Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий

Социальный конструктивизм в социологии науки обычно ассоции­руется с антиреалистской позицией относительно предметов, или сущ­ностей, науки (entities of science). Давайте посмотрим, до какой степени это оправданно. Деятельность в области естественных наук (естествоз­нания), а может быть, даже и само это название существовали в интел­лектуальных сетях многих частей мира с древних времен. На протяже­нии большей части истории <...> эти сети подчинялись закону малых чисел, разделяясь на противостоящие позиции в рамках астрономии, ме­дицинской физиологии и даже математики. Для сетей, в которых осмыс­лялись предметы науки, они составляли множественные и конкурирую­щие реальности. В поколениях европейских ученых между 1500 и 1700 гг. некая ветвь интеллектуальных сетей претерпела такую реорганизацию, что характер науки изменился: она стала наукой быстрых открытий, которая, в конечном счете, достигла высокого уровня согласия. В данной сети внимание сместилось к цепи открытий, продвигающих науку вперед. Споры стали более скоротечными, редко выходящими за пределы одного поколения. Разделение между противостоящими позициями, соответству­ющее закону малых чисел, было сведено к временным разногласиям на исследовательском фронте, которые постоянно оказывались позади по мере смещения внимания к переднему краю открытий.

То, что здесь описано, - это уровень социальной реальности данных сетей ученых-естествоиспытателей. Сеть относится к предметам науки лишь постольку, поскольку они являются теми содержаниями, которые утверждаются, принимаются, оспариваются и транслируются благодаря поддержке сети. Сеть ученых в период революции быстрых открытий была по большей части ветвью существовавшей издавна философской сети. Постепенно отделяясь от философов, естественнонаучная сеть ста­новилась в своей собственной области двойной сетью: с одной стороны, сетью интеллектуалов - цепочками учителей и учеников; с другой сторо­ны — цепочками исследовательского оборудования, которое модифициро­валось с каждым новым поколением.

Носителями генеалогий исследовательской технологии являются сети людей, именно люди из линз делают телескопы и микроскопы, а потом оптическое и спектрографическое лабораторное оборудование. Оба этих типа сетей как бы паразитируют друг на друге. Быстрое развитие иссле­довательского оборудования от одной модификации к другой - вот ключ к тому способу быстрых открытий, которому так доверяют ученые-есте­ственники. Они чувствуют, что открытия возможны при определенной ориентации исследования, поскольку предшествующие поколения иссле­довательского оборудования позволили выявить феномены, доступные для интеллектуальной работы человеческой сети. В самом выгодном положе­нии находится та часть научной сети, у которой есть ближайший доступ к предыдущему поколению оборудования, с помощью которого делались успешные открытия. Такие люди могут усовершенствовать или модифи­цировать данное оборудование, продвигая тем самым прошлый фронт открытий. Это относится и к приросту мелких открытий в рамках успеш­ной парадигмы, что обычно происходит при небольших модификациях или расширении применения существующей технологии, и к масштаб­ным новым фронтам открытий, появляющихся обычно при совмещении разных линий развития оборудования или при изобретении совершенно новой исследовательской технологии (усовершенствование электричес­кой батареи и ее совмещение с оборудованием для химических опытов, а затем с астрономическим оборудованием и т.д.) [4]. Для этого процесса нет видимого предела во времени. Комбинаторные перекрестные смеше­ния генеалогий исследовательского оборудования, по-видимому, будут вести к продолжению генерирования явлений для научных открытий до тех пор, пока будут существовать социальные сети, продвигающие раз­витие этих генеалогий оборудования.

Линии преемственности исследовательского оборудования реальны в том же смысле, в каком реален во времени и пространстве весь мир соразмерных человеку объектов. Это линии преемственности материаль­ных вещей. Иногда дается такая интерпретация: научные эксперименты являются воплощенными теориями, а исследовательское оборудование имеет в первую очередь ментальную реальность. Это существенное пре­увеличение. Генеалогия оборудования реализуется во времени сетью уче­ных-интеллектуалов, которые как бы выращивают и скрещивают между собой элементы своего технологического "урожая", чтобы получить эм­пирические результаты, которые могут быть "привиты" к текущей линии интеллектуальной аргументации. Это вовсе не означает, что ученые все­гда экспериментируют в свете теорий, дающих приемлемые толкования тому, что делается с помощью используемого оборудования. Наладка и модификация оборудования, скрещивание его с другим или изобретение нового оборудования - все это может делаться при самом малом обраще­нии к теоретическим темам, которые затем развертываются из уже полу­ченных результатов и представляют собой ретроспективную теоретичес­кую интерпретацию того, что, собственно, с помощью этого оборудова­ния и делается. Независимо от того, имеют ли интеллектуалы-естествен­ники ясную и защищаемую теоретическую концепцию своего оборудо­вания или нет, они вовлекаются в практическую телесную деятельность всегда, когда это оборудование используют. Сеть ученых-естественников действует в самом банальном материальном пространственно-временном мире, а обсуждаемые ими и передаваемые в качестве содержания своей науки теоретические сущности или предметы укоренены в этом сораз­мерном человеку мире людских тел и исследовательского оборудования.

Чем же тогда является реальность теоретических предметов науки? Будучи невидимыми структурами или субстанциями, они подвержены всем философским неприятностям, которые всегда возникают, когда кто-то пытается сделать шаг за пределы вещей (in medias res) в царство совершенной точности и непрерывной субстанциональности. Тем не менее, это не де­лает данные предметы непременно иллюзорными или нереальными. Те­оретические конструкты могут обладать твердыми, упрямыми качества­ми, как и части мира банальной действительности, поскольку они соеди­нены с ней, по крайней мере, двумя путями. Во-первых, они являются реальным центром внимания и с течением времени становятся центром согласия в реальных сетях ученых. Это социальный консенсус вполне определенного типа, он ориентирован на линии открытий относительно упрямой реальности, поскольку, во-вторых, научные предметы также ос­нованы на материальных генеалогиях исследовательского оборудования. Хотя научные предметы имеют свою интеллектуальную сторону, у них также есть и неинтеллектуальная сторона - те явления, что возникают из поведения самого этого оборудования.

Оба эти соединения с банальной реальностью соразмерного челове­ку материального опыта простираются во времени, для обоих можно указать поколения предшественников, и оба они несут в себе прошлый опыт предыдущих поколений, а кроме того в них обоих предполагаются исследовательские практики, которые в будущем вновь будут работать. Это особенно существенно для генеалогии оборудования, ибо исследо­вательские технологии подвергались как раз таким манипуляциям и из­менениям, чтобы они давали воспроизводимые результаты. Устойчивость научных предметов в интеллектуальном плане являет собой эквивалент той стабильности, которая создана практикой работы с применением ис­следовательского оборудования. Эту устойчивость можно рассматривать как стабильность во взаимодействии между телами экспериментаторов и оборудованием. Совершенство оборудования и стабилизация теоретичес­кого предмета или сущности (скажем, электрона) зиждятся на таком спо­собе изменения генеалогии оборудования, что обращаться с оборудова­нием становится все легче и легче Особенно высокий уровень устой­чивости достигается тогда, когда стандартизованное оборудование или какой-либо его "отпрыск" выходят из лаборатории: электрические цепи становятся той проводкой, которая используется миллионами людей в повседневной жизни, детекторы электромагнитных волн становятся ра­диоприемниками. Когда это происходит, социальная сеть, осваиваю­щая данный теоретический предмет, придает ему на вид безупречную реальность. Специализированная интеллектуальная сеть, склонная к созданию эзотерики вне повседневного мира, уже перестает здесь оказывать влияние: электричество становится так тесно связанным с само собою разумеющимися реальностями человеческих тел и окру­жающих их соразмерных вещей, что кажется уже продолжением по­вседневной реальности.

И действительно, в некотором смысле так оно и есть. Хотя мы редко осознаем этот факт, но электрические выключатели, детекторы радиоволн и прочие приборы являются современным этапом долгого пути предшествующего развития той техники, начало которого отно­сится к генеалогиям лабораторного оборудования. Именно эта длин­ная цепь, простирающаяся как назад, так и вперед во времени, делает некоторые научные сущности столь устойчивыми, - они так тесно и многообразно связаны с повседневной действительностью, что уже трудноотделимы от нее.

Эта устойчивая реальность, обретенная некоторыми предметами науки, в большей мере происходит из их материальной укорененности в оборудовании, чем из теоретической концептуализации. Электричество стало широко распространенной практической реальностью примерно с 1850 г. [5], притом, что в центре исследовательской сети теоретическая интерпретация электричества менялась несколько раз. Таким же образом от поколения к поколению менялись концепции Нового времени и совре­менности об элементарных составляющих химии и физики: от атомов перешли к электронным орбитам, от них - к последующим новым и но­вым упорядочиваниям семейств субатомных частиц и античастиц, наконец - к струнам. Изучение стандартных учебников, написанных с ин­тервалом в 30 лет, дает модель продолжающейся эволюции, и нет ни­какого разумного основания предполагать, что сегодняшние сущнос­ти будут когда-то в будущем приняты как нечто большее, чем грубые приближения [6]. Эта историческая текучесть концептуальных пост­роений науки является как раз тем, что мы и должны ожидать от кон­курентных интеллектуальных сетей. Устойчивость и упрямая реаль­ность "электричества", "бактериальной инфекции" и других знакомых теперь сущностей гарантируются их укорененностью в генеалогиях материальной практики, получившей распространение среди неинтел­лектуалов. Высшая реальность, приписываемая концепциям науки быстрых открытий, происходит из того способа, которым двойствен­ные, паразитирующие друг на друге сети этого сообщества, генеало­гии [лабораторного] оборудования и люди-интеллектуалы, породили третью ветвь - такие генеалогии оборудования, которые обосновались вне идейного состязания интеллектуалов, беспрестанно сдвигающих фронт своего поиска. Значение имеет уже не то, как в данный момент на этой эзотерической интеллектуальной границе толкуется "электри­чество", - это некритично используемое слово служит маркером для устойчивой и упрямой реальности повседневной жизни, [в которой электричество широко, постоянно и надежно используется].

Социальная конструкция предметов, или сущностей, науки обус­ловливает, по крайней мере, квазиреализм. Хотя не все научные пред­меты как интеллектуальные конструкты имеют такие же притязания на то, чтобы считаться реальными, некоторые из них настолько тесно переплетены с соразмерной человеку обыденной реальностью, что между ними трудно провести границу. При том, что эпистемологичес­кое оправдание таких научных предметов более сложно, чем утверж­дение неопровержимых реальностей непосредственного социального опыта, реальности двух этих типов, по крайней мере, находятся меж­ду собой в близком родстве.

Как возможно то, что математика столь часто оказывается при­менимой к естественному, нечеловеческому, несимволическому миру? Почему она стала настолько полезной в естествознании? Это будет уже не столь таинственным, как только мы осознаем всю силу того факта, что математика зарождается в социальных сетях, являющихся частью природного мира. Отличительная черта сети практикующих матема­тику состоит в том, что они сосредоточивают свое внимание на чис­тых бессодержательных формах человеческих коммуникативных операций - на жестах обозначения единиц как эквивалентных и состав­ления их них ряда, на операциях более высокого порядка, с помощью которых рефлексивно изучаются сочетания этих операций. Первичные операции - счет, измерение - берут свое начало в жестах, направлен­ных на обычные, соразмерные человеку телесные объекты и процес­сы деятельности в пространственно-временной реальности. Подобная деятельность имеет такое же качество реальности, как и что-либо иное на уровне этого банального обыденного мира. Абстрактная математи­ка, рефлексивно возникающая на основе таких операций, остается частью природного мира. Фактически это эмпирическое исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм оперирования своими же предыдущими операциями. Математика возникает in medias res (среди вещей), и в ней утверждается гладкая не­прерывность от одного уровня ее собственной абстрактности к друго­му. Нет жесткой границы между объектами математики и миром есте­ствознания. Применимость в науке математических процедур не долж­на восприниматься как нечто удивительное.

Высокий уровень согласия относительно объектов естествознания появляется только в сетях быстрых открытий; они же, в свою очередь, составлены из паразитирующих друг на друге генеалогий исследователь­ского оборудования и аргументативной сети интеллектуалов-естествен­ников. Математизированная наука быстрых открытий добавляет сюда третью сеть - преемственную линию манипулирования формальными символами, представляющими собой классы коммуникативных операций. Математика не дарует нам какой-то магический глаз, с помощью которо­го мы видим объекты, трансцендентно существующие за пределами фе­номенальной поверхности опыта, - невидимые сущности научных тео­рий. Математика соединена с другими двумя сетями в том же самом фе­номенальном мире опыта.

С одной стороны, измерения, проводимые с помощью исследователь­ского оборудования, превращаются в математические реальности, посколь­ку люди используют последние в качестве маркеров - в том же смысле, что элементарная математическая операция счета есть социальная про­цедура указания жестом на единицы опыта (тем самым установленные в качестве эквивалентных друг другу). Как сказал бы Сёрль [Searle, 1992], в исследовательском оборудовании нет гомункулуса. Именно люди-мате­матики - вот кто использует это оборудование как средство расширения их собственной способности делать жесты. Это жесты, одновременно обращенные и к нечеловеческому миру, и к социальному сообществу, которое выстроило некий репертуар надежных методов превращения одного набора символических жестов в иной.

С другой стороны, генеалогия математических техник соединена с сетью интеллектуалов-естественников, в которой создаются осмысленные предметы и аргументы, составляющие знакомое людям содержание ес­тествознания. Генеалогии оборудования производят явления в мире опы­та, а интеллектуалы-естественники превращают эти явления в интерпре­тации, полезные для ведения аргументации и привлечения сети к иссле­дованию дальнейших тем. "Невидимый" мир сущностей науки порожда­ется интеллектуалами, а не непосредственно оборудованием. Математи­ческая техника становится значимой для ученых-естественников, посколь­ку позволяет им придавать особенно устойчивый характер, по крайней мере, части их аргументации. Но данная часть аргументации является именно той устойчивой и упрямой реальностью определенных сетей реф­лексивных коммуникативных операций, которая и стала ранее для мате­матиков предметом их исследовательской деятельности. Кристаллически-жесткая социальная реальность математиков образует как бы хребет аргументации научных коалиций, которую они ведут в своих социальных переговорах.

Математика - это мост: ее общность с сетью естествознания состо­ит в том, что она также имеет характер социального бытия, ее общность с генеалогиями оборудования - в том, что она также является преемствен­ной линией развития техник. Поскольку линия математической техники -- это линия преемственности открытий, касающихся процессов простран­ственно-временной реальности (т.е. математических операций), постоль­ку она прекрасно совмещается с порождаемыми при помощи оборудова­ния феноменами, являющимися такими многомерными процессами, фор­мы которых не могут быть интерпретированы на низких уровнях абст­ракции и рефлексии, характерных для обычной грамматики типа "суще­ствительное - прилагательное - глагол" или для обыкновенной арифме­тики. (Вот почему изучение высшей алгебры - кватернионов, векторов, матриц - было столь плодотворным для развития современной физики.) Здесь мы вновь обнаруживаем социальную реальность математики, ко­торая соединяется без каких-либо видимых швов с нечеловеческой при­родной действительностью феноменов, порождаемых с помощью обору­дования.

Главной социальной сетью в науке остается сеть людей-интеллекту­алов. Наука, если быть последовательными, имеет своим конечным результатом слова и образы. Чисто математический замысел, такой как, например, теория струн, не обретает полную, социально принятую "ре­альность", пока не появится словесная интерпретация его основных мо­ментов, переводящая их в знакомые, обозначаемые существительными "предметы", или "сущности", в обыденном языке считающиеся высшей реальностью. Однако здесь мы должны отметить, что математика также укоренена в словах [7]. Это напоминание о том, что "математика" являет­ся двумя сетями в одной сети — генеалогией техник и человеческой се­тью, причем последняя, с одной стороны, умеет работать с данными тех­никами, а с другой стороны, вовлечена в обычный интеллектуальный контекст постановки аргументов и контраргументов. Вербальный дис­курс - это наиболее надежный каркас, основное вместилище интеллек­туальной жизни. Если математика действительно является важным мос­том между человеческими и нечеловеческими сетями, составляющими науку, то это происходит потому, что сами математики суть гибриды, имеющие все человеческие черты, начиная от словесного дискурса и кон­чая своими собственными специальными формами освобожденной от содержания рефлексивности.

Математика одновременно эмпирична и концептуальна. Она охва­тывает опытные наблюдения во времени и пространстве, причем данный опыт всегда конкретен и ситуационно локализован. При этом математика имеет дело с универсальным и общим, с теми моделями, которые дей­ствительно неопровержимым образом обнаруживаются среди универсаль­ных понятий, поскольку темой математики является чистая общность человеческих коммуникативных операций. Таковы действия, устанавли­вающие эквивалентность между вещами и надстраивающие их друг над другом. Данная тема универсальна, поскольку включает операции пола­гания вещей как универсалий. Одновременно эта тема является эмпири­ческой, возникающей в опыте и применяемой к опыту, поскольку делать математику - значит совершать деятельность во времени и в некоторой социальной сети. Универсальные черты математики обнаруживаются эмпирически через труд математиков, изучающих различные системы операций. Тема математики - это система коммуникативных соглашений (конвенций) между математиками. То, что они открывают в данной сфе­ре, является объективной, упрямой реальностью. Если мы говорим, что она социально конструируется, то это эмпирическое изучение устой­чивых и упрямых качеств социальной конструкции. Математическая реальность столь реальна именно потому, что она целиком социально сконструирована. <...>

Примечания

<...> 1. Я не обсуждаю здесь вопрос, всегда ли может быть выполнен такой пе­ревод фактически. Дело лишь в том, что перевод не является чем-то вне дискурса. В социальном опыте перевод - это соединение двух сетей. Аргумент Куайна, состоя­щий в том, что есть множественность различных возможных переводов между языка­ми, возможно, не вполне применим к математическим переводам по причинам, кото­рые далее будут ясны.

2. Если фактически мы не приходим к одной и той же сумме, то предполагаем, что кто-то из нас ошибся - неверно выполнил данную операцию; иными словами, мы оба не следовали данному соглашению, или конвенции, [о самой операции - порядке ведения счета].

3. Сравнительная социология сетей проливает свет на то, как возникает эта кон­цепция математики. В греческих сетях фракция Платона была альянсом между мате­матиками и философами, творчество которых исходило из напряженного противосто­яния с фракциями эмпирицистов, материалистов и скептиков-релятивистов. В после­дующих платонических и неоплатонических религиях были разработаны взаимопод­держивающие аргументы на основе концепции трансцендентного Бога, иерархии уров­ней всеобщности и математического платонизма. Позже это сочетание понятий было воспринято главными течениями христианской, исламской и еврейской философии, а в эпоху секуляризации европейской мысли оно оставалось доступным в качестве тра­диционной философии математики. В Индии и Китае такого рода математический платонизм не возник даже в условиях преобладания идеалистической философии в Индии в послебуддийский период. Причиной этому был факт (обоснованный в главе 10) очень малых пере­сечений математических и философских сетей в Индии и Китае, в противоположность Греции и Западу.

4. Поскольку математика - это также некая генеалогия технических приемов, взлет которой можно считать собственной математической революцией быстрых от­крытий в период между Тартальей и Декартом, развитие математико-экспериментальных парадигм в науке Нового времени стало еще одним типом гибридизации генеа­логий различных техник. Преемственные линии математики разветвлялись и по-раз­ному соединялись между собой, что приводило к появлению богатого экологического мира математических "видов" (в смысле эволюционной биологии - "species"), кото­рые различными путями скрещивались со сходным же образом скрещенными "вида­ми" из генеалогий исследовательского оборудования.

5. Это произошло потому, что появление телеграфа (1837 г.), а затем электромото­ров, телефонов, электрического освещения и прочего сделало электричество частью обы­денной реальности. Прежде электричество имело более ограниченную лабораторную реальность для исследователей, с тех пор как в 1740-х годах была изобретена лейденская банка и особенно с появления вольтовой электролитической ванны (1799г.), надежно дававшей постоянный ток. В течение промежуточного периода, до того как лабораторное оборудование стало широко распространяться в повседневной жизни, было множество популярных интерпретаций реальности электричества (например, интерпретация Месмера, а также религиозные толкования), лишенных того ощущения нормальной обыденности, которое позже стало относиться к электричеству.

6. Есть некое непрерывное "семейное сходство" между соседними поколениями развития таких понятий, хотя именно то, что составляет данную непрерывность, ока­зывается не раскрытым ни вообще, ни каким-либо специальным образом. Кун утвер­ждал, что даже в крупных концептуальных сдвигах, называемых им парадигмальными революциями, сохранялась математика [Kuhn, 1961]. Как мы видели в предыду­щем разделе, математику следует рассматривать как некую практическую систему приемов для получения открытий относительно формальных интеллектуальных опе­раций. Это опять же означает, что сохраняющееся при смене поколений - это не сами по себе идеи, но непрерывность еще одной генеалогии исследовательского "оборудо­вания". Математическая непрерывность и обоснованность естественно-научных пред­метов (сущностей) - это еще один случай непрерывности практической пространствен­но-временной деятельности. Вновь мы видим некий эпистемологический разрыв меж­ду данной надежной, материально существующей, но скрытой практикой, вербаль­ными конструкциями и соразмерным человеку воображением, включающим овеще­ствленные (реифицированные) существительные и субстанции, приписанные теоре­тическим естественнонаучным предметам.