Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 2.11 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Үй жұмыстары
- 4 ЖӘЙ Дифференциалдық теңдеулер жүйесі 4.1 Ж әй дифференциалдық теңдеулер жүйелері. Жүйенің нормальдық қалпы.
| Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап. 1) y"'-4y"+5y'-2y=2x+3 Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e2x-x-4. 2) y"'-3y'+2y=e-x(4x2+4x-10) Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e-2x+(x2+x-1)e-x 3) yIV+8y"+16y=cos x Жауабы:y=(c1+c2x)cos2x+(c3+c4x)sin2x+1/9cos x 4) yIV+2α 2y "+α 4y=cos αx Жауабы: y=(c1+c2x)cosαx+(c3+c4x)sinαx-x2cos αx/ 8α2 5) yV+y"'=x2 –1 Жауабы: y=1/60x5–1/2 x3+c1 x2+c2 x+c3+c4cos x+c5sin x 6) yIV-y=xex + cos x Жауабы: y=c1ex+c2e-x+c3sinx+c4cos x+x2-3x/8*ex-1/4 xsin x Үй жұмыстары Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап. 7) yIV-2y"+y=8(ex + e-x)+4(sinx+cosx) Жауабы: y=(c1 +c2 x+x2)ex +(c3+c4x+x2)e-x+ +sin x +cos x 8) y"'+2y"+y'+2e-2x =0; y|x=0=2, y'|x=0=1,y"|x=0=1 Жауабы: y=4-3e-x +e-2x 9) y"'-y'=3(2-x); y|x=0=y'|x=0=y"|x=0=1 Жауабы: y=ex +x3 10) Эйлер теңдеуін шеш: x3y"'+xy'-y=0 Жауабы: y=x(c1+c2ln|x| +c3ln2|x|) 4 ЖӘЙ Дифференциалдық теңдеулер жүйесі 4.1 Жәй дифференциалдық теңдеулер жүйелері. Жүйенің нормальдық қалпы. Анықтама. Төменде берілген теңдеулер жүйесі: бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі деп аталады, мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у1, у2,…,уn – ізделінді функциялар. Ал, егер жүйе ізделінді функциялардың туындылары арқылы шешілген болса, яғни : онда нормальдық жүйе деп аталады. Теорема. (Коши теоремасы). Егер (n-1) –өлшемді кеңістіктің қандайда бір аймағында нормальдық жүйенің оң жағындағы … функциялары үзіліссіз және бойынша дербес туындылары бар болса, онда осы аймақтың кез-келген нүктелері үшін бастапқы шарттарын қанағаттандыратын, жүйенің жалғыз шешімі бар болатын аймақ табылады. Коши теоремасының шарттары орындалатын аймақта, жүйенің жалпы шешімі болатын функциялар жиынтығынан Кошидың кез келген есебінің шешімін алуға болады. Анықтама. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі деп теңдеулер жүйесін теңбе-теңдікке айналдыратын , , … функциялар жиынтығын айтады. 4.2 Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырғанда үш теңдеуден тұратын (n=3) жүйемен шектелейік. Төменде айтылғандардың барлығы кез келген ретті жүйе үшін де орындалады. Анықтама. Тұрақты коэффициентті нормальдық дифференциалдық теңдеулер жүйесі сызықты біртекті делінеді, егер оны келесі түрде жазу мүмкін болса: (1) (1) жүйе шешімдері үшін келесі қасиеттер орындалады: 1) Егер y, z, u – жүйе шешімдері болса, онда Cy, Cz, Cu , мұндағы C = const – жүйе шешімдері болады. 2) Егер y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – жүйе шешімдері болса, онда y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – жүйе шешімдері болады. Жүйе шешімдері: түрінде ізделінеді. Бұл мәндерді (1) жүйесіне қоя отырып, барлық мүшелерді бір жағына жинап және ekx-ке қысқартсақ: Алынған жүйенің нөлден өзге шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни: Анықтауышты есептеу нәтижесінде k-ға қатысты үшінші дәрежелі теңдеу аламыз. Бұл теңдеу сипаттамалық теңдеу деп аталады және оның k1 , k2, , k3. үш түбірі болады. Оның әрқайсысына (1) жүйенің нөлден өзге шешімі сәйкес келеді: Бұл шешімдердің сызықтық комбинациясы (1) жүйе шешімі болады: Мысал 1: Жүйенің жалпы шешімін тап: Сипаттамалық теңдеу құрастырайық: Теңдеулер жүйесін шешейік: k1 үшін: делік (кез келген мән қоюға болады), сонда: k2 үшін : делік (кез келген мән қоюға болады), сонда: Жүйенің жалпы шешімі: Бұл мысалды басқа тәсілмен шығаруға болады: Бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз: Бұл өрнекке екінші теңдеудегі туындыны у =2x + 2y қоямыз. Оған бірінші теңдеуден у тауып қоямыз: деп белгілей отырып, жүйе шешімін аламыз: Мысал 2: Жүйенің жалпы шешімін тап: Бұл жүйе жоғарыда қаралған жүйеден басқа текті, себебі біртекті емес (теңдеуде х-тәуелсіз аргумент бар). Шешу үшін бірінші теңдеуді х бойынша дифференциалдаймыз: Екінші теңдеудегі z’ алмастырсақ, онда: . Бірінші теңдеуден z –ті тауып осыған қойсақ, онда: Енді алынған екінші ретті дифференциалдық теңдеуді шешейік: Біртекті теңдеудің жалпы шешімі: Енді біртекті емес теңдеудің дара шешімін табайық: Біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі: Алынған нәтижені жүйенің бірінші теңдеуіне қоямыз: жүктеу/скачать 2.11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|