Анықталған интеграл шамасы интеграл айнымалысының белгіленуіне тәуелсіз, ендеше
мұнда x, t-кез келген әріптер.
Анықталған интегралдың төменгі шегі жоғарғы шегіне тең болса, онда интеграл нөлге тең, яғни Интегралдаудың шектерін алмастырғанда анықталған интегралдың таңбасы кері ауысады.
.
Егер интегралдаудың аралығын бөлік аралықтарының ақырлы санына бөлсек, онда аралығы бойынша алынған анықталған интеграл барлық бөлік аралықтары бойынша алынған анықталған интегралдардың қосындысына тең . Тұрақты көбейткішті анықталған интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.
Функциялардың қосындысының анықталған интегралы сол функциялардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады
.
Бұл бөлімде біз И. Ньютон және Г.В. Лейбниц аттарымен байланысты интегралдық есептеудің негізгі формуласын аламыз ((5) формула).
Теорема. кесіндісінде функциясы үзіліссіз және функциясы функциясының алғашқы функциясы болсын. Онда кесіндісінде функциясынан алынған анықталған интеграл осы кесіндіде алғашқы функциясы осы кесіндідегі өсімшесіне тең, яғни
(5)
Ньютон-Лейбниц формуласын пайдаланып анықталған интегралды есептеу екі қадамда орындалады: алғашқы қадамда анықталмаған интегралды табудың техникасын пайдалана отырып, интеграл астындағы функциясы үшін F(x) функциясын табады. Екінші қадамда алғашқы Ньютон-Лейбниц формуласының өзі қолданылады. Анықтама бойынша
(6)
Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру
Теорема. кесіндісінде функциясының туындысы, және болғанда әрбір х нүктесінде функциясы үзіліссіз болсын, мұнда . Онда
теңдігі орындалады.
Бұл анықталған интегралда айнымалыны алмастыру формуласы деп аталады.
Анықталмаған интегралдағы жағдай сияқты айнымалыны алмастыруды пайдалану интегралды есептеуді қысқартып, кестелі түрге келтіруге мүмкіндік береді. Мұнда анықталмаған интегралдан айырмашылығы интегралдаудың бастапқы берілген айнымалысына көшудің қажеті жоқ. және теңдеулерінің t айнымалысына қатысты шешімі сияқты сол жағындағы t айнымалысына байланысты және интегралдаудың шектерін тапсақ жеткілікті. Жаңа айнымалыны алмастыруды орындай отырып, практикада жаңа айнымалыны ескі айнымалымен алмастыру өрнегімен бастайды. Бұл жағдайда t айнымалысы арқылы интегралдаудың шектерін табу былай өрнектеледі: .
Достарыңызбен бөлісу: |
