Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының материалдары

155 
Сонымен, 
р
түзуінің әрбір нүктесі 
р

түзуінің кейбір нүктесіне 
бейнеленеді, ал 
р

түзуінің әрбір нүктесінің 
р
түзуінде түпнұсқасы бар, демек, 
р
түзуі 
р

түзуіне бейнеленеді. 
5
0
. 
р
түзуі 
q
түзуіне параллель болсын. Егер 
р
түзуі 
р

түзуіне ал, 
q
түзуі 
q

түзуіне бейнеленсе, онда 
q
р


||
(жылжыту түзулердің параллельдігін 
сақтайды). 
Бұл «кері жору» тәсілімен оңай дәлелденеді. 
р
мен 
q
түзулерінің ортақ 
нүктесі жоқ, ал олардың бейнелері 
р

мен 
q

түзулерінің 
О

ортақ нүктесі бар 
деп жориық. 4
0
қасиет бойынша 
О

нүктесінің түп нұсқасы 
р
түзуінде де, 
q
түзуінде де жатуға тиісті, ал бұлай болу шартқа қайшы. 
р
мен 
q
түзулері 
беттесет жағдайда (ондай түзулерді де параллель дейді) олардың бейнелер 
р

мен 
q

түзулері де беттеседі, яғни олар да параллель болады. 
6
0
. Жылжыту сәулені сәулеге бейнелейді. 
ОА
сәулесі деп 
ОА
кесіндісінің 
барлық нүктелерінен және 
А
нүктесі 
О
мен 
Х
нүктелерінің арасында 
жататындай барлық 
Х
нүктелерінен құралған жиынды айтады.
Кейбір 
L
жылжытуы 
О
нүктесін 
О

нүктесіне және 
А
нүктесін 
А

нүктесіне түрлендірсін. Онда 5
0
қасиет бойынша 
ОА
кесіндісі 
А
О


кесіндісіне 
бейнеленеді. 
Жоғарыда, сәуленің анықтамасында сөз болған кез келген 
Х
нүктесі 
О
мен 
А
нүктелерінен өзгеше және 
ОХ
АХ
ОА


теңдігімен сипатталады. 
Демек, оның бейнесі 
Х

жылжытулардың өзара бірмәнділігі бойынша 
О

мен 
А

нүктелерінен өзгеше және сонымен бірге 
.
Х
О
Х
А
А
О








Бұл 


ОА
Х


дегенмен бірдей. Дәл осы тәсілмен әрбір 


А
О
Х




нүктесі 
үшін оның түпнұсқасы 


ОА
Х

екенін дәлелдеуге болады, (мұнда 
О
нүктесі 
О

нүктесінің түпнұсқасы, 
А
нүктесі 
А

нүктесінің түпнұсқасы). 
7
0
. Жылжыту бұрыштың шамасын сақтайды: егер жылжыту 
АВС
бұрышын 
С
В
А



бұрышына бейнелесе, онда 
.
ˆ
ˆ
С
В
А
С
В
А




Бұрыштың шамасын 
сақтайтынтүрлендірулерді конформдық дейді. 
Жылжыту – конформдық түрлендіру екенін дәлелдейік. 
С
В
А



,
,
нүктелері 
С
В
А ,
,
нүктелерінің сәйкес бейнелер деп есептейк. Онда, жылжытудың 
анықтамасы бойынша: 
,
,
,
С
В
ВС
С
А
АС
В
А
АВ









демек, 
,
ˆ
ˆ
С
В
А
С
В
А




керегі дәлелденеді. 
5
0
мен 7
0
қасиеттерден: 
8
0
– жылжыту көпбұрышты қабырғалары мен бұрыштары – берілген 
көпбұрыштардың сәйкес қабырғалары мен бұрыштарына тең көпбұрышқа 
бейнелейді. 
9
0
. Жылжыту шеңберді радиусы берілген шеңбердің радиусына тең 
шеңберге бейнелейд. 
 
r
O,


шеңбері берілсін, М – сол шеңбердің кез келген нүктесі, 

L
 
 
М
М
L
О
О
L




,
орындалатындай жылжыту болсын. 

156 
r
ОМ
М
О




болғандықтан, 


.
, r
O
M






Керісінше, егер 


,
, r
O
N






онда 
N

нүктесінің түпнұсқасы болатын нүкте 
 
.
, r
O
N



Жарты жазықтықтың түрлендіруі туралы мәселені қарастырайық. Егер 
АВ
кесіндісі мен 
р
түзуінің ортақ нүктелері болмаса, онда 
А
мен 
В
нүктелерін 
р
түзуінің бір жағында жататын, немесе сол түзуге сай ыңғайлас 
орналасатын нүктелер дейді. Ал егер 
р
түзуі кесіндісінің ішкі нүктесіінен өтсе, 
онда 
А
мен 
В
нүктелерін 
р
түзуінің екі жағында жататын, немесе 
р
түзуіне 
сай қарсылай орналасатын нүктелер дейді [2]. 
Жоғарыда жүргізілген зерттеулерден нүктелердің түзуге сай ыңғайлас 
және қарсылас орналасулары жылжытуларда инвариантты деген қорытындыға 
келеміз. 
Түзу 
а
және 
а
А

нүктесімен анықталатын 
 
А
а,
ашық жарты 
жазықтықтағы 
а
түзуіне сай 
А
нүктесімен ыңғайлас орналасатын нүктелердің 
жиыны, демек жылжытулардың келесі қасиеті мынадай: 
10
0
. Жазықтықтың жылжытуы, оның әрбір 
 
А
а,
жарты жазықтығын 


А
а


,
жарты жазықтығына түрлендіреді (мұнда 
а

түзуі 
а
түзуінің 
А

нүктесі 
А
нүктесінің берілген жылжытудағы бейнелері). 
Салдар. Жылжыту екі өлшемді бұрышты екі өлшемді бұрышқа 
бейнелейді. 
Теорема 2. (Жылжытулардың бар болуы) Егер 
АВС
мен 
С
В
А



екі үшбұрыш 
және, егер 
С
В
ВС
С
А
АС
В
А
АВ









,
,
болса, онда жазықтықтың 
С
В
А ,
,
нүктелерін сәйкес 
С
В
А



,
,
нүктелеріне бейнелейтін жалғыз жылжыту бар. 
Дәлелдеу. 
1) Әуелі ізделіп отырған жылжытудың жалғыздығын дәлелдейік, яғни, 
егер 
1
L
мен 
2
L
дегеніміз 
 
 
 
 
 
 
C
C
L
C
L
B
B
L
B
L
A
A
L
A
L









2
1
2
1
2
1
,
,
орындалатындай екі жылжыту болса, онда 
1
L
мен 
2
L
тебе-тең екендігін 
дәлелдейік. 
Ол үшін 
1
L
мен 
1
2

L
жылжытуларының композициясын қарастырайық: 
.
1
1
2
L
L
L



Бізде 
 
 


 
,
1
2
1
1
2
A
A
L
A
L
L
A
L






сол сияқты 
 
 
.
,
C
C
L
B
B
L


Демек, 
L
жылжытуы 
С
В
А ,
,
нүктелерінің 
әрқайсысын 
орнында 
қалдырады. 
Геометрияның мектептік курсынан, берілген 
А
мен 
В
нүктелерін орнында 
қалдыратын тек екі түрлендіру ғана бар екен белгілі, ол теңбңе-теңдік 
түрлендіру және 
АВ
түзуіне сай симметрия. 
L
жылжытуы 
 
АВ
түзуіне 
қарағандағы симметрия бола алмайды, себебі ол 
С
нүктесін орнында 
қалдырады. Онда 
.
E
L

Мұнда: 
.
2
2
L
L
L


Бірақ, 

 

.
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
L
L
E
L
L
L
L
L
L
L
L












Демек,
,
1
2
L
L

керегі 
дәлелденді. 
2) Енді 
С
В
А ,
,
нүктелерін 
С
В
А



,
,
нүктелеріне (сәйкесінше) бейнелейтін 
жылжыту бар екенін дәлелдейік. Мынадай белгілемелер негізейік: 

р АВ
түзуі, 


р
В
А


түзуі, 


шекарасы 
р
түзуімен анықталатын және 
С
нүктесі өзінде 

157 
жататын жарты жазықтық, 



шекарасы 
р

түзуімен анықталатын және 
С

нүктесі өзінде жататын жарты жазықтық, 



шекарасы 
р

түзуімен 
анықталатын екінші жарты жазықтық. 

А
ны 
А

пен, 

В
ны 
В

пен беттестіретін 
және 


ны 



ке бейнелейтін 
f
жылжытуын қарастырайық, геометрияның 
мектептік курсынан ондай жылжыту бар екені белгілі. 
 
С
С
f


болсын (2-
сурет бойынша). Жылжытудың анықтамасынан: 
С
А
АС



және 
.
С
В
ВС



Сурет 2. Жылжыту арқылы түрлендіру 
Осы теңдіктерден және теореманың шарттарынан: 
.
,
С
В
С
В
С
А
С
А










С

пен 
С

нүктелері салу бойынша 
р

түзуіне сай әр жарты 
жазықтықтарда жатады. Соңғы екі теңдіктен ол нүктелер 
р

түзуіне сай 
симметриялы орналасатынын, яғни 
 
C
C
S
p



1
екенін шығару оңай. Осыдан 

f
S
p

1
іздеп отырған жылжыту екенін көреміз: 
 
 


 
,
1
1
1
A
A
S
A
f
S
A
f
S
p
p
p






 
 


 
,
1
1
1
B
B
S
B
f
S
B
f
S
p
p
p






 
 


 
.
1
1
1
C
C
S
C
f
S
C
f
S
p
p
p






Теорема дәлелденді [3]. 
Ақырында, нүкте – бейненің жүйе – бейнедегі координаталары нүкте – 
түпнұсқаның бастапқы жүйедегі координаталарымен бірдей болғандықтан, 
жазықтықта жылжытуды былайша да түсінуге мүмкін: координаталардың екі 
тік бұрышты декарттық жүйелері алынады да, жазықтықтың бірінші жүйеге 
әрбір нүктесіне екінші жүйедегі координаталары сол нүктенің бірінші жүйедегі 
координаталарымен тең болатын нүктені сәйкестендіреді. 

жүктеу/скачать 5.11 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: