Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

1. 
   Что такое реализм как философское направление? Что такое социологический реализм?
   
2. 
   Что означает платонизм в понимании природы математики?
   
3. 
   «Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе». Как признание того, что математика является дискурсом, заставляет усомниться в платонизме?
   
4. 
   Какие два смысла тезиса «математика социальна» называет Коллинз?
   
5. 
   Почему математика, по мнению Коллинза, не является ни царством платонистских идеалов, ни царством субстантивных вещей?
   
6. 
   Почему неверно считать математику состоящей из тавтологий?
   
7. 
   Как Коллинз объясняет высокую достоверность математики?
   
8. 
   Покажите, что неверно ассоциировать «социальный конструктивизм в социологии науки» с антиреалистской позицией относительно предметов, или сущ­ностей, науки.
   
9. 
   «Чем же тогда является реальность теоретических предметов науки?»
   
10. 
    Что такое «устойчивая реальность» науки? Назовите, на основании каких соображений Коллинз считает электричество устойчивой реальностью?
    
11. 
    Что такое квазиреализм?
    
12. 
    Как возможно то, что математика столь часто оказывается при­менимой к естественному, нечеловеческому, несимволическому миру? Почему она стала настолько полезной в естествознании?
    
13. 
    «Абстрактная математи­ка, рефлексивно возникающая на основе таких операций, остается частью природного мира. Фактически это эмпирическое исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм оперирования своими же предыдущими операциями». Поясните сказанное.
    
14. 
    «Применимость в науке математических процедур не долж­на восприниматься как нечто удивительное». Как Коллинз обосновывает эту точку зрения?
    
15. 
    Как Коллинз объясняет, что «математика одновременно эмпирична и концептуальна»?
    

Главным предметом исследования являются не учения и не философы, но сети личных связей между ними, как вертикальные (учитель — ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников, сопернича­ющие между собой). На основе изучения множества биографических источников Коллинз выстроил несколько десятков "сетевых карт" - схем личных знакомств между философами и учеными для всех рассмотрен­ных им традиций. Этими картами охвачено 2670 мыслителей. Обширность эмпирического материала не подавляет, поскольку он осмыслен в единой стройной теоретической схеме.

Это единство социологической теории, применяемой к разным эпо­хам и культурам, следует подчеркнуть особо, поскольку оно находится в прямом противоречии с до сих пор модным среди отечественных ученых

цивилизационным подходом, подразумевающим уникальность, несравни­мость, смысловую замкнутость каждой крупной культурной традиции (то, что Коллинз называет "партикуляризмом").

Основные понятия теории Коллинза представим как баланс общего и особенного. С одной стороны, везде с интеллектуалами происходит "одно и то же": идет кристаллизация групп (фракций), мыслители и их группировки ищут и используют организационные основы, спорят меж­ду собой, что составляет основу интеллектуальных ритуалов с обменом культурным капиталом и эмоциональной энергией, формулируют интел­лектуальные позиции, соперничают между собой за пространство вни­мания, делятся или объединяются, заимствуют и распространяют вовне свои идеи, комментируют классиков, переживают периоды расцвета твор­чества и времена идейного застоя, образуют соответствующие интеллек­туальные сети (те самые связи личных знакомств между мыслителями), • завоевывают долговременные интеллектуальные репутации при условии непрерывности спора во многих поколениях, достигают все более высо­ких уровней абстракции и рефлексии, развивая космологические, мета­физические, эпистемологические и другие последовательности. С дру­гой стороны, везде и во все времена это происходит по-разному. Уникаль­ность отнюдь не игнорируется, но Коллинз показывает, каким именно образом эти неповторимые конфигурации складываются из принципиаль­но общего состава "ингредиентов" интеллектуального творчества.

Обратимся к проблеме реальности объектов познания, которой по­священ эпилог книги, имеющий заглавие "Социологический реализм". Специфика позиции Коллинза состоит в том, что он, с одной стороны, твердо и убедительно отстаивает тезис о социальной природе всякого познания (в том числе математического и естественно-научного), а с дру­гой стороны, из своей версии социального конструктивизма делает не скептические и релятивистские, но вполне реалистские выводы.

Свои рассуждения Коллинз начинает с расширенной, по сути, соци­ологической трактовки cogito. Утверждать "я мыслю" - значит утверж­дать, что существуют время, пространство, язык, понятия с универсаль­ными значениями, сообщество людей, способных понимать такие выска­зывания. Далее, это предполагает существование преемственности идей и аргументации, а также носителей данной преемственности - уходящих в глубь времен сетей из таких людей и сообществ. От этих сетей делает­ся ход к существованию организаций, поддерживающих интеллектуаль­ные сообщества (школы, академии, монастыри, патронаж, университеты и т.д.), и остального социального и физического мира, соразмерного человеку. Результаты такого использования cogito практически совпадают с реализмом здравого смысла, - здесь особенно сложных проблем Коллинз не видит. Трудности возникают при выходе за пределы соразмерного че­ловеку мира - в мир теоретических естественно-научных (атомы, микро­частицы, эфир, поля, струны и т.д.) и математических объектов (числа, геометрические фигуры, алгебраические структуры, множества).

В публикуемом в этом номере журнала фрагменте видно, каким об­разом Коллинз пытается модифицировать свой принцип социологичес­кого cogito применительно к объектам этих двух типов. Он отвергает наи­более привычные позиции — натурализм (окультуренный наивный реа­лизм) для естествознания и платонизм для математики. Оба этих отрица­ния, когда они делаются не с априорно идеалистических, а с реалистских позиций, открывают весьма любопытные эпистемологические и онтоло­гические перспективы. В этом пространстве сам Коллинз намечает соб­ственную доктрину - "социологический реализм". В дальнейших рассуж­дениях попробуем воспользоваться открывшимся концептуальным про­странством, но не привязываться к достаточно узкой позиции самого Кол­линза.

В рамках социологического реализма, предложенного Коллинзом, реальность объектов естествознания обосновывается через реальность соразмерных человеку лабораторного оборудования, соответствующих надежно воспроизводимых феноменов и интеллектуальных сетей (при­чем сети оборудования и сети людей как бы паразитируют друг на дру­ге). Реальность оборудования и работающих на нем людей обосновыва­ется через расширенное понимание cogito (см. выше) и через универсаль­ность принципа in medias res (лат. "среди вещей").

Основное несогласие в таком подходе вызывает то, что предмет познания здесь практически сводится к средству познания (сетям оборудо­вания и людей). Примем в качестве предпосылки весьма общую позна­вательную установку - искать субстанциональное в объекте, пользуясь максимально широким спектром подходов и средств его познания, обоб­щая соответствующие (возможно, весьма различные) результаты и отвле­каясь от специфики отдельных средств и подходов. Приложение этой установки к тезису Коллинза дает два любопытных результата. Во-пер­вых, выйти за пределы обозначенных Коллинзом сущностей не удается: невозможно представить себе естествознание без сетей оборудования (связанного, как минимум, в генетическую сеть, или генеалогию, указы­вающую на происхождение одних приборов от других) и без интеллекту­альных сетей (людей, связанных между собой, как минимум, отношением "учитель - ученик"). Даже чистое собирательство и наблюдение за природой предполагают ту или иную систематизацию, которая является особым символическим "оборудованием". Во-вторых, внесение макси­мального разнообразия (в порядке мыслительного эксперимента) в сети оборудования и сети ученых-естественников оставляет одно существен­ное единство - некие инварианты в целях познания и воспроизводимых феноменах. Действительно, имеет смысл сопоставлять только те научные сообщества и сети, которые заняты изучением примерно одной области (будь то небесные светила, приливы и отливы, падение тел, свойства ве­ществ, устройство растений или поведение животных).

Отсутствие надежно воспроизводимых феноменов указывает на прак­тическое отсутствие достигнутых знаний о предметной области. Остав­ляем для рассмотрения только такие сообщества и сети, в которых зна­ния существуют, а соответственно существуют и группы воспроизводи­мых феноменов. Совершенно ясно, что в независимых сетях (например, в европейском и китайском естествознании до контактов в XVII-XVIII вв.) должны появляться разные феномены, которые получены с помощью разного оборудования и осмысливаются в разных концептуальных кодах. Здесь коллинзовская зависимость феноменов естествознания от сетей оборудования и от людских сетей проявляется особенно четко. Однако анализ на этом не должен останавливаться. Именно кардинальное разли­чие феноменов, получаемых относительно одной и той же предметной области (например, человеческого организма или небесных светил), все­гда вызывает острый интерес к причинам этого различия, к попыткам обобщения существенных черт в разных традициях и отвлечения от ар­тефактов, связанных с местной культурной, символической, технологи­ческой спецификой.

Иначе говоря, при неизбежной зависимости естественно-научного познания от сетей оборудования и интеллектуальных сетей (ученых) кар­динальную роль в проблеме реальности объектов естествознания играет общность воспроизводимых феноменов, выявляемая поверх специфичес­ких различий локальных сетей. Источником этой общности и будем считать "упрямую реальность" объектов естествознания.

Здесь обнаруживается хорошо известное в натурфилософии глу­бокое затруднение. В сердцевине любого естественно-научного откры­тия всегда лежат человеческие понятия. Кроме того, в развитых обла­стях естествознания такими понятиями являются весьма изощренные математические конструкции, относительно которых достоверно из­вестно, кто и когда изобрел их самих или их ключевые составляющие.

Поставим соответствующий и весьма традиционный для натурфило­софии вопрос так: почему внечеловеческий и беспонятийный внешний мир объектов действует согласно человеческим понятиям? Тот же воп­рос можно поставить более поэтично" откуда Природа знает формулы собственных законов? Если она их не знает, то почему с таким завид­ным постоянством эти законы в Природе выполняются?

Оставим пока эти вопросы без ответа и обратимся к самой матема­тике, точнее, к проблеме онтологического статуса математических объек­тов. Здесь Коллинз полемизирует с платонизмом и предлагает следующее обоснование их реальности. Все то, что происходит в математике, происходит только среди тех, кто с математикой знаком (ход от универсально­сти платонизма к интеллектуальным сетям). "Вещность" математических объектов (например, чисел, переменных, функций) иллюзорна: то, что кажется "идеальной вещью", является лишь обозначением операции или комплекса допустимых операций (ход от платонистской реификации к операциям, совершаемым людьми). Далее, сами новые математические понятия и конструкции не возникают ниоткуда, — они являются обобще­ниями, расширениями, свертками многих предшествующих уровней ма­тематических операций. В корне же таких операций лежат вполне мате­риальные жесты, например подсчет предметов одним человеком в при­сутствии другого (пусть даже воображаемого другого). Такие операции социальны, материальны и соразмерны человеку, соответственно они подпадают под действие расширенного cogito. От реальности этого кор­ня Коллинз ведет реальность и последующих разветвляющихся матема­тических миров.

Прежде чем спорить с заявленной позицией, подчеркнем ценность исходной установки -установки на преодоление традиционного матема­тического платонизма (от Пифагора и Платона через Декарта, Лейбница и Канта к Фреге, Кантору и Расселу). Суть этой широко распространен­ной и часто неосознаваемой установки хорошо выражена в следующем пассаже из Н.Бурбаки: «Каковы бы ни были философские оттенки, в ко­торые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайне мере один пункт, в кото­ром они единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства, так же как физик не мо­жет изменить какое-либо природное явление. Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются реакции психологическо­го порядка, в которые нам не следует углубляться, но которые хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь

поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее. Отсюда до приравнивания этого сопротивления обстоятельствам, ко­торые противопоставляет нам внешний мир, - один шаг; и даже се­годня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита: "Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются про­извольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реаль­ности, и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики, или зоологи"» [2].

Платонистская установка, столь привычная и, вероятно, по-свое­му полезная для практикующих математику, должна быть поставлена под вопрос в философии математики по следующей причине. Мате­матический платонизм заслоняет сложнейшую онтологическую про­блему специфики математических объектов и специфики их пресло­вутого "упрямства", заставляющего отвергнуть их рядоположенность другим объектам воображения, с которыми мы можем обращаться произвольно. Если платонистский мир математики существует так же, как мир частиц, волн и полей для физика, мир веществ для химика и мир животных для зоолога, то проблем нет — просто учись входить в этот мир (читай: учись математике) и исследуй выбранную область.

Другой сомнительной стороной математического платонизма явля­ется его плохая совместимость с историей математики. В последней бо­лее или менее хорошо осознаны большие этапы создания крупных час­тей математического знания. Платонизм же подразумевает только обна­ружение предсуществующего.

Проблема состоит в том, как вырваться из крепких объятий пла­тонизма, не утеряв при этом неоспоримую реальность "упрямства" ма­тематических объектов. Претензии к версии решения этой проблемы Коллинзом ему уже высказывались: абстрагирование и обобщение операций не означают отсутствия нового самостоятельного содержа­ния на новом уровне абстракции. Кроме того, математика не апелли­рует к примитивным коммуникативным операциям, каждый раз дис­курс ведется на релевантном уровне абстракции. Если бы математика основывалась на изучении коммуникативных операций, она являлась бы одной из социальных наук, что с очевидностью неверно. К этой критике я добавлю такое возражение: само рассуждение Коллинза базируется на специфической предпосылке, состоящей в том, что оп­равдание реальности абстрактных объектов возможно только при выведении их из социальных, материальных, соразмерных человеку яв­лений. Данная предпосылка вовсе не очевидна и никак не обоснована.

Объекты математики имеют свою "твердую", или "упрямую", ре­альность (в отличие от обычных воображаемых объектов, доступных для индивидуального произвола), поскольку их свойства и связи, а также соответствующие явления (например, наличие или отсутствие решений задачи, доказуемость или недоказуемость теоремы) надежно воспроизводимы в умах обученных математиков и в их общении. Коллинзовский смысл данного тезиса заключается в жесткой привя­занности математических миров (как вместилищ соответствующих объектов) к сообществам и сетям математиков. Такой вывод, по всей видимости, неизбежен. Далее начинается расхождение. Дело не в сво­димости математических объектов ко все более и более простым и кон­кретным операциям, а в пределах возможного и невозможного каждой заданной области математического мира. Эти пределы зада­ются в исходных понятиях, явных и неявных аксиомах и определени­ях, которые вовсе не обязательно сводимы к каким-то примитивным операциям.

Проведем аналогию с шахматами. Современные гроссмейстеры противопоставляют друг другу в своей игре разнообразные шахмат­ные идеи стратегического и тактического характера. Эти идеи имеют смысл и возможность реализации как в широких рамках правил шах­матной игры (некий аналог теории множеств и фундаментальных ло­гических законов в математике), так и в более узких рамках шахмат­ной традиции, вплоть до пространства каждой конкретной партии (ана­лог математической задачи). Сводить, подобно Коллинзу, содержание сложнейших (или гениально простых - для знатоков) математических идей к операциям счета - все равно что сводить содержание современ­ных шахматных идей к войсковым единицам (коннице, пехоте, офи­церам), из абстрагирования и символизации которых родилась когда-то в Индии шахматная игра. Пользуясь метафорой того же Коллинза, можно сказать, что математика и шахматы давно вырвались из порож­давших их конкретных структур, подобно тому как воздушный шар вырывается из пут, держащих его у поверхности земли.

Для уяснения сути "упрямства" математических объектов исполь­зуем еще одну метафору - порождаемые лабиринты. Допустим, что за­дание некой совокупности объектов со свойствами, связями и прави­лами взаимодействия (например, правила заполнения или незаполне­ния клеток в некоторой бесконечной сетке) автоматически порождает некий невидимый лабиринт. Его можно обнаружить либо эмпиричес­ким путем, выявляя в каждом месте наличие или отсутствие перего­родок, либо теоретически - через оперирование исходными данными. Пока нет сообщества, обученного правилам работы с такими лабирин­тами, нет и лабиринтов. Зато обученный человек, которому заданы порождающие лабиринт условия, сталкивается с этим лабиринтом уже как с независимо от него существующим миром, подобным миру фи­зика, химика или зоолога.

Почему же шахматы и шашки, карты, кости, раскладывание пасьян­сов, игры в "лабиринты" и "стратегии" считаются досужим времяпре­провождением, а математика - серьезнейшей наукой, царицей наук? Дело здесь, видимо, в специфике направленности поисков, в специфике направ­ленности развития и интерпретируемости. В играх при фиксированном уровне абстракции объектов и операций интерес задается либо случай­ностью расклада (карты, кости, пасьянс, стохастический элемент в ком­пьютерных играх), либо борьбой и непредсказуемостью поведения про­тивника (шахматы, шашки). В математике объекты сходны с игровыми объектами в своей глубинной онтологии. Разница же заключается в том, что в математике каждый уровень абстракции исследуется целиком в своих обязательных аспектах (это касается и теории вероятностей, системати­чески исследующей закономерности в случайных процессах), а далее интерес обращается не на варьирование переменных при том же уровне абстракции, а на принципиальное изменение самих исходных объектов и правил (обычно в сторону обобщения, абстрагирования и расширения) и на исследование обязательных аспектов нового появившегося "лабирин­та" - математического мира. Благодаря систематически растущей абст­ракции растут и области интерпретации математических конструкций, что влечет за собой возможности практического применения огромного на­копленного разнообразия математических аппаратов.

Особую жесткость, цельность и красоту математическому зданию придают систематическое накопление и эффективное использование "сверток" - краткого обозначения сложных, ранее доказанных выводов (теорем и т.д.). Воспользуемся вновь метафорой лабиринта. Допустим, удалось доказать, что из каждого пункта типа А можно попасть в любой пункт типа Б менее чем за и ходов. Далее представим лабиринт, состав­ленный из множества ранее уже рассмотренных лабиринтов, где суще­ствуют пункты типа ан Б. Теперь в решении задач относительно прохо­димости в большом лабиринте уже не нужно каждый раз заново рассмат­ривать проходимость между пунктами типа А и Б в малых лабиринтах.

Здесь просто используется свертка, смысл которой выражается пример­но так: в рамках любого малого лабиринта от любого А до любого Б тре­буется менее чем п ходов. Систематическое и надежное использование таких сверток и составляет ту самую "машинерию" математического от­крытия, о которой столь много говорит Коллинз.

В данном контексте целесообразно вновь обратиться к синтети­ческим априорным суждениям Канта, поскольку их существование и роль в математике для многих философов (в том числе и для такого крупного авторитета, как Б. Рассел [3]) продолжают служить доводом в пользу платонизма. Вспомним классическое рассуждение Канта. Число 12 аналитически не заложено в сумме 5+7. Утверждение 5+7=12 синтетично, т.е. дает расширение знания, а не просто прояс­няет уже имеющееся. В то же время в отличие от эмпирических (апо­стериорных) суждений оно априорно, так как, по Канту, "выражает не­обходимость одних только понятий" [4].

Ясно, что кантовская "необходимость понятий" означает примерно то же, что и "упрямство математических объектов" в нашем рассуж­дении. Мы не вольны считать сумму 5 и 7 каким-либо угодным нам числом, но с необходимостью приходим к согласию с упрямым мате­матическим фактом: данная сумма равна 12. Любопытно, что Кант по­казывает эту необходимость буквально "по-коллинзовски": "В самом деле, беру сначала число семь и затем, для получения понятия пяти, прибегая к помощи созерцания пальцев своей руки, присоединяю по­степенно к числу 7 с помощью этого образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как возникает число 12" [5]. Однако совершенно ясно, что дело здесь не в способе "созер­цания", а в наличии весьма сложного понятия числового ряда и его использовании вкупе с операцией сложения. Числовой ряд - это и есть тот самый невидимый "лабиринт", образованный порождающими пра­вилами прибавления единицы и десятичной системы записи чисел. Операции сложения, вычитания и прочие, на них основанные, анало­гичны "ходам" в лабиринте и "сверткам" уже проложенных "ходов". Следует обратить внимание также на лицо, ведущее счет: это вовсе не трансцендентальное "Я", не Разум и не совокупное Человечество, но представитель (например, сам автор рассуждения - Кант) сообщества, знакомого с числовым рядом и элементарной арифметикой, т.е. тот, кто имеет ментальный "доступ" к лабиринту.

Кантовскую "синтетичность" следует интерпретировать как не­тождественность "порождения" "включению". Исходные правила порождают числовой ряд и соотношения между числами (в нашей ме­тафоре - невидимый лабиринт и наличие ходов между пунктами), но не включают в себя всю эту совокупность элементов в качестве своих предикатов. Кантовскую "априорность" следует освободить от плато­нического универсального "ноуменализма" и придать ей более част­ный и ограниченный характер: для математического мира, заданного конкретной математической конструкцией, и для сообщества матема­тически образованных людей, умеющих с этой конструкцией обращать­ся и в этом математическом мире проводить разрешенные операции. Тут-то и возникает закономерное и ожидаемое платоновско-кантовско-расселовское возражение: как ни ограничивайте ваши миры и сооб­щества, а 2+2=4, 5+7=12 и т. д. всегда, везде, для всех и вообще неза­висимо от нас - в "настоящем" мире (идеальном, ноуменальном или реальном - выбирайте по вкусу).

В данном пункте, вместо того чтобы продолжать отстаивать соци­альный конструктивизм человеческого знания вообще и математическо­го в частности (например, указывать на множественные системы исчис­ления, альтернативные геометрии и т.д.), я пойду навстречу и задамся вопросом: чем в действительности вызвано столь широкое и эффектив­ное применение математики, почему такой обширный круг явлений и операций успешно описывается (и даже управляется) с помощью мате­матической экспликации? Как видим, такого рода вопросы смыкаются с проблемой философии естествознания, которую мы оставили нерешен-i ной: почему естественные, независимые от человека явления Природы ] происходят в прямом или весьма близком соответствии с законами, сформулированными людьми в человеческих понятиях, в том числе в сложных и изощренных математических понятиях?

Вначале обратим внимание на то, что в Природе происходит далеко не все, что способна описать математика. Далее, согласимся, что в При­роде существуют какие-то (пока неопределенные) упорядоченности, т.е. повторяющиеся явления и устойчивые связи между ними. При отсутствии таковых (полном хаосе) ни один прибор никогда бы не показал никаких воспроизводимых феноменов, однако такие феномены существуют. Те­перь вопрос переформулируется следующим образом: почему природные упорядоченности имеют место в соответствии с отдельными понятийными (в частности, математическими) конструкциями?

При такой постановке проблемы решение уже проясняется. При­роде ничего не нужно "знать". В ней нет ни понятий, ни истин, ни формул, ни чисел (на заметку исследователям фундаментальных постоянных физики). В Природе есть какие-то явления и упорядоченности явлений (с той поправкой, что в выделении и отделении явлений друг от друга уже заключается первичная концептуализация). Все ос­тальное, что можно сказать о Природе, тем более является искусст­венным символическим порождением интеллектуальных сообществ и сетей (с последующим "паразитическим" наслоением лабораторного оборудования). Зато эти символические системы, особенно концепту­альные конструкции и самая точная, абстрактная и рафинированная их часть - математика, в процессе развития интеллектуальных сетей стали настолько широкими и гибкими, что оказалось возможным ими­тировать в упорядоченности концептуальных миров (в том числе ма­тематических) упорядоченность явлений Природы.

Взлет экспериментального и математического естествознания, традиционно связываемый с именами Галилея, Декарта и Ньютона, начался тогда, когда удалось найти такие понятийные объекты ("ква­зивещи") и правила (в частности, математические формулы), которые надежно и воспроизводимо порождают понятийные же упорядочен­ности, наделенные любопытным свойством. Оно заключается в пря­мом соответствии такой концептуальной упорядоченности с упорядо­ченностью опять же надежно воспроизводимых явлений, получаемых с помощью лабораторного оборудования и встроенной в него измери­тельной техники. Такую принципиальную структуру имеет каждое действительное открытие в естествознании.

Как же теперь быть с универсальностью истин типа 2+2=4? Во-первых, следует еще и еще раз повторить, что без операций счета и измерения, проводимых разумными существами (возможно, с помо­щью приборов), никаких чисел в Природе нет. Во-вторых, если в ин­теллектуальном сообществе появляются конструкции числового ряда и операции над числами, то 2+2=4 действительно имеет универсаль­ную значимость относительно любых систем исчисления и арифме­тических традиций (при внимании, обращенном на математические сущности, а не на частные знаковые системы). В-третьих, такого рода "априорные истины" прямо зависят от весьма жестких предпосылок, которые принимает (обычно неосознанно) всякий, кто ведет счет, -отдельности, устойчивости, некой эквивалентности объектов счета (попробуйте сложить быстро смешивающиеся облака или мерцающие блики на воде). Наша вера в надежность и универсальность истин арифметики вне самого математического мира абстракций зиждется на действительном наличии во внешнем мире разнообразных и обширныx областей с отдельными, устойчивыми и обладающими минималь­ной эквивалентностью объектами (от звезд до деревьев, домов, людей и книжек на полке), на относительной устойчивости значений изме­ряемых величин и т.д.

Итак, оказывается возможным совместить отказ от наивного реа­лизма и платонизма с социальной сконструированностью знания, но необязательно при этом сводить, подобно Коллинзу, реальность объек­тов естествознания к лабораторному оборудованию, а реальность ма­тематических объектов - к коммуникативным операциям.

Выработанную позицию относительно естествознания обозначим как транссетевой реализм. Здесь под сетями подразумеваются долго­временные сети (генеалогии) трех коллинзовских типов: интеллекту­альные сети ученых, генеалогии оборудования (цепи происхождения приборов от других приборов) и сети надстраивающихся понятий и теорий. Приставка "транс" означает здесь "сквозь": познание Челове­ком Природы хотя и осуществляется при необходимом посредстве указанных сетей, но содержание знания в конце концов задается не спецификой сетей, а сквозь них - явлениями и порядками самой При­роды. Согласно метафоре Коллинза, мечтать о независимости позна­ния от социальной (сетевой) сконструированное™ - все равно что мечтать о видении без помощи глазного яблока. Все же в своем соци­ологическом реализме Коллинз свел реальность объектов познания к его средствам, так сказать, интерпретировал видимое глазом в терми­нах структур глазного яблока. Транссетевой реализм, не соскальзывая к наивному реализму и платонизму, восстанавливает реальность внеш­него мира, проникающего к нам как с помощью социальных, техни­ческих и понятийных сетей, так и сквозь них.

Совсем другая позиция требуется для понимания сущности ма­тематических объектов. Здесь транссетевой реализм был бы равно­значен платонизму. Для математики изложенная выше позиция дол­жна быть обозначена скорее как генеративный виртуализм. Здесь виртуализм указывает: а) на чисто ментальный характер математи­ческих миров; б) на потенциал бесконечного развертывания; в) на жесткость, "упрямство", отсутствие произвольности в следствиях заданных конструкций. "Генеративный" ("порождающий", ср.: ге­неративная грамматика у Н. Хомского) означает здесь фундамен­тальную роль порождающих исходных математических понятий (с соответствующими виртуальными объектами) и правил опериро­вания ими (аксиом).

Вероятно, в заявленной позиции есть свои затруднения и проти­воречия. Перспективы, открытые смелым социологическим прозрени­ем Коллинза, достаточно широки и приглашают исследователей к новым поискам. По крайней мере, здесь была продемонстрирована их возможность.

1. Collins R. The sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. - Cambridge (Mass); London (England): Belknap Press of Harvard University Press, 1998.

3. См.: Рассел Б. История западной философии: В 2 т. - М.: Мир, 1993.

4. См.: Кант И. Критика чистого разума. - М., 1994 - С 37-40

5. Там же - С.39.

1. 
   Какие основные понятия вводит Р. Коллинз для исследования интеллектуальных сетей?
   
2. 
   Как в модели Коллинза задается реальность объектов естествознания?
   
3. 
   Какое понимание реальности математических объектов Коллинз противопоставляет платонизму? Стр. 28
   
4. 
   Какие аргументы против платонизма в понимании математических объектов называет Н.С. Розов?
   
5. 
   Признавая представления Коллинза о жесткой привязанности математических миров к сообществам и сетям математиков, чему в модели Коллинза возражает Н.С. Розов?
   
6. 
   В чем состоит метафора порождаемого лабиринта, предложенная Н.С. Розовым? Как с помощью этой метафоры он объясняет отличие математики от шахмат, шашек, пасьянсов и т.п.?
   
7. 
   Как Н.С. Розов отвечает на вопрос «чем в действительности вызвано широкое и эффективное применение математики, …почему естественные, независимые от человека явления Природы происходят в прямом и весьма близком соответствии с законами, сформулированными людьми в человеческих понятиях, в том числе математических»?
   

Л.С. Сычева

Проблема реальности математических объектов
Основное, что будет нас интересовать в данной статье – с помощью каких средств рационально рассматривать вопрос о реальности математических объектов. Многовековые споры о том, где и как существуют эти объекты, обусловил наше обращение к другим средствам изучения этой проблемы, чем это традиционно имело место – к сравнительно новой концепции знака и знания, предложенной в рамках теории социальных эстафет М.А. Розовым. Математические объекты при этом сближаются с гуманитарными, и именно такое их рассмотрение позволяет, как представляется, наметить выход из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом: «если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами» (Цит по 13, с. 39).

Общеизвестно, что вопрос о том, где и как существуют математические объекты, ставится давно. Еще Платон и Аристотель обсуждали вопросы о том, что такое число, что такое общее. Платон, как известно, противопоставлял понятия как единственно действительные сущности чувственному бытию. В главе 9 первой книги «Метафизики» Аристотель от имени всей платоновской школы говорит, что «ни один из способов, какими мы доказываем, что эйдосы существуют, не убедителен» (1, стр. 86). Он полагает, что следует, по-видимому считать невозможным, чтобы отдельно друг от друга «существовали сущность и то, сущность чего она есть; как могут поэтому идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?» (1, стр.88). «Не дается также никакого объяснения, как существует или может существовать то, что ... идет после чисел – линии, плоскости и тела, и каков их смысл» (1, стр.91).

Более подробно аргументы Аристотеля против теории самостоятельного существования идей вообще, и математических объектов, в частности, мы уже излагали (12). Отметим лишь, что и в наши дни воспроизводятся и воззрения Платона, и их критика. Так, в недавно вышедшей книге В.В. Целищева «Философия математики», которая базируется на детальном анализе имеющейся западной литературы по философии математики, читаем: «Прежде всего, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм, как оформленное Пифагором и Платоном философское учение, мотивировался математикой» (13, стр. 31). Автор книги ставит вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны платонизму: «В частности, платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями». (13, с. 32-33).

Ссылаясь на Бенацеррафа, В.В. Целищев формулирует следующую дилемму: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?» (13, с.37). Он подчеркивает, что дилемма ставит перед нами выбор – либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Он совершенно справедливо признает, что обе возможности не выглядят привлекательными.

Однако зададим вопрос – почему рассматриваются только две возможности? Почему надо безоговорочно признавать, что когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты? Почему признание чисел как объектов исследования необходимо требует неестественных способностей человека в отношении сбора информации? Ведь кроме естественных наук и математики есть еще одна группа наук – гуманитарные, методы исследования которых позволяют изучать такие «объекты», как язык (вообще тексты), литературные герои, прошлое, не являющиеся «чувственными» объектами в полном смысле?

Подчеркнем, что В.В. Целищев совершенно прав, когда он приводит слова У. Харта (и присоединяется к ним), что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики, надо осуществить эпистемологический поворот в философии математики (13, с. 38). Однако, рассматривая эпистемологические проблемы, он снова возвращается к позиции П. Бенацеррафа, уже приведенной нами выше, который считает, что невозможен эпистемологический доступ к математическим объектам.

В более поздних работах М.А. Розов различает атрибутивные свойства объектов, т.е. такие свойства, которые вытекают из их материала, и неатрибутивные, способы действия с которыми определяются не их материалом, а чем-то другим. Семиотические объекты неатрибутивны, т.е. способы действия с ними определяются не их материалом, а традициями, эстафетами, в которые включены знаки, в том числе – математические. Рассматривая вопрос о способе бытия математических объектов, М.А. Розов обращается к аналогии чисел и шахмат, которую использует Р.Л. Гудстейн «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат­ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре­образований числовых знаков» (3, с. 22) Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се­бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Эстафеты – это способ бытия и математических объектов – делает вывод М.А. Розов: «объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло­вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное выше означает их независимость от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» (7, с. 30).

Представления о математике как социальной науке, развивает также Р. Коллинз в Эпилоге своей книги «Социология философий» (4), где автор выстроил сети личных связей между философами и учеными, как по вертикали (учитель-ученик), так и по горизонтали (кружки единомышленников, соперничавших между собой). Сети, которые представлены в книге, включают и математиков, ибо философы часто были и математиками и наоборот. Кроме того, из всех научных дисциплин сообщество математиков функционирует наиболее продолжительно. Коллинз пишет, что математика социальна в двух смыслах: 1) каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия; 2) предметом математики являются операции, а не вещи. Он считает, что «второй аспект еще более ярко показывает, что математика насквозь социальна» (4, с. 1120). «Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению» (4, с. 1121).

Коллинз специально подчеркивает, что предметом математики являются операции, а не вещи. Математика не является областью, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Он говорит, что легко полагать число вещью, ибо оно может считаться существительным в предложении. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности «1, 2, 3 …», число изначально является деятельностью (или операцией) перечисления. Предлагая понимание математических объектов, существенно отличающееся от традиционного, Коллинз приводит объяснение того, что устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Один аргумент - объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке. Другой – числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. «В обеих линиях аргументации делается одинаковая ошибка: допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий – операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру» (4, с. 1123).

Апелляция Коллинза к миру человеческих действий при анализе вопроса о сущности математических объектов, к человеческому общению, к сетям коммуникаций созвучна и мнению Гудстейна (число – это роль, которую играет соответствующая цифра), и представлениям Розова, во-первых, в некоем глобальном смысле – что решение вопроса, где и как существуют объекты математики, нужно искать в области гуманитарного познания, а во-вторых, совпадает и конкретное видение сути математических объектов – а именно тот и другой автор видит эту суть в коммуникациях между людьми. Коллинз называет это сетями, Розов – эстафетами.

Однако есть и различие. М.А. Розов различает непосредственные эстафеты, которые являются воспроизведением образцов, находящихся в поле восприятия человека, и опосредованные – заданные описанием транслируемого действия. Суть теории социальных эстафет состоит именно в утверждении о том, что в основе всей Культуры, прежде всего языка, простейших (основных) производственных действий лежит непосредственное воспроизведение опыта. Впоследствии наряду с непосредственными образцами, определяющими действия человека, появляются и правила, однако обычно человек, владеющий языком, может и не знать правил (а говорить при этом верно), да и все правила невозможно сформулировать. Все это перекликается с идеями неявного знания М. Полани. Существенно, что в эстафетах М.А. Розов выделяет, во-первых, транслируемое содержание, и, во-вторых, собственно эстафету – от кого кому происходит передача образца (способа действия). Коллинз описывает сети передачи опыта, но не говорит о содержании того, что идет по сетям. В этом смысле сети математиков ничем по типу не будут отличаться от сетей историков или кого-то еще. Теория же социальных эстафет позволяет поставить вопросы о появлении опосредованных эстафет, о формулировании норм (грамматических, правил в математике и т.д.), а также о том, все ли правила выявлены в каждом случае. Обычно выявлены не все правила языка, правила математических рассуждений и т.д. Иначе говоря, даже после выявления некоторых правил, еще остается существенной роль образцов рассуждений. Возникает вопрос о стационарности эстафет, который М.А. Розов решает, обращаясь к социальному контексту. Каждый предмет, который мы как-то называем, похож в том или ином отношении на остальные – по цвету, по форме, материалу или чем-то еще. Но человеку, которому указали на предмет и назвали его «пепельницей», уже известна таблица цветов, известны формы и т.д. Иначе говоря, человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. «Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. Стационарность нормативных систем – это со­циальный, а не биологический феномен и если быть точ­ным, то можно говорить только об относительной стационар­ности» (7, с. 23).

Воспользуемся еще одним понятием – понятием социальный куматоид. Это некоторое устройство социальной памяти, для которого характерно наличие инвариантов – программ, в рамках которых организуется деятельность большого числа людей. Программы – это инварианты, а люди все время меняются, представляя собой некий поток, некий постоянно обновляющий себя материал, программы же остаются неизменными. Программы могут представлять собой четко сформулированные и записанные инструкции или неявное знание, которое передается от человека к человеку путем воспроизведения непосредственных образцов, т.е. путем эстафет.

Любое слово, любой математический объект – это куматоиды. Представив математический объект как куматоид, можно сформулировать программу его исследования, а именно – можно поставить задачу выяснить, какая программа связана с каждым из объектов, как эта программа складывалась, сформулированы ли, например, правила действия с числами, или люди действуют по образцам, что изменяется тогда, когда появляются правила. Так, в статье Ю.В. Пушкарева (6) проанализирована история формирования понятия интеграл. Возникновение метода интегрирования связывают с именем Архимеда, который предложил формулу вычисления объема шара новым методом. Пушкарев показал, как происходил переход от представлений об интегралах как средствах вычисления площадей и объемов к анализу их как полноправных объектов математики, которые интересны и важны сами по себе, а не только как средства решения задач механики (в работах Ньютона) или астрономии (у Кеплера). В статье исследована роль рефлексивных преобразований в становлении интегрального исчисления, роль программно-предметных комплексов дисциплин в возникновении математического анализа, значение ценностных установок в этом процессе. Все эти вопросы важны для изучения механизмов новаций в математике и сформулированы в рамках эстафетной модели науки (11, гл. 4). Так выполненный анализ формирования и видоизменения математического знания вполне отвечает вполне определенной эпистемологической ориентации, о необходимости которой говорит В. В. Целищев: «Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины» (13, с. 48). Фактически В.В. Целищев считает, что надо перейти от обсуждения сугубо философских вопросов, касающихся математики, таких, которые с неизбежностью всегда будут порождать споры в силу самой природы философии, для которой характерно наличие точек произвольного выбора (9), к изучению эпистемологической специфики математики, фактически приближающейся по характеру работы к научной дисциплине, многие утверждения которой могут быть верифицированы или фальсифицированы фактами истории науки, или, говоря словами И. Лакатоса, когда история науки выступает как пробный камень методологии науки. Эстафетная модель науки, предложенная М.А. Розовым как развитие модели науки Т. Куна (10) предоставляет богатые возможности такой эпистемологической переориентации.

1. 
   Аристотель. Метафизика. Соч. Т. 1. М., 1976.
   
2. 
   Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.
   
3. 
   Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.
   
4. 
   Коллинз Р. Философия социологий. Новосибирск, Сибирский хронограф. 2002.
   
5. 
   Платон. Государство. Соч. Т3(1). М., 19
   
6. 
   Пушкарев Ю.В. Становление интегрального исчисления как новой реальности в математике // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Новосибирск, НГУ. 2004.
   
7. 
   Розов М.А. Способ бытия математических объектов // Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С. 20–26.
   
8. 
   Розов М.А. К методологии анализа феномена идеального // Методологические проблемы науки. Новосибирск, НГУ, 1981.
   
9. 
   Розов М.А. Философия и проблема свободы человека // Философская культура личности и научно-технический прогресс. Новосибирск, НГУ, 1987.
   
10. 
    Розов М.А. К построению модели науки // На теневой стороне. Материалы к истории семинара м.А. Розова по эпистемологии и философии науки в Новосибирском Академгородке. Новосибирск, 2004.
    
11. 
    Степин В.С., Горохов В.Г., Розов М.А. Философия науки и техники. М., 1995.
    
12. 
    Сычева Л.С. Представления о реальности в древнегреческой и средневековой философии // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Новосибирск, НГУ. 2004.
    
13. 
    Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, «Наука». 2002.
    

1. 
   Согласны ли Вы с тем, что для ответа на вопрос, где и как существуют математические объекты, можно попробовать сближать это объекты не с объектами естествознания, а с объектами гуманитарных наук?
   
2. 
   Какие представления об идеальном развивает М.А. Розов? (можно воспользоваться его статьей: Розов М.А. К методологии анализа феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий по философии. Новосибирск, 2003, стр. 109-114).
   
3. 
   Стремясь познать суть математических объектов, Р. Коллинз апеллирует к миру человеческих действий, М.А. Розов – к социальным эстафетам. В чем сходство и различие их подходов?
   
4. 
   Что такое социальный куматоид? Что дает для понимания математических объектов представление их как куматоидов?
   
5. 
   Что такое эпистемологический поворот в философии математики?
   

В данном разделе две статьи. Первая из них – статья А.А. Григоряна посвящена анализу социокультурных и метафизических запретов в развитии математики. Григорян использует идеи известного французского математика А. Гротендика и показывает, что возникновению нового в математике часто препятствуют метафизические представления, которые запрещают тот или иной вид исследования. Автор анализирует три высказывания Аристотеля: «О случайном не может быть знания через доказа­тельство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астроно­мии», которые характеризовали социокультурный контекст развития греческой математики, в рамках которой не могли возникнуть такие теории, как теория вероятностей, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упо­мянутых теорий вполне вероятным.

Вторая статья – М.Ю. Веркутиса посвящена анализу возникновения новых объектов исследования в математике в условиях неведения, т.е. когда ученые вообще не имели представлений о возможности таких объектов, как группы, неевклидова геометрия. Они при этом решали традиционные задачи (разрешимость уравнений выше пятой степени в радикалах, доказательство пятого постулата Евклида) и в ходе этой деятельности «натолкнулись» на новые объекты. В случае возникновения представлений о группах Галуа ввел группы в качестве средства для отбора тех уравнений, которые все же разрешимы в радикалах. Открытие Лобачевским неевклидовой геометрии – более сложный случай, но в каждом из них существенную роль играют рефлексивные преобразования деятельности – перенос центра тяжести с решения исходной задачи на тот результат, который получился непреднамеренно. В работе Лобачевского осознание того, что в конечном итоге ими была решена не исходная задача, а совсем другая – играет решающую роль в создании новой геометрии.

Григорян А. А.