Геометрия Лобачевского и ее модели
Группа II. Аксиомы порядка
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Группа III. Аксиомы конгруэнтности.
Группа II. Аксиомы порядка.Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А — В — С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы. II1. Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С - В - А. II2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А — В — С. II3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. По Гильберту, отрезком АВ (или В А) называется пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,— внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка. II4. (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, а а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС. С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек. Группа III. Аксиомы конгруэнтности.Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» или «равен» и обозначается символом « = ». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом. III1 Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А'В'. Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная. III2. Если А'В' = АВ и А"В" = АВ, то А'В' = А" В". III3. Пусть А — В — С, А’ - В' — С, АВ = А'В' и ВС = В'С’. Тогда АС = А'С’. III4. Пусть даны hk и флаг (О', h', '). Тогда в полуплоскости ' существует один и только один луч к', исходящий из точки О', такой, что hk = h'k'. Каждый угол конгруэнтен самому себе. III5. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С’ — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А'В', АС = А'С’, BAC = В'А'С’, то АВС = А'В'С’. Вот некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности. 1°. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков. 2°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3°. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. 4о . Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. 5°. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, несмежного с ним. 6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. 7°. Любой отрезок имеет одну и только одну середину. 8°. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|