Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006

жүктеу/скачать 146.91 Kb.

Дата	14.07.2016
өлшемі	146.91 Kb.
	#199152
түрі	Методические указания

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Пермский государственный технический университет

Кафедра вычислительной математики и механики

Основы вариационного исчисления - I

Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

Пермь 2006

УДК 517 (075.8)

Основы вариационного исчисления, ч.I: методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса / Сост. доц. В.В. Малыгина; Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. 32 с.

Методическое пособие предназначено для студентов III курса специальностей КМ и ДПМ, изучающих дисциплину «Основы вариационного исчисления». Кратко изложены необходимые теоретические сведения из курса вариационного исчисления, которые сопровождаются разбором типовых примеров. Даны варианты заданий для самостоятельной работы.
Рецензент – канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова.

©Пермский государственный технический университет, 2006

Введение

Как известно из курса дифференциального исчисления, вопрос отыскания экстремумов гладкой функции сводится к исследованию нулей ее производной; более того, введению самого понятия производной как раз и способствовали попытки решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции.

Аппарат дифференцирования оказался простым, универсальным и эффективным методом, с помощью которого удается решать практически любые задачи на экстремум, если интересующая нас величина может быть задана как функция, то есть представляет собой отображение числового множества в числовое множество. А если область определения или множество значений – не числа? Получается, что тогда у нас нет ни функции, ни ее производной, ни, стало быть, метода решения задач на экстремум? Но ведь для объектов, не являющихся функциями, задачи на экстремум ничуть не утрачивают своей актуальности, и необходимо как-то научиться их решать.

Метод решения задач на экстремум для отображений более общей природы, чем функции, и составляет суть классического вариационного исчисления, основы которого были заложены в XVIII в. в работах двух выдающихся математиков того времени – Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа.

Рассмотрим – вслед за Эйлером и Лагранжем – задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения функционалов – отображений, областью определения которых являются произвольные пространства, а множеством значений – числа (вещественные или комплексные). Легко привести примеры функционалов. Возьмем в качестве области определения плоскость или трехмерное пространство – получим функционал, который мы называли раньше функцией двух или трех переменных. Пусть область определения – множество непрерывных на отрезке функций. Поставим в соответствие каждой функции число – значение определенного интеграла от функции по данному отрезку – и мы снова получим функционал, на этот раз интегрального вида.

Для функционалов удалось построить столь же простой и красивый метод решения задач на отыскание экстремумов, как и для функций. Это оказалось возможным как раз потому, что для функционалов нашелся аналог дифференциала. Им оказалось введенное в работах Лагранжа понятие вариации функционала, которое явилось основой нового раздела математики (и дало ему название).

Оказалось, что замена дифференцирования варьированием сохраняет практически без изменений теоремы классического анализа, на которых базируется решение задач на экстремум: в точке экстремума первая вариация необходимо равна нулю, а характер критической точки (максимум, минимум, отсутствие экстремума) определяется свойствами второй вариации.

Основываясь на этих результатах, можно, выстраивая подходящие функционалы, получать решения многих задач, связанных с нахождением экстремумов.

Из истории вариационного исчисления

Задача о брахистохроне или как льва узнают по когтям

озьмем две точки (А и В) и соединим их всевозможными кривыми, идущими сверху вниз (см. рисунок). Если материальная точка начнет падать из А по одной из кривых под действием силы тяжести, то через некоторое время она попадет в точку В. Это время можно рассматривать как функцию, заданную на множестве всех кривых, идущих из точки А в точку В. Возникает задача об отыскании кривой, двигаясь по которой падающая точка быстрее всего попадет в точку В. Такую кривую назвали брахистохроной (от греческих слов «брахистос» – кратчайший и «хронос» – время).

История задачи о брахистохроне начинается с 1696 года. Ее формулировка и первое решение принадлежат Иоганну Бернулли. Им же задача была предложена Лейбницу, который посоветовал Бернулли опубликовать «столь прекрасную и до сих пор неслыханную задачу» для состязания между геометрами, предоставив годичный срок для решения. По истечении срока оказалось, что только трое математиков сумели найти решение задачи о брахистохроне: Лопиталь, Якоб Бернулли и ... некий таинственный автор, опубликовавший решение без подписи в одном английском журнале. Но Иоганн Бернулли сразу угадал анонима: лишь один человек в Англии мог решить задачу с таким блеском – сэр Исаак Ньютон. Как писал сам Бернулли, он узнал Ньютона, как льва узнают по когтям.

Интересно, что термин «брахистохрона» оказался нужен только для постановки задачи. После ее решения выяснилось, что брахистохрона – это давно известная математикам и механикам циклоида.

Изопериметрическая задача или легенда о Дидоне

Дидона, дочь трирского царя, бежавшая от отца, после многих приключений прибыла на берег Африки. Жившие там туземцы согласились продать ей участок земли на берегу моря, но «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Однако предприимчивая Дидона разрезала воловью шкуру на очень узкие полоски, из которых связала очень длинную веревку. А затем Дидона столкнулась с геометрической задачей: как следует положить веревку, чтобы она, вместе с морским берегом, ограничила участок земли наибольшей площади? Легенда утверждает, что Дидона успешно решила эту задачу и на отведенном ей участке основала город Карфаген.

Задача о геодезических линиях

После того как вывели формулу для вычисления длины пространственной кривой, возникла задача: найти кратчайшую среди всех кривых, лежащих на заданной поверхности и соединяющих две точки А и В этой поверхности. Например, на плоскости такой линией будет отрезок АВ, на сфере – дуга окружности большого круга, проходящая через точки А и В. Для поверхностей же более сложных решение задачи не было известно. А такие кратчайшие линии были нужны картографам и геодезистам, не зря их сейчас называют геодезическими линиями на поверхности. Интересный результат о геодезических линиях на поверхностях вращения получил французский ученый Алексис Клеро. Он доказал, что на таких поверхностях вдоль геодезических произведение расстояния до оси вращения на косинус угла между геодезической и параллелью остается постоянным.

Задачи с закрепленными границами

Уравнение Эйлера

Рассмотрим функционал вида

, (1)
где функции x предполагаются непрерывно дифференцируемыми на интервале (a,b). Функцию

будем предполагать непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам столько раз, сколько потребуют содержащие ее уравнения.
Поставим задачу: найти в указанном классе функций такую, на которой функционал

принимал бы наибольшее (наименьшее) из всех возможных значений.
Для функционалов вида (1) очень просто формулируется необходимое условие экстремума.

Теорема. Пусть функция х₀ – экстремаль (т.е. функция, на которой достигается экстремум функционала

). Тогда она является решением уравнения Эйлера:

. (2)
Уравнение (2) есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные; значит, решив уравнение, мы найдем семейство экстремалей, зависящее от двух параметров. Чтобы определить экстремаль однозначно, требуется задать некоторые дополнительные условия. В классической постановке это – условия закрепленных границ:

. (3)
Добавляя к уравнению Эйлера условия (3), получаем для нахождения экстремалей обычную краевую задачу. В случае интегрируемости уравнения Эйлера в квадратурах, решение этой задачи может быть получено аналитическими методами; в прочих случаях используют приближенные и численные методы решения.

Пример 1. Найти экстремали функционала

,
удовлетворяющие условиям:

.
Решение. В данном примере

, следовательно,

, а уравнение Эйлера имеет вид:

. Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого легко записывается через элементарные функции:

. Учитывая граничные условия, находим:

Следовательно, искомая экстремаль имеет вид:

Частные случаи уравнения Эйлера

Уравнение (2) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка (вообще говоря, нелинейное), для которого нет универсального алгоритма построения решения в квадратурах. Но, как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, существуют целые классы дифференциальных уравнений, обладающих рядом специальных свойств: например, уравнение может допускать понижение порядка; может не содержать явно некоторых переменных; оказаться линейным или автономным и т.п. Эти свойства могут существенно упростить решение вариационной задачи, поэтому целесообразно находить, учитывать и классифицировать эти специальные случаи. Особенно полезна классификация, дающая возможность «предсказать» свойства уравнения Эйлера по виду функции .

. Уравнение Эйлера имеет вид:

, т.е. является функциональным, а не дифференциальным.
2.

, т.е. подынтегральная функция является линейной относительно производной. Уравнение Эйлера снова превращается в функциональное:

.
Функции, удовлетворяющие функциональным уравнениям, не образуют параметрического семейства и не обязаны удовлетворять граничным условиям.
Пример 2. Найти экстремали функционала

удовлетворяющие условиям: .

Решение. Подынтегральная функция не зависит от

, значит, уравнение Эйлера имеет вид:

, откуда находим единственную кривую, которая может быть экстремалью:

. Но вариационная задача содержит еще граничные условия, которые для найденной кривой могут и не выполняться. В самом деле, для функции

имеем:

то есть первое условие выполняется; но

значит, если

, то кривая

является экстремалью, если же

, то задача не имеет решения.

Пример 3. Найти экстремали функционала

,
удовлетворяющие условиям:

.
Решение. Подынтегральная функция относится ко второму типу при

, а уравнение Эйлера имеет вид: 1=1, т.е. обращается в тождество. Но если равенство

выполняется тождественно, то, как известно из курса интегрального исчисления, это означает, что подынтегральная функция являет собой полный дифференциал. В данном случае его легко восстановить:

, следовательно,

, т.е. значение функционала остается неизменным при любой дифференцируемой на

функции. Значит, все эти функции (их бесконечное множество) являются решениями данной вариационной задачи.
3.

. Уравнение Эйлера имеет вид:

или

. Таким образом, уравнение допускает понижение порядка и становится дифференциальным уравнением первого порядка.
4.

. Решениями уравнения Эйлера могут быть только прямые:

.
5.

. Уравнение Эйлера снова допускает понижение порядка и принимает вид:

.
6. Как известно, из всех дифференциальных уравнений наиболее простая структура решений у линейных. Поэтому представляет интерес указать класс функционалов, для которых уравнения Эйлера – линейные. Если

то уравнение Эйлера имеет вид:

.
Заметим, что мы получили (в самосопряженной форме) линейное дифференциальное уравнение общего вида. Следовательно, любому линейному дифференциальному уравнению второго порядка можно сопоставить функционал (и даже не один), для которого это уравнение будет уравнением Эйлера.

Обобщения уравнения Эйлера

Пользуясь теми же методами, несложно получать аналоги уравнений Эйлера для функционалов более общего вида. Остановимся на двух из них.

Для функционалов вида

экстремали являются решениями уравнения Эйлера – Пуассона:

.
Понятно, что для однозначного выбора экстремали требуется дополнительно задать условия на границах:

Для функционалов вида

экстремали являются решениями системы уравнений Эйлера:

.
Соответственно, граничные условия принимают вид:

Пример 4. Найти экстремали следующего функционала

,
удовлетворяющие условиям:

.
Решение. Уравнение Эйлера – Пуассона имеет вид:

или

. Решая это уравнение, получаем семейство экстремалей вида:

. Учитывая граничные условия, находим единственную экстремаль

Список рекомендуемой литературы

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные ураванения и вариационное исчисление / М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

Варианты заданий

Задание 1

Найти экстремали следующих функционалов, удовлетворяющих условиям жесткого закрепления.

Задание 2

Исследовать на разрешимость следующие вариационные задачи (в зависимости от значений параметров) и дать полное описание класса экстремалей, когда задача имеет решение.