы уже показывали на примере константинопольского палимпсеста. В частности, он отправил этот труд Эратосфену, решив, что в данном случае он попадет в хорошие руки и сможет послужить получению новых интересных результатов. Несмотря на то что Герои цитирует эту книгу в своем трактате «Метрика», многие источники описывают Архимеда ученым, ревниво относившимся к своей работе и не склонным популяризировать свою методологию. К счастью, в 1906 году исследователь-эллинист Гейберг обнаружил «Метод» и другие труды ученого, содержащиеся в палимпсесте. На самом деле Архимед охотно обнародовал и свои открытия, и научные методы, приведшие к этим открытиям. Он даже побуждал Эратосфена воспользоваться его методикой, уверяя последнего, что «можно было бы использовать этот путь для того, чтобы достичь определенных научных результатов посредством механики».
Здесь важно заметить, что он приводит как нечто само собой разумеющееся некоторые результаты из собственной работы «О равновесии плоских фигур». Трактат дошел до нас не полностью — из него сохранились 16 утверждений с некоторыми важными уточнениями. В первых 11 автор представляет механический метод сам по себе, а в остальных описывает весь процесс, включая последующее доказательство с помощью вышеупомянутого метода исчерпывания. Архимед затрагивает большое количество вопросов, которые он уже исследовал в предыдущих трудах: например, квадратура сегмента параболы — темы, изложенной в книге «О квадратуре параболы». Первое утверждение трактата, проиллюстрированное на рисунке на следующей странице, звучит так: «Пусть АВС — сегмент, заключенный между отрезком прямой АС и параболой АВС; поделим АС напополам точкой D и проведем прямую DBE параллельно оси параболы, а также отрезки АВ, ВС. Я утверждаю, что сегмент параболы АВС по площади равен четырем третьим треугольника АВС». («Метод механических теорем», утверждение 1.)
СТОМАХИОНС небольшим трактатом «Стомахион» произошло то же самое, что и с «Методом»: на протяжении истории было множество свидетельств его существования, но найден он был лишь в 1906 году с открытием константинопольского палимпсеста. В IV веке Авзоний и Марий Викторин говорили о Loculus Archimedius (шкатулке Архимеда) из 14 пластинок слоновой кости, которые вместе составляют квадрат. Все, что осталось от трактата,— это изложение способа деления квадрата на 14 частей (рисунок 1). Кроме того, там приводятся соотношения площадей фрагментов и полного квадрата. Не очень понятно, было ли это главным содержанием «Стомахиона»: хотя некоторые усматривают здесь начало комбинаторики, другие считают данное описание не более чем развлечением, чем-то вроде пазла или танграма. 
РИС. 1 Если мы наложим фигуры из «Стомахиона» на квадрат стороной в 12 клеток, площадь каждой фигуры будет такой же, какой она обозначена на рисунке. Простой способ воспроизвести данные фигуры — взять листок бумаги в клеточку. Числа на фигурах обозначают их площадь. Лишь в 2003 году удалось провести строгий комбинаторный анализ, который показал, что существуют 17152 способа сложить фигуры из «Стомахиона» в целый квадрат, и это если не принимать во внимание возможность их поворота или зеркального отражения (рисунок 2). 
Перемещая фрагменты, можно не только составить квадрат, но и создавать веселые фигурки вроде этого слона. 
Воспроизведение геометрического чертежа, которым воспользовался Архимед, чтобы выяснить соотношение площадей сегмента параболы и вписанного в него треугольника. Основой для данного решения служит механический метод. Исчерпывающая математика: метод исчерпыванияВ древнегреческой математике в какой-то момент начался серьезный кризис, связанный с так называемыми невыразимыми числами, которые не могут быть представлены отношением целого числа к натуральному. В настоящее время такие числа называются иррациональными. Такое их свойство вызвало большие проблемы при сравнении криволинейных и прямолинейных фигур. Это значит, что греки сталкивались с серьезными сложностями, если хотели вычислить площадь круга или иных фигур, ограниченных кривыми, а также и некоторые другие величины, например диагональ квадрата. Данная проблема была частично решена благодаря методу исчерпывания, который можно считать предшественником современного исчисления бесконечно малых величин и вычисления предела. Уже Евклид использовал его в некоторых построениях в своих «Началах», а Архимед применял его в течение всей своей математической карьеры. И именно он назвал автором этого метода Евдокса во вступлении к своему трактату «Метод механических теорем». Невозможно найти во всей геометрии более сложные и более важные вопросы, изложенные столь простыми и столь понятными словами, как в теоремах, созданных божественным разумом Архимеда. Плутарх (46/48-125/127 н. э.), историк Метод исчерпывания и сейчас известен под таким названием. Само выражение «метод исчерпывания» было впервые введено бельгийским математиком Грегуаром де Сен-Венсаном (1584-1667), а затем распространилось повсеместно. Чтобы использовать данный метод, мы вписываем многоугольник в криволинейную фигуру и описываем его вокруг нее. Это значит, что криволинейная фигура получается зажатой изнутри и снаружи. Теперь последовательно увеличиваем количество сторон у внутреннего многоугольника и у наружного, чтобы они как можно больше приближались по конфигурации к криволинейной фигуре. Метод исчерпывания, таким образом, можно считать общим понятием, которое раскладывается на две процедуры. — Исчерпывание: многоугольная фигура вписывается в криволинейную вплоть до исчерпывания последней, то есть так, чтобы осталось как можно меньше непокрытой площади. — Сжатие: многоугольная фигура описывается вокруг криволинейной вплоть до того, как останется как можно меньше лишней площади. Действительно, мы можем найти настолько близкий к площади криволинейной фигуры многоугольник, насколько пожелаем. Данное положение носит название «аксиома Архимеда» (хотя подобная мысль была определенным образом выражена уже в евклидовых «Началах»). В современных терминах это означает, что если вы берете отрезок любой длины и отнимаете от него больше половины, а от его остатка снова отнимаете больше половины и так далее, то можно получить отрезок сколь угодно малой величины. Большой шаг вперед при использовании аксиомы Архимеда состоит в идее приближения. Греческие математики искали точные и абсолютные ответы, из чего и строились их методы. С аксиомой Архимеда же любой человек, желающий узнать, например, площадь некоей фигуры, может подойти к решению сколь угодно близко, хотя и не получит точного ответа. В методологии Архимеда этот прием занимал действительно большое место, так что он даже обосновал его точным геометрическим доказательством: если имеется криволинейная фигура, можно с помощью метода двойного доведения до абсурда доказать, что ее площадь равна значению, полученному методом исчерпывания. Логическая последовательность такова. — Дана криволинейная фигура с площадью S. — Предполагается, что ее площадь составляет Т (это и является предметом проверки). — Следует доказать, что S = Т. — Сначала доказывается, что не может быть S<T. — Затем — что не может быть S>T. — Поскольку S не может быть ни меньше, ни больше T, следовательно, S=T. НевсисНевсис, что можно перевести с древнегреческого как «наклон», это техника геометрических построений. Она состоит в том, чтобы построить отрезок определенной длины между двумя кривыми так, что он (или его продолжение) пройдет через заданную точку. Речь идет о ручном построении: на линейке отмечаются две крайние точки отрезка, а затем линейка сдвигается, пока данные точки не лягут на соответственные кривые. Можно сказать, что это такой геометрический «счет на пальцах». Под влиянием платоновского идеализма, который пронизывал греческую математику во времена Архимеда, все математические доказательства делились в соответствии с определенной иерархией, отражавшей их красоту и изящество. Если что-то можно было выполнить при помощи линейки и циркуля, надо было пользоваться только этими инструментами. Если нет, то задача «спускалась» на второй уровень, как, скажем, конические сечения. К невсису допускалось прибегать только в тех случаях, когда другое решение отсутствовало. Архимед использовал невсис во многих ситуациях, например в утверждениях 5-9 книги «О спиралях», но мы остановимся подробно на трисекции угла (см. рисунок), описанной им в утверждении 8 «Книги лемм».
— Проводится окружность с центром В любого радиуса, которая пересекает луч В А в точке Р, а луч ВС в точке Q, луч ВС продолжается до прямой, пересекающей окружность в точке R. — Затем от точки Р проводится прямая STP таким образом, чтобы точка S лежала на прямой CQBR, а Т — на окружности, и при этом выполнялось условие ST = BQ = ВР = ВТ. (Эта операция как раз требует применения невсиса и линейки с разметкой.) — Далее легко показать: так как треугольники STB и ТВР равнобедренные, то угол BST составляет треть от угла QBP, который требовалось разделить на три. «ЗАСТЕНЧИВОЕ» ЧИСЛО πИздревле люди замечали, что все круги, в сущности, представляют собой одну и ту же фигуру, только разных размеров — больше или меньше. Было понятно, что пропорции у них одинаковы, то есть соотношение между длиной окружности и ее диаметром является величиной постоянной. А значит, если разделить длину окружности на ее диаметр, мы всегда получим одно и то же число, определенную постоянную к. Но что это за число? Данный вопрос занимал не только древнегреческих математиков, стоял он и перед мыслителями других культур. 
Все окружности имеют одно и то же соотношение (к) длины окружности и диаметра. Для нахождения этого соотношения потребовались целые столетия и океан чернил. Древние математики пытались обозначить упомянутую пропорцию соотношением целых чисел, так что одно за другим появлялись различные приближения, призванные точнее выразить данную величину. И только в начале XIX века было доказано, что искомое соотношение представляет собой иррациональное число, вот почему все попытки получить его делением натуральных чисел были столь бесплодны. Сейчас это число называется π (греческое «пи»): длина окружности = π • диаметр Приближение Архимеда настолько удачно, что оно не только использовалось на протяжении многих столетий, но и сегодня вполне пригодно для решения различных практических задач. Согласно его расчетам, соотношение длины окружности и диаметра выражается формулой L=3,14d. В поисках числа πВ работе «Об измерении круга» отражены изыскания Архимеда в области соотношения длины окружности (L) и ее диаметра (d). Из утверждения 3 этого трактата следует, что длина окружности в 3,14 раз больше ее диаметра, то есть L = 3,14 d. Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = π • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него π = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле π — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой. Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее. Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = πr². Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна π. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число π. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга Sc будет больше площади вписанного шестиугольника SHp и меньше площади описанного SHG (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.
«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3): 3 + 10/71 < Sc <3 + 1/7, то есть, 3,1408 < Sc < 3,14029. Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение. 
Окружность в квадратеСогласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению π — приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во- первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа. Площадь круга: Sкруга = πr². Площадь квадрата: Sквадрата = (2r)²=4r². Соотношения, которые их связывают: площадь круга/площадь квадрата = πr²/4r² = π/4 То, что выяснил Архимед: площадь круга/площадь квадрата = 11/14 Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны: π/4 ~ 11/14 ~ 3.14 Доказательство от противногоВ трактате «Об измерении круга» утверждается: Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения. — «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: Sкруга > Sтреугольника». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно. — «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: Sкруга < Sтреугольника». Архимед доказывает, что невозможно и это. — Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: Sкруга = Sтреугольника.
Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче: — Sкруга = πr². — Sтреугольника = (основание • высота)/2 = 2πr*r/2 = πr² — Что означает: Sкруга = Sтреугольника.
В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед: Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок): Vцилиндра 3/2 Vшара Sцилиндра = 3/2 Sшара Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло. 
РИС.З 
РИС. 4 Чтобы получить нужный результат, Архимед использовал различные определения, постулаты и утверждения, попутно найдя важные соотношения площадей других фигур. «О шаре и цилиндре» — это трактат, состоящий из двух книг, написанных в разные годы его жизни. Первая книга служит теоретической основой для второй, представляющей собой ответы на вопросы Досифея, которому она и посвящена. Первая книга заключает в себе 44 утверждения, шесть определений и пять постулатов. Кроме того, некоторые утверждения содержат важные следствия: например, рассматриваемое соотношение между шаром и цилиндром представлено в форме следствия из двух утверждений. Речь идет об утверждениях 33 и 34. «Утверждение 33. Поверхность любого шара в четыре раза больше площади его большого круга» (рисунок 4). Большой круг — это круг, который делит шар на две равные половины. Данное утверждение (рисунок 4) можно пояснить следующим умозрительным образом. Если мы сложим четыре раза площадь SCM большого круга (SCM= πr²), то сумма будет равна площади поверхности всего шара SE (SE = 4πr²). Это означает, что потребовалось бы равное количество краски, чтобы покрасить поверхность шара и четыре больших круга. «Утверждение 34. Любой шар [по объему] в четыре раза больше конуса, база которого равна большому кругу, а высота — радиусу шара». В алгебраической записи показать данное соотношение объемов можно так (рисунок 5). Объем Vc конуса с радиусом r и высотой r равен Vc = 1/3πr³ а объем шара VE с радиусом r равен VE=4/3πr³. Таким образом: VE = 4 Vc. То есть объем шара с радиусом r равен объему четырех конусов с радиусом основания r и высотой r. Другими словами, чтобы наполнить весь шар с радиусом r 4 л воды, потребуются 4 конуса с радиусом r и высотой r, вмещающие по 1 л каждый. 
РИС. 5 
РИС. 6 В качестве следствия из утверждения 34 Архимед выводит заключение, упомянутое в начале главы и действительное для объемов и площадей: «Поверхность шара составляет 3/2 поверхности цилиндра с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной его диаметру» (рисунок 6). Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, надо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность равна по площади прямоугольнику с основанием 2кг и высотой 2r. Следовательно, ее площадь будет составлять 4πr². С другой стороны, два основания представляют собой круги с радиусом г, так что площадь каждого равна πr². Сложив площади боковой поверхности и удвоенную площадь основания, получаем площадь поверхности цилиндра: Sc = 6πr². Итак, из расчетов следует, что площадь цилиндра равна шести площадям круга с таким же радиусом. И значит, один шар равен четырем кругам, а шесть кругов — полутора шарам. Нам понадобится одинаковое количество краски, чтобы покрасить шесть кругов радиусом r, полтора шара радиусом r или один цилиндр с радиусом основания r и высотой 2r. Надо прибавить, что полученные отношения действительны также и для объемов, то есть объем цилиндра составляет 3/2 объема вписанного в него шара (рисунок 7). Легче и нагляднее представить себе это соотношение следующим образом: если один шар вмещает 2 л воды, то в описанный вокруг него цилиндр войдет 3 л. Вот почему часто говорят, что отношение цилиндра к шару — три к двум.
ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧАВ V веке до н. э. Афины опустошила эпидемия чумы, одной из жертв которой стал знаменитый Перикл (495-429 гг. до н. э.), афинский политический деятель, которому удалось собрать в Афинах множество талантливых людей со всех концов греческого мира. Тогда группа афинян решила идти к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как можно остановить чуму. По преданию, полученный ответ был таков: надо сделать новый кубический алтарь взамен старого так, чтобы по объему он был ровно в два раза больше. В этой легенде — в одном из двух ее вариантов — ставится знаменитая задача удвоения куба, известная как «делосская задача»: как построить куб объемом в два раза больше заданного, используя только линейку и циркуль. Из книги Архимеда «О шаре и цилиндре» понятно: он вполне осознавал, что для удвоения куба невозможно идти по интуитивно напрашивающемуся пути — просто удвоить его ребро. Ведь если ребро куба I1 = а, его объем будет составлять V1 = а³; удвоив же ребро I2 =2а, мы получим объем нового куба V2 = (2а)³ = 8а³, а это значит, что V2 = 8V1. Объем куба не удвоился, а «увосьмерился», как показано на рисунке. 
Сегодня мы знаем, что решить «делосскую задачу» с помощью исключительно линейки и циркуля невозможно, потому что ее решение представляет собой иррациональное число. Так, чтобы удвоить куб с ребром а, ребро нового куба должно равняться 
Спираль АрхимедаСпираль — это кривая, образованная точкой, которая удаляется от центра и одновременно вращается вокруг него. Архимед изучал особенный тип спирали, которая теперь известна именно как спираль Архимеда (см. рисунок), характеризующаяся способом своего построения: Спираль Архимеда представляет собой кривую, образованную точкой, которая с постоянной скоростью удаляется от вершины луча, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг своей вершины. 
Луч а вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω, в то же время точка Р движется с постоянной скоростью V вдоль луча а. Простой способ нарисовать такую спираль — это разбить плоскость двумя перпендикулярными прямыми и провести биссектрисы получившихся прямых углов, а затем начертить концентрические окружности с центром на пересечении прямых и на равном расстоянии друг от друга. При вращении прямая проходит последовательно через пересечения прямых с окружностями. В трактате «О спиралях» Архимед изучает спираль, впоследствии получившую его имя, и некоторые из ее свойств. Данный текст считается одним из самых сложных трудов древнегреческих мыслителей. Недаром в античности он оставался в забвении, а некоторые математики XVII — XVIII веков считали его ошибочным, поскольку оказались не в состоянии его понять. Его значимость заключается не только в его математических достоинствах, но и в философских аспектах. Речь идет в первую очередь о первом из известных документов, где рассматривается касательная к кривой, отличной от окружности. С математической точки зрения это очень важно, ведь поднятая Архимедом тема могла бы стать введением в курс дифференциального исчисления. Такое предположение становится очевидным, если учесть, что в своих доказательствах Архимед подошел почти вплотную к интегральному исчислению. Трактат «О спиралях» состоит из 28 утверждений и посвящен Досифею Пелузийскому, которому адресовано и предваряющее основной текст письмо. Первые 11 утверждений — вспомогательные, Архимед использует их для доказательства других, более ему интересных. Такой метод работы характерен в целом для Архимеда — использовать предварительные утверждения как ступеньку для выхода на более высокий уровень. Он и сам в предисловии выделяет четыре наиболее важных результата и характеризует остальные как вспомогательные. После первых 11 утверждений Архимед приводит список из шести определений, и первое из них является собственно определением спирали Архимеда, которое мы излагали выше. Утверждения с 12-го по 20-е касаются свойств касательных к спирали, а также соотнесенности длины ее витков с оборотами, совершаемыми ею. В этой части работы Архимед показывает, как выстроить касательную к спирали в заданной точке. Наконец, в утверждениях с 21-го по 28-е Архимед рассматривает площади фигур, образованных кривой при последовательных оборотах, — данные утверждения представляют собой наиболее интересные результаты для исследователей. Учитывая сложность трактата, мы остановимся лишь на одном из них, под номером 24: «Поверхность, ограниченная описанной спиралью при первом обороте, составляет третью часть круга, которого она касается». Вышесказанное Архимед доказывает методом исчерпывания (см. рисунок), а также он использует доказательство от противного, заключив, что площадь образованной фигуры не может быть ни больше, ни меньше трети круга. 
После первого оборота спираль ограничивает площадь, равную 1/3 площади окружности, в которую спираль вписана. СПИРАЛИСпирали — это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее — неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали — например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей: 
РИС. 1 
РИС. 2 
РИС.З 
РИС. 4 — архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ; — спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ½; — гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/θ; — логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=logb(r/a). Две древние проблемыТремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что π — иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8). 
РИС. 8 
РИС. 9 — Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ. — Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль. — При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q. — Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V. — Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла. Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9). — Через точку Р проводится касательная к спирали PQ. — Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О. — Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q. — Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР. — Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS. — Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR. — С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.
Квадратура параболыВ трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы: «Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10). Архимед послал эту работу Досифею Пелузийскому — это был первый труд, отправленный им кому бы то ни было после смерти его друга Конона Самосского. Трактат «О квадратуре параболы» содержит 24 утверждения. В первых пяти Архимед представляет некоторые свойства этой кривой; в утверждениях с 6-го по 16-е он проводит механический анализ параболы, основываясь на законе рычага. В утверждении 17 впервые говорится о его решении задачи квадратуры параболы с помощью механического метода, а в следующих утверждениях ученый использует метод исчерпывания, чтобы окончательно доказать правильность найденного решения (утверждение 24). Таким образом, Архимед решает задачу квадратуры сначала механическим методом, а потом, считая его недостаточно строгим, добивается того же результата с помощью классического геометрического метода исчерпывания. Интересно отметить, что квадратура параболы является первой известной работой Архимеда, в которой тот применяет механический метод. Существует еще и третье решение этой квадратуры, которое содержится в трактате «О методе механических теорем». Как уже говорилось, чтобы доказать утверждение 24, Архимед использовал метод исчерпывания (рисунок 11). Начинает он, принимая результат за данное, то есть с утверждения, что Sp — площадь параболы, ST — площадь треугольника АВС, и тогда Sp= 4/3 ST. Шаги доказательства таковы.
— Аналогично построить треугольники ADB и ВЕС. — Такую операцию можно продолжать до бесконечности, причем получаемый многоугольник будет все более и более приближаться к параболе. — В утверждении 21 доказывается, что каждый треугольник, построенный по такому принципу, имеет площадь, равную 1/4 от площади предыдущего треугольника. То есть получается SADB =SВЕС = 1/4Sтреугольника — Архимед предположил, что мы можем достаточно долго заполнять пространство между треугольником и параболой построением новых треугольников на вновь образованных хордах. — Основываясь на этой идее, он смог доказать, что площадь под параболой не может быть больше 4/3 площади изначального треугольника, но не может она быть и меньше 4/3. — Таким образом, с помощью метода доказательства от противного выводится соотношение Sp =4/3SТ, что и требовалось доказать.
Самый древний пример того, что можно считать провозвестником вычисления бесконечно малых величин, мы встречаем у Зенона Элейского (490-430 до н.э.). Рассмотренная им процедура (дихотомия, последовательное деление пополам) представляла собой прецедент для работы греческих математиков в последующие века. Архимед вплотную подошел к идее пределов в различных своих работах, где он употреблял метод исчерпывания. Одна из таких работ — «О квадратуре параболы». Речь идет о том, что складывание бесконечного числа величин дает в результате конечное число. Хотя Архимед и не мог суммировать все слагаемые, ему, несомненно, удалось достичь удовлетворительного приближения к искомой сумме интуитивным способом. Эта сумма вычисляется в утверждении 23, предпоследнем пункте трактата, как раз перед утверждением, в котором второй раз в данном тексте представлена квадратура параболы. Опираясь на этот результат, он смог доказать решение задачи о квадратуре параболы методом доказательства от противного. В сущности, утверждение 23 служит базой для решения задачи, то есть его можно рассматривать как инструмент вычисления для достижения поставленной цели. Утверждение 23 гласит: «Если некоторые величины соотносятся друг с другом как один к четырем, то сумма всех величин и еще одна треть самой маленькой величины составит четыре трети самой большой». Объясним это более понятным образом. Берем квадрат и делим его на четыре равные части. Складываем квадрат с его четвертью. Четверть тоже делим на четыре части и так далее до бесконечности, каждый раз прибавляя четверть к предыдущей сумме. Затем суммируются площади всех этих частей и прибавляется 1 /3 самой маленькой из них. Результат всегда будет составлять 4/3 площади изначального квадрата (см. рисунки 12 и 13 на следующей странице; на рисунке 12 представлено только одно деление, а на рисунке 13 — все деления). Как можно увидеть, результат всегда равен А + 1/3 А, то есть сумма всех последовательных делений, проделанных указанным способом, равна 1/3 площади изначального большого квадрата. Здесь Архимед приходит интуитивным образом к следующему выражению, описывающему п делений квадрата: 
В наше время такая последовательность называется геометрической прогрессией, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на определенное постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Общая формула геометрической прогрессии такова: аn = а1 • r(n-1) В нашем случае имеем a1 = A
r = 1/4 → an = 1/(4(n-1)) • А. 
РИС. 12 
РИС. 13 Таким образом, подставив значения n, мы получаем все слагаемые последовательности: 
Можно сложить все элементы данной бесконечной последовательности, учитывая, что эта последовательность сходящаяся, с помощью формулы для суммы бесконечной убывающей геометрической последовательности: 
Как видите, это значение, которое получил Архимед, не пользуясь нашими формулами. Каким-то образом он заметил, что где бы ни прервать последовательность, остаток ее будет составлять 1/3 от того слагаемого, на котором последовательность была прервана, независимо от того, что это было за слагаемое. Неизвестно, как он пришел к такому выводу. Возможно, что результата, представленного в трактате, ученый добился просто методом проб и ошибок. Главное, что он смутно предвидел принцип предела и остановился в одном шаге от него со своим методом, применяемым до сих пор для нахождения общей формулы рекуррентной последовательности. 
Задача о быкахПри чтении данной книги легко заметить, что выбранный стиль изложения весьма близок к научной статье, ведь ее аудитория явно интересуется математикой более, чем это можно ожидать от среднестатистического читателя. Однако «Задача о быках» выбивается из нашего стиля, поскольку изложена в виде стихов. Некоторые специалисты даже подвергали сомнению ее авторство, не только, впрочем, из-за ее поэтической формы, но и из-за самого содержания. И действительно были основания сомневаться в том, что Архимед мог решить данную задачу сам, хотя его операции с большими числами с помощью мириад проливают некоторый свет на возможные для ученого пути ее решения. Эта маленькая работа представляет собой 28 элегических дистихов, основанных на стихах Гомера. Состоящий из двух строк дистих — обычная форма для древнегреческой поэзии. Манускрипт был найден в 1773 году немецким поэтом Готхольдом Эфраимом Лессингом в герцогской библиотеке Вольфенбюттеля (Германия). АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХАЗенон Элейский был греческим философом элейской школы и прославился своими парадоксами. Один из самых известных — это парадокс об Ахиллесе и черепахе. В нем говорится об ахейском воине Ахиллесе, столь хорошем бегуне, что его звали быстроногим. Зенон описывает довольно своеобразное состязание: соревнование между Ахиллесом и черепахой. Он предположил, что земноводное медленнее героя в два раза. Гордый Ахиллес дал черепахе фору в половину дистанции. Как говорит Зенон, когда Ахиллес достиг середины пути, черепаха уже успела проползти его четверть, то есть половину того расстояния, которое ей надо было преодолеть. Таким образом ситуация возвращается к своему началу: когда Ахиллес добегает до точки старта черепахи, она продвигается еще дальше, и так до бесконечности, следовательно выходит, что герой не догонит ее никогда. Архимед нашел ответ на этот парадокс, хотя и не сумел придать ему математическое оформление: сумма бесконечного количества слагаемых может оказаться конечным числом, то есть не бесконечностью. Говоря иначе, Зенон из Элеи не располагал таким важнейшим математическим инструментом, как исчисление бесконечно малых величин. Ахиллес догонит черепаху, потому что хотя отрезок можно делить на бесконечное число фрагментов, но, учитывая, что эти фрагменты все более мелкие, сумма их представляет конечное число. В наше время проблема обычно представляется в следующем виде: 
Когда Ахиллес достигнет позиции АВ/2, где сначала находилась черепаха, она уже будет в точке АВ/4. В тот момент, когда Ахиллес добежит до позиции АВ/4, которую занимала черепаха, она будет уже в АВ/В и так далее. Скоро потом ты увидишь Тринакрию остров; Издавна Гелиос тучных быков и баранов пасет там на пышных, Искусство нарезки параболоидовВ трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед исследует тела, образованные сечением фигур вращения. Этот текст также предваряется письмом Досифею, в котором дается краткое резюме того, что адресат найдет в книге, — типичное вступление для Архимеда. После начальных определений и одной леммы видим 32 утверждения. Параболоид (рисунок 14) — это трехмерная фигура, образованная вращением параболы вокруг своей оси; гиперболоид (рисунок 15) — трехмерная фигура, образованная вращением вокруг своей оси гиперболы; а эллипсоид (рисунок 16) — трехмерная фигура, которую образует вращающийся вокруг своей оси эллипс.
Сапожный нож и солонкаТрактат, известный как «Книга лемм», отличается от других трудов Архимеда одной важной особенностью: у нас нет его греческого текста. Он дошел до наших дней только благодаря переводу на арабский язык, который сделал астроном, математик и переводчик IX века Сабит ибн Курра. Таким образом, у нас есть единственное свидетельство того, что это действительно труд Архимеда, — факт, который вызывает некоторые сомнения в его авторстве. Данная книга считается учебником из-за элементарности или вторичности многих содержащихся в ней утверждений. В частности, утверждение 7 гласит, что площадь круга, описанного вокруг квадрата, в два раза больше площади круга, вписанного в него. Текст состоит из 15 утверждений, причем в нем упоминается и сам Архимед: например, в утверждении 4, где представлена геометрическая фигура арбелос, что по-гречески означает «сапожный нож», так как она формой напоминает этот инструмент. Арбелос представляет собой область плоскости, ограниченную тремя касающимися друг друга половинами окружностей. На приведенном здесь рисунке арбелос соответствует затемненной части. У этой фигуры есть некоторые любопытные свойства, которые можно было бы включить в начальный курс геометрии. Возможно, самая интересная из них — это так называемые «круги-близнецы Архимеда» (см. рисунок на следующей странице): из точки С достраивается перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с окружностью наибольшего диаметра. Данный перпендикуляр делит арбелос на две фигуры. Затем в каждую из этих получившихся фигур вписываются окружности С1 и С2 так, чтобы они касались с двух сторон перпендикуляра и каждая из них касалась большой и малой окружности. 
В утверждении 5 говорится, что площади этих кругов будут равны (SС1=SС2), независимо от местоположения точки С, отчего они и называются кругами-близнецами Архимеда. Существуют и другие круги, связанные с арбелосом, они тоже носят личные имена — круг Аполлония, круг Паппа и круг Банкофа. Еще одна фигура, представленная в «Книге лемм», называется салинон, что согласно интерпретации историка математики Томаса Хита означает «солонка». В утверждении 14 даются указания, как построить эту фигуру, и вновь встречается имя Архимеда. То, что он неоднократно упоминается в данном трактате, говорит об учебном характере книги. Инструкции же, которые даются в ней для постройки салинона (рисунок 17 на стр. 116), таковы.
— Проводится отрезок прямой АВ, и в его середине отмечается точка О. — Строится полуокружность, диаметр которой равен отрезку АВ. — На отрезке АВ строятся еще две полуокружности равного диаметра (меньшего, чем половина отрезка) так, чтобы они касались первой полуокружности в точках А и В. — Получаются полуокружности с диаметрами AD и ЕВ и центрами соответственно в точках G и H. — Строится полуокружность с диаметром DE в сторону, противоположную двум предыдущим, замыкая таким образом фигуру. — Фигура, замкнутая построенной линией из четырех полуокружностей, и есть салинон .
— Проводится прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через точку О. — Эта прямая пересекает границы салинона в точках С и F. — Берется точка Р, представляющая собой середину отрезка CF, и строится окружность с центром Р и диаметром CF. — Можно доказать, что площадь салинона равна площади круга с диаметром CF и центром Р (рисунок 18).
К сожалению, до нас не дошел трактат «О правильных многогранниках», в котором, по- видимому, Архимед подробно описывал трехмерные тела, носящие в наше время его имя. Однако мы знаем о них благодаря александрийскому математику Паппу. В книге V своего «Математического собрания» он пишет: «Хотя можно придумать множество многогранников самых разных видов, более всего заслужили внимание многогранники, которые имеют правильную форму. Таковы не только фигуры, найденные великим Платоном, то есть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и пятый — икосаэдр, но и 13 многогранников, открытых Архимедом, сложенные из правильных, но не одинаковых многоугольников с равными сторонами и равными углами».
жүктеу/скачать 3.07 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
