Лекция Ықтималдықтар теориясының негізі
негізі: 1. 182-188, 2. 33-43 Бақылау сұрақтары
жүктеу/скачать 2.4 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция №9. ПАРАМЕТРЛІК ТЕҢЕСТІРУЛЕР
| негізі: 1. 182-188, 2. 33-43
Бақылау сұрақтары: 1. теңестірулердегі түзетулерді қолдану арқылы салмақ бірлігінің орташа квадраттық қателігін есептейтін формуланы жазыңыз. 2. кері салмақтың бірінші және екінші мүшелерінің формуласы нені көрсететінін түсіндіріңіз. Лекция №9. ПАРАМЕТРЛІК ТЕҢЕСТІРУЛЕРТапсырмаларды математикалық тұрғыдан шешу үшін параметрлік тәсілдің негізі барлық өлшенген өсімшелердің функцияларының коэффициенттері түрінде көрсетіледі. Сондықтан, мысалы, үшбұрыштың n іздеп отырған элементтерінен k шамасы өлшеніп, басқаларын r=n-k түріндегі функциялар ретінде көрсетсе теңестірулерде туындылар табу тапсырмасы болмайды. Дегенмен, қажетті өлшенген А, В бұрышы және с қабырғасы өсімшесі қажет болады. Онда қалған үш элементті келесі қатынастардан табамыз: С=108о-(А+В); ; . Егер k басқа орындалатын r шектен тыс өлшеулер орындалуы үшбұрыштың барлық алты элементін (А, В, С, a, b, c) өлшеуде теңестіру қажет болады. Барлық өлшенген өлшеулердің мәндерін параметрлік тәсілмен табатын болсақ дәл сол арақатынастар қолданылады. Қажетті белгісіздерді белгілеп Тj (j=1, 2, 3) арқылы және жоғарыда көрсетілген қатынасқа сәйкес, осы үшбұрыштың өлшенген элементтерін функция параметрлері түрінде келтіреміз: А=Т1; С=180о-Т1-Т2; В=Т2; ; с=Т3; . Осы жағдайда Т параметрлері болып үшбұрыштың өлшенген элементтері ретінде – бұрыштары А, В және с қабырғалары болады. Бірақ кей жағдайда параметрлер ретінде өлшенген ғана элементтері емес функциялары (геодезиялық пункттердің абсолютті биіктігі мен координаталары) да болады. Параметрлік теңестіру тәсілінің теориясын толығырақ қарасырайық. Іздеген өсімшелердің кейбіреулерін анықтау үшін, нақты мәндері белгісіз, өлшенген өлшемдердің нәтижесінен k қажетті және r шектен тыс өсімшелер k+r=n тең болады. Осыған байланысты қатысты дәлдік өсімшесінің мәні салмағына сәйкес болады. Берілген тапсырманы орындау үшін өзара байланысы жоқ Тj (j=1, 2,…, k) параметрлерінің функцияларының барлығы өлшенген өсімшелерді көрсететін Хi (i=1, 2,…, n) болады. Бұл жағдайда Т параметрлерінің саны k қажетті өлшеулер санына тең болу қажет Өлшенген өлшеулерді параметрлерімен функция түрінде көрсетейік: ; ; ………………………... немесе . (9.1) (9.1) теңдеуі байланыстың параметрлік теңдеуі деп аталады. Алынған параметрлердің Тj нақты мәні ереже бойынша белгісіз болады, теңестіру процесі кезінде олардың ықтимал мәні, ал функционалды (9.1) тәуелділігіне байланысты барлық өлшенген өсімшелердің мәнін табады. Теңестірілген өсімшелердің мәндерін арқылы есептейді, мұндағы i - өлшенген мәндердің мәні, ал теңестірілген параметрлердің мәні tj арқылы орындалады. Онда параметрлік теңдеулерді (9.1) келесі түрде көрсетуге болады: ; ; ……………………………. немесе . (9.2) Осыдан алатынымыз . (9.3) Бірақ егерде теңестіру жүйелері (9.3) сызықты емес түрде болса, онда оның шешімі практика жүзінде мүмкін емес болады. Сондықтан есепті келесі жолмен есептейді. tj параметрінен басқаларын тауып немесе жақындаудың басқа жолдарын сондай дәлдікпен анықтап, теңестіруді (9.3) сызықты түрге келтіріп, бір Тейлор қатары бойына тізіп, екінші немесе ьасқа жоғары реттелген қалыпқа келтіру. Осы тәсілмен, t параметрлерінің теңестірулерін келесі тәсілмен көрсетеміз: , (9.4) мұндағы - жақындатылған мәндердің түзетуі . tj мәндерін қою арқылы(9.3) мәндерін аламыз . (9.5) fj функциясының мәндерін Тейлор қатарына қою арқылы оның сызықты емес қатары арқылы табатынымыз: . (9.6) Келесі мәндерді енгіземіз: ; ; ………………………………………………….. . Байқап көрелік, параметрлік теңдеулердің нөмірін бірінші белгілеу кезінде, ал екіншісін – t ( түзетуі) параметр нөмірі. Осы есептеулерді жалпы жазатын болсақ: ; (9.7) , , мұнда - өлшенген өсімше i-дың есептелген мәні, алынған параметрлердің жақындатылған мәнге сәйкестігі . (9.7) теңдеуінің мәндерін қолдана отырып (9.6) теңдеулер жүйесіне саламыз ; ; ……………………………………… ; (9.8) . (9.8) теңдеуі түзетулердің параметрлік теңдеуі, ал аij және li өсімшелері сәйкесінше олардың коэффициенттері мен еркін мүшелеріне тең болады Байқайтын болсақ, (9.8) түзетулер теңдеуінің жүйесі n+k анықталатын түзетулермен (n түзетулер i және k түзетулер j) анықталады, сонымен қатар анықталмаған болып есептеледі. Бүкіл мүмкін болатын белгісіз жүйелер (9.8) нәтижесінен таңдайтындары: болған кезде ең кіші мән қабылдайтын, іздеп отырған түзетулер бірінің үстіне бірі түсетін ең кіші квадраттар принцпі бойынша орындалады. (9.8) теңдеуін ескере отырып, ең кіші квадраттар принцпін толығырақ жазатын болсақ немесе . (9.9) (9.9) функциясын қолдану кезінде минимумға жететін j (j=1, 2, …, k) түзетулерінің мәндерін есептеп көрейік. Ол үшін жеке туындылар F функциясын алып қарастырайық 1, 2, … , k аргументтері арқылы оларды нөлге теңестіреміз. (9.10) (9.8) теңдеуі негізінде жақшаның ішіндегілер сәйкесінше 1, 2, …, n тең болады. Осыны есере отырып, және (9.10) теңдеуін екі есе қысқартып алатынымыз (9.11) Немесе гаусс қосындысын белгілей отырып алатынымыз . (9.12) Аналогты түрде алатынымыз , , …. , . Осы тәсілмен есептелген теңдеулер жүйесі: ; ; (9.13) …………… . j түзетулер мәндерін анықтау үшін (9.10) теңдеуіне қайта оралайық. Оның екі жағын да екіге қысқартып жақшаны ашатын болсақ немесе Гаусс белгілеулерін қолдана отырып, соңғы жазатынымыз . Аналогты түрде, жеке туындылар үшін теңдеулерді қолданамыз , осыдан алатынымз ; ; ……………………………………………………………………………….. . Енді (10.13) теңдеуі келесідей болады: ; ; (9.14) ………………………………………………………… , Мұнда а коэффициенттері кезінде сәйкесінше екі нші индекстер аij сәйкес келеді. (9.14) теңдеуі өзімен қарапайым теңдеулері k сызықты теңдеулері мен k белгісіздер жүйесін құрады. Осы жүйелер шешімінен қажетті мәндерге жақындатылған мәні мен j (j=1, 2, …, k) түзетулерін алады. Ары қарай (9.8) теңдеуінің көмегімен түзетулерін тауып, артынан өлшенген шамалардың (i=1, 2, …, n) теңдеуі мен (j=1, 2, …, k) параметрлерін алады. Теңестіруді бақылау өсімшесі ретінде (9.2) теңдеуі орындалады. Сондықтан, теңестіру есептерін параметрлік тәсілмен келесі ретпен орындайды. 1. өлшенген өсімшелер жиынтығын сараптамадан өткізіп, қажетті k сандар жиынтығын анықтап r шектен тыс өлшеулер өсімшесін анықтаймыз. өлшеу нәтижелерінің жүйесін орнатады. 2. параметрлерін таңдап, олар тәуелсіз болуға тиіс, олар өзара математикалық байланыста болмау керек, ал өлшеу салмақтары функция түрінде көрсетілуі тиіс. Осындар сандар жиынтығы қажетті өлшеу сандарына тең болу керек. Сонымен қатар түзетулердің параметрлік теңдеуі мен осы параметрлер арқылы құрылған теңдеулер қарапайым болуы тиіс. 3. Барлық өлшенген өсімшелер параметрлері функциялар түрінде көрсетіледі. , мұнда . 4. Жақындатылған мәндерді табады (j=1, 2, …, k). 5. (9.2) функциясын сызықты түрге келтіріп, (9.7) формулаларымен коэффициенттері мен түзету параметрлері теңдеуінің (9.8) еркін мүшелерін есептейді. 6. Қарапайым теңдеулердің (9.14) жүйесін шешіп құрастырады, соның нәтижесінде түзетулері алынады. 7. (9.8) теңдеуі арқылы өлшеу нәтижелерінің түзетулерін есептейді. 8. Өлшенген өсімшелердің теңестіру мәндері мен параметрлерін . 9. теңдеуімен орындалған есептеулердің дұрыстығын бақылайды. Бақылау теңдіктерінің сақталмауы тек өлшенген қателіктерге ғана байланысты емес, белгісіздердің жақындатылған мәндерінің жеткіліксі дәлдіктеріне, үлкен абсолютті түзетулер мәндерінің жіберілмейтіндігіне, осының салдарынан реттеуді Тейлор қатарына қойып (9.5) теңестіруде қолданады. Бұл жағдайда теңестірулерден кейінгі өсімшелер болса онда тек нақтыланған жақаындату мәндерінің параметрлерімен барлық теңестірулерді орындайды. жүктеу/скачать 2.4 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|