Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

Квазиэмпирический реализм представляет собой широкое на­правление, в значительной степени связанное с натурализацией ма­тематики, которая в свою очередь связана с натурализацией эписте­мологии. Не претендуя на общность, можно проиллюстрировать квазиэмпирический реализм реалистической программой П. Мэд­ди. Она считает, что предполагаемые платонистскими сущности могут быть доступны обычному восприятию. На этом мы остано­вимся чуть позже.

Мэдди полагает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с совокупно­стями материальных вещей. Стандартная точка зрения состоит в том, что множества являются абстрактными объектами, что и позволяет математикам рассматривать такие объекты, как пустое множество, в качестве базиса для построения всей иерархии множеств. Таким образом, речь идет о возможности причинного указания на абстракт­ные объекты, что напоминает с первого взгляда крайний платонизм К. Геделя.

Однако позиция Мэдди более эмпирична. При указании на объект подразумевается стандартная семантика, а именно, что ука­зание осуществляется сингулярным термином, или же собственным именем, в то время как предикаты, или общие термины, не указыва­ют объектов, а истины о них, обозначая род объектов. Мэдди пола­гает, что, имея некоторый эмпирический опыт в отношении матери­альных совокупностей, мы образуем общий термин, родовое поня­тие, которое указывает на множество как абстрактный объект. Тогда возникает важнейший вопрос о пространственно-временной лока­лизации указываемого общим термином объекта.

Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подоб­ны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Мэдди отличает совокупность физических вещей, скажем, груду камней, от множества тех же самых камней. Отличие состоит в том, как соотносится камень с грудой камней, и как он соотносится с множеством камней. Каждый камень сделан из физического материала, который и образует части физической совокупности. Но никакой камень не является членом физической совокупности, потому что физическая совокупность не имеет чле­нов. Здесь Мэдди апеллирует к идее, что множество (и членство в нем) есть результат деятельности сознания, образования в уме кон­цепции множества. Камень является членом множества, и именно отношение членства делает его таковым. И в этом смысле множе­ство абстрактный объект, а физическая совокупность — нет. Но из такой трактовки следует чрезвычайно важный вывод квазиэмпири­ческого толка: множество камней локализовано точно в том месте, в котором локализована физическая совокупность. Это в высшей сте­пени непривычная трактовка понятия абстрактного объекта. Физи­ческие совокупности не имеют членов, в то время как множество определяется отношением членства. Именно по этой причине мно­жество является абстрактным объектом, который, тем не менее, пред­полагается локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физическая совокупность.

Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна за счет эпистемологических трактовок восприятия, раз­витых в самое последнее время. Так, согласно одному из определе­ний, субъект Р воспринимает объект К в месте H, если и только если, во-первых, имеется объект, принадлежащий виду К в месте H, во-вторых, Р приобретает перцептуальное знание о виде К, и, в-треть­их, объект в месте H включен в процесс порождения состояния перцептуальной веры подходящим причинным образом. Не входя в подробности этого определения, отметим, что оно является лишь одним из нескольких подходов к определению перцептуального вос­приятия, и не ясно, в какой степени трактовка Мэдди множеств как перцептуально воспринимаемых объектов будет оправданной при других определениях восприятия. Действительно, при других опре­делениях возникает основное препятствие пути принятия платониз­ма, т.е. тезиса о реальном существовании абстрактных объектов, поскольку причинная связь между ними и субъектом представляет­ся невозможной. В трактовке же Мэдди при таком определении вос­приятия нет существенного различия между восприятием груды кам­ней и множества камней. Хотя восприятие множества камней явля­ется актом ментальным, а восприятие груды камней — актом чув­ственным, трудно провести грань между двумя когнитивными спо­собностями человека. Это нарушает традиционную для философии дихотомию между чувственным и рациональным, и единственным способом отказа от этой дихотомии для Мэдди представляется по­стулирование специальной когнитивной способности к определе­нию именно «множеств» в отличие от груды.

Ч. Чихара резко критикует точку зрения Мэдди, согласно кото­рой мы можем буквально «видеть» множества (22). Первым контрпри­мером служит случай единичного множества. Пусть в помещении имеется один физический предмет, скажем, камень. С точки зрения здравого смысла, в этом помещении ничего больше нет, однако с точки зрения Мэдди существует еще множество, единственным членом которого является камень. Множество есть абстрактный объект, а камень — физический объект, и согласно Мэдди оба рас­положены в одном и том же месте. Традиционно множество рас­сматривается как универсалия, лишенная локализации во времени и пространстве. Универсалия с локализацией в пространстве пред­ставляет значительные трудности для философии.

Поскольку порождение множеств осуществляется замыканием единичного множества (далее в книге об этом будет сказано более пространно), вместо одного камня и одного множества мы имеем один камень и бесконечное число множеств. Однако в пользу такого взгляда нет эмпирических свидетельств. Больше того, такой взгляд противоречит интуиции, и имеет просто неправдоподобные след­ствия. Еще более трудным становится понимание позиции Мэдди в случае бесконечных множеств, которые невозможно сопоставить с конечными физическими совокупностями. Перед Мэдди встает в высшей степени традиционная проблема понимания природы математической абстракции. Квазиэмпирический подход Мэдди ставит целью сделать более приемлемым с философской точки платонизм, который является «рабочей философией математика».

В частности, платонизм в области математики утверждает су­ществование другого, нематериального, мира, населенного матема­тическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык ука­зывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуи­ции мы входим в контакт с математическими сущностями.

Вся эта картина в высшей степени затруднительна для ее вос­приятия натуралистически настроенным умом. Натурализм предпо­лагает, что человеческое познание опирается на разного рода когни­тивные способности человека, которые выработаны в процессе эво­люции, и поэтому любые познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение. А с точки зрения платониста математика изучает не этот мир, а мир внепространственных, вневременных, не созданных сознанием сущностей, который недоступен нашим чувствам. Эта метафизическая картина призва­на объяснить существование и применение математики, и такое объяснение вполне устраивает многих математиков, если не всех, за исключением тех, кто чувствителен к философским затруднениям. А они в случае платонизма огромны, и возникает вопрос, в какой степени для объяснения природы математики необходим платонизм.

Реакция против платонизма принимает различные формы. Есть возражения, основанные на том, что платонизм есть результат склон­ности математиков к вневременным и внепространственным сущ­ностям, что идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков име­ет некоторый нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков. Так, Р. Нозик утверждает: «Некоторые мате­матики имеют предрассудки, выражающиеся в предпочтении неиз­менных и вечных математических объектов и структур, которые изу­чаются ими. Хотя эта традиция имеет почтенный возраст, трудно понять, почему неизменное или вечное более ценно или значимо, почему длительность сама по себе должна быть важной. Рассматри­вая эти вещи, люди говорят о вечном и неизменном, и этот разговор включает (кроме Бога) числа, множества, абстрактные идеи, само пространство-время. Неужели лучше быть одной из этих вещей? Это странный вопрос: как может быть конкретный человек абстрактным объектом? Можно ли хотеть стать числом 14 или Формой Справед­ливости или пустым множеством? Хотел ли кто-нибудь иметь такое существование, которое приписывается множеству?» (27).

Другие философы возражают платонизму на том основании, что он бессодержателен уже по своей постановке вопроса. Так, А. Сло­ман скептически оценивает позицию платонизма Р. Пенроуза. «Все, что он говорит, состоит в том, что математические истины и концеп­ции существуют независимо от математиков, и что они открывают­ся, а не изобретаются. Это лишает платонизм всякого содержания... Хотя многие люди полагают платонизм как чем-то мистическим, или антинаучным, так же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие разногласия на самом деле пусты. Нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет. Спор этот, как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного предположения, что существует четко определенная концепция (например, "существо­вание математического объекта"), которая может быть использована с целью постановки вопроса, на который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что означает существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого числа между двумя задан­ными целыми числами. Но нет смысла спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» (28).

Такие точки зрения резко контрастируют с мнением математи­ков, исповедующих платонизм. Например, Ш. Эрмит писал: «Я верю, что числа и функции в анализе не являются произвольными продук­тами нашего сознания: Я верю, что они существуют вне нас, обла­дая той же необходимостью, какой обладают вещи объективной ре­альности; и мы обнаруживаем или открываем их, или изучаем точ­но так же, как это делают физики, химики и зоологи» (29).

Избегая крайностей, следует признать, что коль скоро платонизм есть успешное с точки зрения математического сообщества объяснение природы математики и математической практики, все, что может сделать аргументативная философия, это исследовать, в ка­кой степени математика ответственна за столь странный взгляд как платонизм. Кроме того, несмотря на странности платонизма, следу­ет понять, в какой степени платонизм неизбежен, и есть ли ему жиз­неспособные альтернативы в объяснении природы математики.

Термин «платонизм» настолько устоялся в философии матема­тики, что едва ли кто-либо из вновь приходящих в эту область знает, что, несмотря на близость идеологии работающих математиков фи­лософии Платона, сам термин «математический платонизм» был введен в обиход относительно недавно, а именно П. Бернайсом в 1934 г. в статье О платонизме в математике (30).

Между тем более правильно говорить не о платонизме в мате­матике, а о реализме в математике. Подобное терминологическое уточнение важно, потому что фактически философские доктрины, ассоциирующиеся с математикой, напрямую связаны с многими логико-философскими доктринами, в частности, с различными тео­риями истины, значения, и в целом, с теориями соотношения языка и мира. Поэтому всякому обсуждению собственно платонизма дол­жно предшествовать обсуждение концепции реализма. Этот подход тем более правилен, что модная ныне проблематика противопостав­ления реализма и так называемого антиреализма имеет прямое от­ношение к философии математики.

Обсуждение реализма в математике следует начать с того, что все мы, независимо от наших философских убеждений, верим в эле­ментарные математические истины. Поскольку математика успеш­но применяется для счета и других расчетов, мы полагаем, что мате­матические истины отражают факты в мире. Больше того, сама струк­тура языка подводит нас к такому выводу: если математические ис­тины есть истины в общем понимании этого слова, тогда это долж­ны быть истины о чем-то в мире. Тогда встает вопрос о том, о чем же говорит математика, и вряд ли у кого-либо есть сомнения в том, что математика говорит о реальных объектах. В частности, ее объек­ты — числа, множества, функции, пространства и пр. — существу­ют вполне реально. И математика изучает эти объекты точно так же, как естественные науки изучают свои, например, как физик изучает атомы. В свое время подобное кредо реализма категорично было выражено Расселом в отношении логики: «логика имеет дело с ре­альным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами» (31). Естественность реалистичес­кого взгляда в математике объясняется тем, что «основная поддерж­ка реалистическому подходу к математике состоит в инстинктивной уверенности большинства из нас, пытавшихся решить математичес­кую проблему, в том, что мы думаем о "реальных объектах", будь то множества, числа и т.п.» (32).

Проблема реализма разрабатывается в рамках эпистемологии. В настоящее время существует два подхода к эпистемологии. Один следует традиционному картезианскому идеалу теории познания, которая представляет собой исследование знания и обоснования знания, априорное по отношению к естественной науке. При таком подходе теория познания ищет основания науки, что выходит за пре­делы компетенции самой науки, на основе стандартов чистого разу­ма. Другой подход известен под названием «натурализованной эпи­стемологии»; в ней исследование знания и способов познания ста­новится частью самой науки.

Натурализация эпистемологии имеет большое значение для раз­решения споров по поводу реализма. Установление того, что суще­ствует реально, — дело не спекулятивных рассуждений, а самых но­вых научных теорий. Таким образом, при обсуждении реалистичес­кой программы в математике нам не следует углубляться в традици­онные споры о существовании или несуществовании универсалий, или абстрактных объектов. Нам следует опереться на современные теории. Правда, при этом на нас ложится дополнительное бремя демонстрации того, что математика подобна естественным наукам. Эта последняя точка зрения находит свое лучшее выражение в аналогии, используемой многими философами — как сторонни­ками платонизма, так и его противниками. Так, Куайн полагает, что с точки зрения натурализованной эпистемологии, мы считаем суще­ствующими физические объекты среднего размера по той причине, что такая онтология дает нам наиболее простое объяснение природ­ных явлений, описываемых физическими теориями. Точно так же, полагает он, мы должны принять в качестве существующих множе­ства, поскольку такое решение упрощает наши математические тео­рии. Действительно, такое предположение выглядит вполне прав­доподобно в свете редукции всех математических объектов к мно­жествам³³.

В таком случае теорией, на которую мы будем ориентироваться при исследовании реализма в математике, будет теория множеств. Этот выбор стандартен в исследованиях по философии математики, и не требует особого оправдания. Следует учесть, что именно тео­рия множеств ставит перед философами наиболее острые пробле­мы. Понимание концепции множества, по сути своей, и представля­ет собой целую программу исследований, вокруг которой концент­рируются многие важнейшие философские проблемы. Реализм в теории множеств означает убеждение в том, что теоретико-множе­ственные утверждения имеют истинностные значения. В качестве лакмусовой бумажки в этом вопросе обычно берется континуум-гипотеза. Реалист полагает, что истинность или ложность ее явля­ется делом объективным, даже если (Боже сохрани) мы никогда не узнаем этого (34).

5. Эпистемологизация философии математики

Видимо, следует сказать, что преодоление стагнации в филосо­фии математики в последние два десятка лет было связано с обще­философскими тенденциями. Главным обстоятельством тут являет­ся то, что философия математики есть часть философии, и на ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей филосо­фии. Философия даже относительно элементарных ветвей матема­тики — это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоя­тельство делает исследования в философии математики важным видом философского исследования. Стало очевидно, что традици­онная философия математики столкнулась с дилеммами, обуслов­ленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики.

Возможны два представления того, что было сделано в филосо­фии математики в последнее время. Одно пыталось увязать новые исследования с традиционными направлениями —логицизмом, фор­мализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой важной проблемы П. Бенацеррафом в его работе Математическая истина (35).

Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математичес­кие объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов подразу­мевает совершенно определенную концепцию познания —так называ­емую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не един­ственная теория, и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно пере­формулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекатель­ными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. Мно­гие исследователи соглашаются, что при обсуждении эпистемологи­ческих вопросов приходится решать и главный онтологический вопрос о существовании математических сущностей, и решать его надо так, чтобы не нужно было жертвовать стандартной математикой, как это происходит при традиционном номиналистическом подходе. Но как нам кажется, эпистемологический вызов философии математики, иниции­рованный Бенацеррафом, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области философии.

Превосходно «эпистемологический поворот» в философии мате­матики выразил У. Харт: «Во время заката чувственных данных и ана­литичности эпистемология как будто потеряла гордое место центра посткритической философии и, вероятно, современной философии во­обще. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемоло­гия как будто закатилась. Фреге ниспровергнут, и почти все чувствуют, что древность более уместна, чем современность. Но даже если эпис­темология заслуживает пару пинков, тем не менее, она остается пол­ноправным гражданином философской республики. Причины этого очевидны. Некоторые из самых глубоких проблем философии состоят из примирения естественных, но несовместимых эпистемологии и он­тологии. Например, не случайно, что есть проблемы других умов и про­блема соотношения ума и тела. Но нигде такой конфликт не является более древним, чем в философии математики. Для сочувствующего читателя Менона или Пира или же середины Государства должно быть ясно, как Платон героически сражается в поисках правдоподобной эпистемологии для теории форм. Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм, и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положе­ний эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом являет­ся не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (36).

Эпистемологизация математики может рассматриваться в пер­вую очередь как реакция на философски затруднительную позицию платонизма. Традиционно платонизм считался спорным онтологи­чески, т.е. как доктрина о существовании вне и независимо от разу­ма объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое возражение против платонизма, сформулированное четко Бенацер­рафом, делает упор на невозможности эпистемологического досту­па к такого рода объектам. Другими словами, если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами. В такого рода аргументации, конечно, важно, что собственно имеется в виду под познанием объектов. Та­ким образом, мы имеем некоторые очертания эпистемологического подхода к опровержению платонизма.

В некотором смысле вся история философии математики связа­на с борьбой против платонизма, и поскольку это предприятие нельзя назвать особенно успешным, возникают сомнения относительно того, можно ли вообще найти решение этой проблемы, т.е. можно ли считать, что есть серьезные аргументы за или против платониз­ма. Причем ситуация тут несимметричная, поскольку платонизм является «намеренной» философией математиков, в то время как антиплатонизм — результат по большей части (если исключить ин­туиционизм) философских исследований. Поэтому каждый антиплатонистский шаг подразумевает собственную стратегию и классифи­кацию альтернативных решений. В этой связи весьма интересным представляется подход М. Балагера, который полагает, что тщатель­ный анализ технических аргументов не дает оснований считать, что они решительно свидетельствуют в пользу платонизма или антипла­тонизма (37). В следующем ниже обзоре эпистемологических аргумен­тов мы существенно опираемся на эту работу.

Балагер полагает, что работа Бенацеррафа Математическая ис­тина, которая, по общему признанию, вызвала к жизни эпистемологические программы опровержения платонизма, явилась не больше, чем инспирацией, поскольку в ней были спутаны различные про­блемы. В частности, Бенацерраф сделал упор на несовместимости семантики Тарского для математических языков с причинной тео­рией познания. Недостаток такого подхода состоит в том, что мате­матические языки могут обладать и другой семантикой, например, подстановочной (38), а причинная теория познания не является един­ственной или выделенной среди других теорий (39). Тем не менее, по­лезно представить аргументацию Бенацеррафа в следующем виде:

1. Люди существуют в пространстве и времени.

2. Если существуют абстрактные математические объекты, то они существуют вне пространства и времени.

Следовательно, согласно причинной теории познания,

3. Если существуют абстрактные математические объекты, тог­да человеческие существа не могут иметь к ним познаватель­ного доступа.

Следовательно,

4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.

Следовательно,

6. Математический платонизм не верен.

Это несколько дотошный анализ аргументации Бенацеррафа мож­но было бы заменить одним пунктом 3, который концентрируется вок­руг более общей проблемы, как познаются абстрактные объекты. При­чинная теория познания утверждает, что для того, чтобы субъект А знал р, необходимо наличие причинной связи между А и р, подходящим об­разом установленной. Поскольку установление причинной связи меж­ду субъектом и абстрактными объектами проблематично, аргумента­ция сторонников платонизма направлена против причинной теории познания. Проблематичность эта не усматривается мистически настро­енными мыслителями, например, К. Геделем, но в целом ее осознает большинство философов-платонистов.

Сразу следует отметить, что сейчас мало кто считает точку зре­ния Геделя приемлемой, полагая ее странной и слишком метафо­ричной. Более точная формулировка его представлений включает следующие утверждения: во-первых, математическая интуиция ана­логична чувственному восприятию; во-вторых, математическая ин­туиция включает информационный обмен между абстрактными ма­тематическими сущностями и людьми; в-третьих, тезис (1) ложен.

С точки зрения здравого смысла попытка объявить ложным ут­верждение о том, что человеческие существа не выходят за пределы пространства и времени, отдает мистикой. И действительно, «Ге­дель разделял с Эйнштейном определенный мистический поворот мысли... Я спросил его [Геделя], верит ли он, что Ум есть везде, в противоположность локализованным мозгам отдельных людей. И Гедель ответил: "Конечно. Это основное мистическое учение"» (42).

Абсолютный Ум, или отдельные умы, имеют нематериальный, и стало быть, внепространственный и вневременной характер. Тог­да возражение платонизму на основе причинной, или какой-либо другой теории познания, сводящееся к тому, что трудно представить себе поток информации от абстрактных объектов к человеческим существам, становится как будто менее серьезным, поскольку чело­веческие существа заменены нематериальными умами. Однако та­кая замена не спасает платонизм, потому что передача информации, которая является процессом причинным, от абстрактных объектов к нематериальным умам не менее загадочна по сравнению с переда­чей информации от абстрактных объектов к человеческим существам.

Таким образом, крайний платонизм в версии Геделя неправдо­подобен, и объяснение интуиции как средства познания следует ис­кать на другом пути. Недаром Гедель значительную часть времени уделил изучению философии Канта и Гуссерля, в работах которых интуиция занимает важное место. Другими словами, идея контакта с другими мирами не проходит. Впрочем, несмотря на то, что эти идеи исходили от столь авторитетного ученого, как Гедель, их никто не принимал и не принимает всерьез.

С точки зрения логики вполне возможна защита платонизма _путем признания ложным пункта (2), т.е. отказ от утверждения, что абстрактные математические объекты существуют вне пространства и времени. Именно такова позиция П. Мэдди, описанная выше. На сегодняшний день Мэдди отказалась от своего в достаточной мере радикального реализма в пользу натурализма. Менее радикальным решением в выработке стратегии защиты платонизма является при­знание (1) и (2) с одновременным отказом от того, что из этих утвер­ждений следует (3), а именно, что если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательный доступ. Большая часть исследователей придерживается именно такой стратегии. Наиболее основательная аргументация в этом направлении представлена В. Куайном.

Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим дать четкую классификацию направлений и кон­цепций современной философии математики, является понимание основного термина — «реализм». С. Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что "числа существуют". Антиреалист говорит: "числа не существуют". Тут страсти нешуточные. Оппонентов час­то называют "теологами", "скептиками" — весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Я хочу понимать эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много смыслов. Один — что математические объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой — что утверждения различных областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения независимо от конвенций, языка и правил математиков, и что основная часть утверждений компетентных ма­тематиков истинна. Это — реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реа­лизма. Мэдди и Гедель — реалисты в обоих смыслах. Даммит — антиреалист в обоих смыслах. Хеллман и Чихара — антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек — реалист в онтологии и антиреалист в истинностных зна­чениях — это Теннант» (43).

Перечисленные выше старые и новые направления в филосо­фии математики не исчерпывают всех подходов, поскольку все они принадлежат некоторому «канону», который превосходно ощуща­ется аналитическими философами. Однако есть и радикально дру­гие подходы к философии математики, и среди них следует выде­лить философа Ф. Китчера и математика Р. Херша.

Для Китчера математические утверждения суть совокупность операций, выполняемых идеальным субъектом (44). Он полагает мате­матику цепью непрерывных концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода иссле­дованиях предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальны­ми изменениями по ходу развития математики. Ясно, что философия Т. Куна занимает в позиции Ф. Китчера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к причинной теории указания Крипке — Патнэма, согласно которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некото­рому исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь упирается в перцептуальное познание наших предшественни­ков-предков. В этом ключе, утверждая важность психологии, Кит­чер отказывается от эпистемологической ориентации в исследова­нии природы математических истин. Если обычная позиция в фило­софии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих ис­тин, то Китчер полагает, что большая часть людей уже знает значи­тельную часть математических истин, и задача философского исследо­вания состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это знание.

Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии ма­тематики. Между тем возможен более радикальный взгляд на фило­софию математики, который, как считает Р. Херш, больше соответ­ствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в повороте философии математики к практике некоторые фило­софы высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.

• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание абстрактных концепций Фреге и вневременной объектив­ной реальности.

• Математическое знание погрешимо. Подобно науке, матема­тика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).

• Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Исполь­зование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.

• Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика является не самым лучшим способом решения этих проблем.

• Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математи­ку из литературы или религии. Тем не менее математические объек­ты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям (45).

Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в фило­софии — социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с социальным конструированием (46). Дело в том, что признание мате­матики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманис­тической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере математических истин. Но если, как это утверждает гума­нистическая математика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике изменяются по ходу познания.

Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики достаточно глубок, поскольку отражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и по­пытки радикального отделения философии от математики вообще. Р. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по по­воду математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в матема­тике, — это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отноше­ния к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.

Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже признание того, что «ничего из этого не работает», существует ряд направлений, призванных придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть пол­ное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное убеждением, что философская оценка математичес­кой деятельности бесплодна: математическая деятельность не име­ет в себе скрытого смысла, искомого философией, и сама филосо­фия неправильно следует в своих собственных стандартах строгос­ти, на которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой фундаментальной об­ласти философии требуется ответить на упреки гуманистической математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по основаниям математики и в целом в философии математики.

Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо фило­софских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математичес­ких объектов или утверждений ничего не вносят в математику и яв­ляются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посто­ронних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, онтологией или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в про­тиворечие со своей собственной практикой.

В этом отношении близким взглядом является натурализм, ха­рактеризуемый Куайном как «отказ от первой философии» и «осоз­нание того, что только в рамках самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность». Мэдди применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть изоли­рована от традиционных философских исследований. Ну и все про­блемы в математике должны решаться математиками как математи­ками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?

Известно, что многие знаменитые математики были философа­ми. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой логики и неполноты арифме­тики. Например, теорема полноты есть следствие некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь не­многие счастливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.

Р. Херш продолжает атаковать философию математики еще бо­лее яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая филосо­фия работающего математика, а именно платонизм, ущербна в са­мой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: «Проблема состоит в том, что Плато­низм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога». Херш полагает, что «традиционная философия осознает толь­ко передовой фронт математики». Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сфор­мулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом кон­текста, с новой возможностью решить их; 2) показать, что нет нуж­ды философствовать по поводу математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Одна­ко пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отноше­нию к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает заниматься в основном (3). Внутренний участник мо­жет дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутрен­них участников являются повседневными платонистами, а по вы­ходным — формалистами, что вносит философскую путаницу (47).

Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильбер­та) были осведомлены о «задворках» математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надеж­ность математического размышления. Социальный характер мате­матики является тривиальным обстоятельством, свойственным все­му человеческому знанию.

В подобного рода рассмотрениях важное место занимает пози­ция работающего математика, или, более фундаментально, матема­тическая практика. Любое обсуждение философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей понятие практики часто принимает нужную форму в угоду философским предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой научная практика, или, более точно, какова структура научной практики, которая является предметом философского анализа. В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик дока­зывает истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики. Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры тео­ретической и экспериментальной работы, принятые методы размыш­ления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу научного поиска. Ф. Китчер рас­сматривает математическую практику как предприятие, включаю­щее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложе­ний, множество принятых способов рассуждения, множество при­нятых в качестве важных вопросов и множество метаматематичес­ких взглядов (стандарты доказательства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) (48).

Таким образом, традиционные взгляды на философию матема­тики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с фило­софией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точ­ку опоры в будущей философии математики, если ей суждено вы­жить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориен­тация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.

Литература

К Введению

' Rota G.-C. The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy/I SyntheseSS: 165—178,1991 —P. 167.

² Ibid. — P. 168—169

³ Putnam H. Review of the Concept of a Person II Philosophical Papers. Mind, Language and Reality. — Cambridge: University Press, 1975. — Vol. 2. — P. 132—133.

⁴ Martin R. Intension and Decision. — N.Y., 1964. — P. 42.

⁵ См., например: Lavine Sh. Understanding the Infinite. — Cambridge: Harvard University Press, 1994.

⁶ Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. — P. 262.

⁷ Maddy P. Realism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1990.

⁸ Maddy P. Naturalism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1997.

⁹ Rota G.-C. Mathematics and Philosophy: Story of Misunderstanding II Review of Metaphysics. — 1990. — Vol. 44, N 174, Dec.

10 Rota О -С Mathematics and Philosophy. — P. 260.

К главе 1

¹ Клайн М. Математика: утрата определенности. — М.: Мир, 1984.

² См., например: Korner S. The Philosophy of Mathematics. — L.: Hutchinson,

³ Mostowski A. Thirty Years of Foundational Studies // Acta Philosophica Fennica, _t' Fasc. 17. — Helsinki, 1965. — P. 8.

⁴ Хао Ван. Процесс и существование II Математическая логика и ее примене- { ние. — М., 1965.

⁵ Hersh R. A Fresh Winds in the Philosophy of Mathematics II Amer. Math. Monthly. — 1995. — Aug.-Sept. — P. 590—591.

6 Hintikka Ja. Lingua Universalis vs Calculus Ratiocinator. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — P. 2.

10 www.math.psu.edu/simpson/fom/posting/006/msg00142.html

1. 
   Назовите философские программы в области оснований математики и логики, начатые в конце XIX - начале XXв. Дайте их характеристику (М. Клайн. Утрата определенности. М., 1984, гл. X, XI).
   
2. 
   Какие мнения А. Мостовского и Хао Вана приводит автор статьи о причинах возникновения программ? Можно ли дать другое объяснение обращения математиков к философии?
   
3. 
   Какую параллель проводит Р. Херш между развитием философии науки и философии математики?
   
4. 
   Какие новые открытия принесли математике исследования по основаниям математики? Что такое алгебраизация логики? Приведите еще факты, когда побочные продукты исследования оказались более важными, чем исходные цели?
   
5. 
   Согласны ли вы с тем, что стандарты аргументации в философии часто диктуются не столько разумом, сколько эмоциями?
   
6. 
   Можно ли считать неудачей (кризисом) развитие исследований по философии математики на том основании, что оно закончилось их превращением из философских в сугубо математические?
   

7. 
   Назовите 8 направлений в философии математики, которые приводит Х. Патнэм. Почему Патнэм считает, что от первых четырех следует отказаться?
   
8. 
   Только ли для современной аналитической философии и философии математики характерно многообразие направлений? Объясняется ли это тем, что в этих сферах работает много философов? Или возможно какое-то другое, более принципиальное объяснение?