Математики и кибернетики

7.2.Построение теней

Большинство алгоритмов, предназначенных для построения теней, используют модифицированные принципы перспективной проекции. Здесь рассматривается один из самых простых методов. С его помощью можно получать тени, отбрасываемые трехмерным объектом на плоскость.

Общий подход таков: для всех точек объекта находится их проекция параллельно вектору, соединяющему данную точку и точку, в которой находится источник света, на некую заданную плоскость. Тем самым получаем новый объект, целиком лежащий в заданной плоскости. Этот объект и является тенью исходного.

Рассмотрим математические основы данного метода.

Пусть:

P – точка в трехмерном пространстве, которая отбрасывает тень.

L – положение источника света, который освещает данную точку.

S=a(L-P)-P - точка, в которую отбрасывает тень точка P, где a – параметр.

Предположим, что тень падает на плоскость z=0. В этом случае a=z_p/(z_l-z_p). Следовательно,

x_s = (x_pz_l - z_lz_p) / (z_l - z_p),

y_s = (y_pz_l-y_lz_p) / (z_l - z_p),

z_s = 0

Введем однородные координаты:

x_s=x_s'/w_s'

y_s=y_s'/w_s'

z_s=0

w_s'=z_l-z_p

Отсюда координаты S могут быть получены с использованием умножения матриц следующим образом:

Для того, чтобы алгоритм мог рассчитывать тень, падающую на произвольную плоскость, рассмотрим произвольную точку на линии между S и P, представленную в однородных координатах:

aP+bL, где a и b – скалярные параметры.

Следующая матрица задает плоскость через координаты ее нормали:

Т
очка, в которой луч, проведенный от источника света через данную точку P, пересекает плоскость G, определяется параметрами a и b, удовлетворяющими следующему уравнению:

(aP+bL)G = 0

Отсюда получаем: a(PG) + b(LG) = 0. Этому уравнению удовлетворяют

a = (LG), b = -(PG)

Следовательно, координаты искомой точки S = (LG)P-(PG)L. Пользуясь ассоциативностью матричного произведения, получим

S = P[(LG)I - GL], где I – единичная матрица.

Матрица (LG)I - GL используется для получения теней на произвольной плоскости.

Рассмотрим некоторые аспекты практической реализации данного метода с помощью OpenGL.

Предположим, что матрица floorShadow была ранее получена нами из формулы (LG)I - GL. Следующий код с ее помощью строит тени для заданной плоскости:

glEnable(GL_BLEND);

glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA,GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);

glDisable(GL_LIGHTING);

glColor4f(0.0, 0.0, 0.0, 0.5);

glPushMatrix();

glMultMatrixf((GLfloat *) floorShadow);

RenderGeometry();

glPopMatrix();

glEnable(GL_LIGHTING);

glDisable(GL_BLEND);

/* Визуализируем сцену в обычном режиме */

RenderGeometry();

Матрица floorShadow может быть получена из уравнения (*) с помощью следующей функции:

/* параметры: plane – коэффициенты уравнения плоскости

lightpos – координаты источника света

возвращает: matrix – результирующая матрица

*/

void shadowmatrix(GLfloat matrix[4][4], GLfloat plane[4],

{

GLfloat dot;

plane[1] * lightpos[1] +

plane[2] * lightpos[2] +

plane[3] * lightpos[3];

matrix[1][0] = 0.f - lightpos[0] * plane[1];

matrix[2][0] = 0.f - lightpos[0] * plane[2];

matrix[3][0] = 0.f - lightpos[0] * plane[3];

matrix[1][1] = dot - lightpos[1] * plane[1];

matrix[2][1] = 0.f - lightpos[1] * plane[2];

matrix[3][1] = 0.f - lightpos[1] * plane[3];

matrix[1][2] = 0.f - lightpos[2] * plane[1];

matrix[2][2] = dot - lightpos[2] * plane[2];

matrix[3][2] = 0.f - lightpos[2] * plane[3];

matrix[1][3] = 0.f - lightpos[3] * plane[1];

matrix[2][3] = 0.f - lightpos[3] * plane[2];

matrix[3][3] = dot - lightpos[3] * plane[3];

}
Заметим, что тени, построенные таким образом, имеют ряд недостатков.

• 
  Описанный алгоритм предполагает, что плоскости бесконечны, и не отрезает тени по границе. Например, если некоторый объект отбрасывает тень на стол, она не будет отсекаться по границе, и, тем более, "заворачиваться" на боковую поверхность стола.
  
• 
  В некоторых местах тени может наблюдаться эффект "двойного смешения" (reblending), т.е. темные пятна в тех участках, где спроецированные треугольники перекрывают друг друга.
  
• 
  С увеличением числа поверхностей сложность алгоритма резко увеличивается, т.к. для каждой поверхности нужно заново строить всю сцену, даже если проблема отсечения теней по границе будет решена.
  
• 
  Тени обычно имеют размытые границы, а в приведенном алгоритме они всегда имеют резкие края. Частично избежать этого позволяет расчет теней из нескольких источников света, расположенных рядом и последующее смешение результатов.
  

Итак, задача – отсечь вывод геометрии (тени, в данном случае) по границе некоторой произвольной области и избежать "двойного смешения". Общий алгоритм решения с использованием буфера маски таков:

1. 
   Очищаем буфер маски значением 0
   
2. 
   Отображаем заданную область отсечения, устанавливая значения в буфере маски в 1
   
3. 
   Рисуем тени в тех областях, где в буфере маски установлены значения 1. Если тест проходит, устанавливаем в эти области значение 2.
   

1.

/* очищаем буфер маски*/

glClearStencil(0x0);

/* включаем тест */

glEnable(GL_STENCIL_TEST);

2.

/* условие всегда выполнено и значение в буфере будет равно 1*/

glStencilFunc (GL_ALWAYS, 0x1, 0xffffffff);

glStencilOp (GL_REPLACE, GL_REPLACE, GL_REPLACE);

RenderPlane();

glStencilFunc (GL_EQUAL, 0x1, 0xffffffff);

/* значение в буфере равно 2,если тень уже выведена */

glStencilOp (GL_KEEP, GL_KEEP, GL_INCR);

RenderShadow();