Геометрия Лобачевского и ее модели
III. Пятый постулат Евклида
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
III. Пятый постулат Евклида.Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Лемма 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест (лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются. □ Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны (например, 1 = 2 на рис. 206). Если допустить, что прямые а и b пересекаются в некоторой точке Р, то получим треугольник АВР, у которого один из углов при вершине А или В равен внешнему углу при другой вершине (см. рис.). Но это противоречит теореме о внешнем угле треугольника. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из доказанного. Чтд. Возникает вопрос: сколько же через точку М, не лежащую на прямой а, проходит прямых, параллельных прямой а? Ответ на него дает следующая теорема. Теорема 1. Если имеет место V постулат, то через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит только одна прямая, параллельная прямой а. □ Проведем прямую MN, перпендикулярную к прямой а, N а, и прямую b, проходящую через точку М перпендикулярно к прямой MN (см. рис ниже). Тогда прямые а и b параллельны. Проведем через точку М произвольную прямую b’ отличную от прямой b. Один из смежных углов 1 либо 2, отмеченных на этом же рисунке , острый; пусть 1 острый. При пересечении прямых а и b' с прямой MN получаем внутренние односторонние углы: 1 и 3, сумма которых меньше двух прямых углов, значит, по V постулату прямые а и b' пересекаются. ■ Существует и обратная теорема: Теорема 2. Если принять, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, то справедлив V постулат. Итак, V постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, параллельная данной. Лемма 2. Для произвольного треугольника ABC можно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы АВС = А1В1С1 и А1 Теорема 4. Сумма углов любого треугольника не больше 2d. □ Теорему докажем методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что АВС = 2d + , где > 0. Применяя предыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треугольник АпВпСп, удовлетворяющий условиям АпВпСп = АВС и Аn А. Выберем п так, чтобы 1/2n А< . Тогда Ап < . Так как Аn + Вn + Сп = 2d + , то Вп + Сп> 2d. С другой стороны, легко доказать, что Вп + Сп < 2d. В самом деле, если - мера внешнего угла треугольника АпВпСп, смежного с углом Вп, то > Сп, а по теореме о смежных углах + Вп = 2d, поэтому Вп + Cn <С 2d. Мы пришли к противоречию, следовательно, не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше чем 2d. Чтд. Итак, сумма углов любого треугольника не больше 2d. Но не может ли получиться так, что у одних треугольников эта сумма меньше 2d, а у других равна 2d? Отрицательный ответ на этот вопрос дает вторая теорема Саккери — Лежандра. Теорема 5. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d. \ Итак получаем еще одно предположение, эквивалентное V постулату: существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|