ГЛАВА 1 Дилеммы философии геометрии

ГЛАВА 1

Дилеммы философии геометрии

Во-первых, раскрыть действительную диалектику мысли, благодаря которой появляется неевклидово вúдение мира; диалектику, вновь открывшую рационализм и сумевшую потеснить тем самым психологию закрытого разума, опиравшегося на неизменные аксиомы.

Во-вторых, нам нужно выявить возможные условия синтеза различных форм геометрии, что приведет нас, с одной стороны, к рассмотрению проблемы связей, существующих между ними, а с другой — к характеристикам идеи группы. При этом, поскольку последняя идея завоевала себе постепенно место в механике и физике, мы должны будем обратить особое внимание — под углом зрения синтеза — на связь теоретического и опытного аспектов в геометрической мысли. Нам представляется, что эпистемологическая проблема, которая появляется в связи с использованием неевклидовой геометрии в математической физике, в корне отличается от простой проблемы логичности. В этом смысле “философское заблуждение” А. Пуанкаре характеризует как бы суть этого отличия на фоне психологического переворота, совершенного новым научным веком. Мы коснемся этого “заблуждения” в параграфе III настоящей главы.

I

Короче говоря, нас не может не удивить, что диалектические тенденции появляются почти одновременно и в философии, и в науке. Очевидно, такова судьба человеческого разума. Как заметил Холстед (Halsted), “открытие неевклидовой геометрии в 1830 г. было неизбежным”. Рассмотрим вкратце, как в конце XVIII в. подготавливалось это открытие, не забывая об эпистемологической природе проблемы.

Еще Ж. Л. Д'Аламбер относился к постулату Евклида о параллельных как к теореме, требующей доказательства. В том, что эта теорема соответствует истине, определенному математическому факту, никто не сомневается. Другими словами, для всех геометров вплоть до XIX в. параллельные существуют. Обычный, повседневный опыт оправдывал это понятие как непосредственно, так и путем следующих из него косвенных выводов. Вызывало, однако, ощущение неудовлетворенности то, что все еще не удалось связать эту простую теорему с совокупностью доказанных теорем; повторяю, само существование параллельных никогда не ставилось под сомнение. Как раз здесь, в этой скороспелой реалистской оценке ситуации, коренилось глубокое непонимание сути проблемы. Это непонимание продолжает существовать даже тогда, когда намечается путь к открытию. Саккери (Saccheri) и Ламберт в XVIII в., Тауринус (Taurinus) и де Тилли (de Tilly) намного позже, в XIX в, все еще пытаются доказать тезис о параллельных в качестве теоремы, истины, которую нужно обосновать и утвердить. Но тем не менее существенный элемент сомнения у них появляется, хотя сомнение это предстает еще только как разновидность способа доказательства (имеется в виду “доказательство от противного”. — Ред.). Эти математики начинают задаваться вопросом о том, что случится, если отбросить или изменить понятие параллельных. Их метод доказательства постепенно принимает форму способа приведения к нелепости, рассуждения на основе абсурдности. Так, Ламберт, не ограничиваясь тем, чтобы связать друг с другом странные заключения — например, признавая, что на поверхности треугольника действует некоторая вариация евклидовых положений, — кроме этого, предполагает, что логика не будет, вероятно, нарушенной и при дальнейшем развитии неевклидовых рассуждений, довод в пользу этого предположения он находит в аналогии свойств бесконечных (непрерывных) прямых на плоскости и окружностей большого радиуса на сферической поверхности. Многие теоремы равным образом применимы и к первому и ко второму случаю. Следовательно, можно заметить, как образуется логическая цепочка, независимая от природы звеньев, которые в нее входят. Еще точнее формулирует эту же мысль Тауринус, говоря, что “большие окружности на сферической поверхности имеют свойства, весьма схожие со свойствами прямых на плоскости, за исключением свойства, выраженного в шестом постулате Евклида: две прямые не могут образовать замкнутого участка пространства”⁷; этот последний часто считают эквивалентом классического постулата о параллельных.

Эти простые наметки, эти совершенно первичные формы неевклидова мышления уже позволяют нам ощутить общую философскую идею новой свободы математического мышления. Действительно, уже на этом материале можно понять, что роль некоторых сущностей первичнее их природы, а сущность не предшествует отношению, она современна ему. Таким образом, проблема, поставленная требованием Евклида, будет понятна, если рассмотреть роль, которую играют прямые на плоскости, а не пытаться исследовать их природу в качестве абсолюта или бытия; т. е. когда научаются, варьируя применение, обобщать функцию понятия прямой на плоскости, когда обучаются применять понятия за границами их первоначальной, исходной сферы. Тогда оказывается, что простота — это отнюдь не неотъемлемое качество некоего понятия, как считает картезианская эпистемология, а лишь внешнее и относительное свойство, возникающее одновременно с применением и рассмотренное в особом отношении. Поэтому можно было бы с некоторой долей парадоксальности, видимо, сказать, что исходным пунктом неевклидова способа мышления является очищение и упрощение и без того чистого и простого понятия. В самом деле, если вдуматься в замечание Тауринуса, то возникает следующий вопрос: не означает ли прямая, поставленная в связь с другой, параллельной ей, особой прямой, прямой, более богатой, — короче, не есть ли она уже сложное (составное) понятие, поскольку, с точки зрения функциональной, большая окружность на сфере, аналогичная прямой на плоскости, не может иметь параллельных ей. Именно это выразил П. Барбарэн, напоминая, что еще в 1826 г. Тауринус высказал мнение, что “если пятый постулат Евклида неверен, то, по-видимому, могут существовать искривленные поверхности, на которых некоторые кривые имеют свойства, аналогичные свойствам прямых на плоскости, кроме свойства, выраженного в пятом постулате; смелая догадка, подтвержденная спустя сорок лет в результате открытия Бельтрами псевдосферы”⁸. Следовательно, если прямые рассматриваются как геодезические линии на евклидовой плоскости, мы неизбежно будем возвращаться к ведущей идее Тауринуса, которая состоит в том, чтобы перевести математические понятия в область более широких смыслов (и соответственно область менее понятную), и трактовать понятия только в соответствии с их строго определенной функциональной ролью.

Прежде всего не стоит спешить распространять трактовку в духе математического реализма с линии на поверхность и воображать, что только принадлежность линии некоторой поверхности придает линии характер реальности. Проблема математической реальности более скрыта, менее непосредственна, более отдаленна и абстрактна. Точнее было бы сказать, что реальность какой-либо линии усиливается, укрепляется ее принадлежностью ко множеству различных поверхностей или — еще лучше — что суть некоего математического понятия измеряется возможностями изменения его содержания, что позволяет расширить область применения этого понятия. Говоря в общей форме, именно то, что обнаруживается как то же самое в самых различных применениях, и может служить основой для определения материальной реальности. Этот факт тотчас же обнаруживается, когда обращаются к исследованию математической реальности. Следовательно, здесь нужно выделить один момент — то, что мерой математической реальности является скорее широта области применения понятий, нежели их понятность. Математическая мысль приобретает свой действительный размах с принятием идеи изменчивости, связи, возможности различных применений. Разве это не вершина диалектической игры мысли, когда расширение сферы применения достигает максимального размаха, а преобразование понятий объединяет самые несхожие, самые далекие друг от друга формы?

Именно в такой деятельности дух может установить степень своей связи с математической реальностью. Обратимся к тому, что было определяющим в неевклидовой революции.

В сравнении с изысканиями Ламберта в построениях Лобачевского и Бояи заключена более смелая диалектика. Это связано с тем, что цепь теорем, которые вытекают из неевклидова варианта теоремы о параллельных, тянется все дальше и дальше и все более освобождается от того, чтобы руководствоваться аналогиями. Можно сказать, что в течение 25 лет Лобачевский скорее занимался расширением сферы своей геометрии, чем ее обоснованием. Но так же верно, что ее можно обосновать лишь в ходе расширения. Кажется, Лобачевский хотел доказать существование движения, двигаясь. Но можно ли справиться с видимым противоречием, продолжая таким образом дедукции, исходя из предпосылки, которую с самого начала можно было бы квалифицировать как абсурдную? Вот вопрос, поднимающий множество проблем на стыке эпистемологии и психологии. Со строго эпистемологических позиций начала неевклидовой геометрии излагают обычно следующим образом.

Поскольку прямо доказать евклидово положение не удается, примем его за истину, к которой нужно прийти посредством приведения к абсурду. Для этого заменим это положение на противоположное и осуществим необходимую процедуру выводов, исходя из изменившейся системы постулатов. Разумеется, полученные выводы будут противоречить исходным посылкам. Но поскольку рассуждение верно в логическом отношении, неверным будет исходный тезис. Следовательно, нужно вернуться к положению Евклида, которое тем самым будет доказано.

Но это эпистемологическое резюме быстро теряет характер убедительности, стоит нам обратиться к Пангеометрии Лобачевского 1855 года. В этом случае мы не только замечаем, что никакого противоречия не появляется, но и вскоре отдаем себе отчет в том, что перед нами — возможность открытой дедукции. В то время как в случае трактовки какой-либо проблемы способом “от противного” мы достаточно быстро приходим к заключению, где абсурдность становится очевидной, система дедуктивных заключений, предпосылкой которой является диалектика Лобачевского, предстает для сознания ученика как все более солидная. Говоря психологическим языком, больше нет оснований ждать противоречия в цепи рассуждений как Лобачевского, так и Евклида. Со временем эта эквивалентность будет показана благодаря работам Клейна и Пуанкаре, но она обнаруживается уже в психологическом плане. Здесь есть небольшой нюанс, которым обычно пренебрегают философы, выносящие суждения на основании окончательных результатов. Если мы хотим проникнуть в суть новой диалектики научного духа, нам нужно жить ею именно в плане психологическом, как в психологической реальности, обучаясь в ходе первоначального формирования дополнительных мыслей.

Резюмируя, можно, следовательно, сказать, что всякий психолог научного духа должен действительно пережить то странное раздвоение геометрической личности, которое происходило в математической культуре в течение последнего столетия. Тогда станет понятно, что более или менее скептический тезис относительна “математического конвенционализма” очень плохо выражает мощную диалектику, свойственную различным геометрическим идеям.

Проблемы, касающиеся обобщения математических понятий, предстают в другом свете, когда принимается во внимание существенная диалектичность геометрического мышления. В письме, адресованном де Тилли (1870 г.), Уэль (Houлl) характеризует этот процесс обобщения остроумным аналитическим сравнением: “Последователи Евклида считали, что их геометрию отрицают, в то время как ее лишь обобщили; Лобачевский и Евклид могли бы прекрасно договориться. Обобщенная геометрия... это метод, аналогичный тому, которому следовал бы аналитик, который, получив общее решение дифференциального уравнения некоторой задачи, обсуждал бы это общее решение до того, как придать частные, конкретные значения константе в соответствии с данными задачами, что никоим образом не значит отрицать тот факт, что произвольная константа в конечном счете должна получать то или другое определенное значение. Что же касается отсталых евклидовцев, т. е. тех, кто ищет доказательств для Постулатов, то лучше всего сравнить их с теми, кто ищет в самих дифференциальных уравнениях определения постоянных интегрирования”⁹. Прекрасное сравнение, указывающее на обобщающую силу аксиоматики: некое дифференциальное уравнение получается путем отвлечения от частных значений констант; его общее решение включает все возможности; пангеометрия элиминирует допущения, которые могут делаться произвольно — точнее, нейтрализует их в силу одного того, что стремится дать систематический список всех допущений. Она есть продукт дополняющей мысли. Геометрию Евклида вновь обнаруживают на ее месте, в составе некоего класса, как частный случай.

Множественность геометрий каким-то образом способствует деконкретизации каждой из них. Реализм идет от одного вида к совокупности. Показав инициирующую роль диалектики в геометрическом мышлении, нам нужно, следовательно, изучить способность синтезировать и связывать, свойственную точным и полным формам диалектики.

II

Известно, что эквивалентность различных геометрических фигур была окончательно установлена, когда было найдено, что они связаны с одной общей алгебраической формой. И когда это было установлено, больше не нужно было опасаться противоречия, якобы присущего как системе Лобачевского, так и системе Евклида, поскольку геометрическое противоречие любого происхождения непременно проявилось бы в алгебраической форме и отсюда — во всех других геометриях, связанных друг с другом. Опорный камень здания очевидности — это алгебраическая форма. В итоге алгебра собирает воедино все отношения — и ничего, кроме отношений. И именно в качестве отношений разные геометрии являются эквивалентными. Именно будучи отношениями, они обладают известной реальностью, а не в силу связи с неким объектом, опытом, наглядным образом. Попытаемся раскрыть, с одной стороны, процесс деконкретизации исходных понятий, а с другой — процесс конкретизации отношений между этими обесцвеченными понятиями.

В том, что касается первого процесса, обратимся к содержательным страницам книги Г. Жювэ, посвященным аксиоматике. Жювэ пишет, что физика исходит из понятий, достаточно далеких от непосредственного опыта, и показывает, как эти понятия постепенно очищаются, схематизируются, отнюдь не обогащаясь в плане наглядности в ходе теоретического размышления. Физика таким образом достигает своих наиболее развитых и полных теорий, редуцируя объем понятий как раз к масштабу атрибутов, которые делаются видимыми при расширении этих теорий. “Лишь еще больше освобождая эти понятия от их атрибутов, можно избегнуть тех антиномий, которые проистекают из слишком большого объема, который им вначале приписывали”¹⁰. В случае геометрии такое освобождение заходит так далеко, что предлагается запретить всякое обращение к опыту, в связи с чем Жювэ вспоминает исходную позицию аксиоматики Д. Гильберта: “Существуют три группы объектов, которые мы назовем: объекты первой группы A, В, С..., объекты второй группы а, b, с... и объекты третьей группы α, β, γ... Позже окажется, что прописные буквы представляют точки, строчные — прямые, а греческие — поверхности элементарной геометрии”¹¹. Таким образом приняты все меры предосторожности для того, чтобы объем объектов был, если так можно выразиться, точно по их мерке и ни на йоту не отличался от того, какой был объем вещественного (субстанциального) источника. Другими словами, тут речь идет только о качестве отношений, а никоим образом не о субстанциальных качествах.

Но если отношения не коренятся в объектах и если объекты “приобретают” свои свойства позже, лишь вместе с привнесенными отношениями, то можно задать следующий вопрос: откуда в таком случае берутся эти отношения? Здесь еще господствует случайность, поскольку независимость постулатов, призванных связывать объекты, должна быть абсолютной, и любой постулат должен быть заменимым на противоположный. Одно-единственное отношение не может, следовательно, стать основанием реалистской позиции, опираясь на которую защищают право (из предположения о наличии некоей субстанциальной реальности) делать вывод о предпочтительности какого-либо отношения перед противоположным. Лишь когда скопище отношений обнаруживает их связность, эта мысль о связности мало-помалу начинает дублироваться потребностью в полноте, которая определяет поиск добавочных дополняющих моментов. Так начинается синтезирующая деятельность, которая стремится завершить комплекс отношений: это значит, что геометрическое мышление создает впечатление некоей тотальности и что только теперь связность мысли предстает как дублирующая некую объективную спаянность. Мы достигаем здесь точки, в которой появляется реальное в математическом смысле. Но это реальное никоим образом не современник “первичных объектов” и не предшествует отношениям, взятым поодиночке. Лишь когда многочисленные отношения требуют дополнения, тогда и можно увидеть в действии эпистемологическую функцию, существенную во всякой реализации.

Аксиоматический эпюр, составляющий подоснову геометрической мысли, опирается в свою очередь на более глубокое основание, являющееся исходной базой психологии математического мышления. Эта база — идея группы. Всякая геометрия — и, вне сомнения, вообще всякая математическая организация опыта — характеризуется особой группой преобразований. Новый довод в пользу тезиса, что математический объект определен посредством критериев, имеющих отношение к преобразованиям. Когда мы рассматриваем, например, евклидову геометрию, то перед нами особенно ясная и простая группа; может быть, настолько простая, что мы даже не замечаем сразу ее теоретической и экспериментальной значимости. Эта группа, как известно, группа перестановок. С ее помощью определяется равенство двух фигур, лежащее в основе метрической геометрии: две фигуры считаются равными, если после наложения они совпадут. Очевидно, что две следующие друг за другом операции перестановки могут быть заменены одной, представляющей производную от двух первых; любая серия любых перестановок может быть также при этом заменена одной-единственной. Такова причина того, что перестановки образуют группу.

Однако является ли эта истина опытной или рациональной? Не поразительно ли, что можно ставить перед собой такой вопрос и таким образом помещать идею группы в центр диалектического взаимодействия разума и опыта? В самом деле, есть довод в пользу того, что идея группы или, точнее, идея совокупности объединенных в группу операций отныне представляется общей основой физического опыта и рационального исследования. Математическая физика, встроив в свое основание понятие группы, отмечена превалированием рационального начала. Следует понять это, размышляя о структуре той первой математической физики, каковой является евклидова геометрия. Как верно сказал Жювэ: “Опыт показывает... что эти перестановки не изменяют геометрических фигур, но аксиоматика доказывает это фундаментальное положение”¹⁴. Доказательство важнее констатации.

Пока группа не связана с определенной аксиоматикой, нет уверенности, что последняя действительно представляет собой полный список постулатов. “Если некая группа представлена геометрией, ее аксиоматика непротиворечива в той мере, в какой не оспариваются теоремы Анализа. С другой стороны, аксиоматика некоторой геометрии будет полной лишь тогда, когда она действительно выступает как точное представление некоторой группы; коль скоро не найдена группа, которая является ее рациональной основой, эта аксиоматика неполна или, быть может, даже противоречива”¹⁵. Иначе говоря, группа представляет замкнутой математической системе доводы в пользу самой этой системы. Ее открытие приносит конец эре конвенций, более или менее независимых друг от друга, более или менее связанных друг с другом.

Физические инварианты, опирающиеся на структуру групп, придают, на наш взгляд, рациональное, а отнюдь не реалистское значение принципу преемственности, обнаруженному Э. Мейерсоном в основе физических явлений. Во всяком случае, именно здесь математизация реального в самом деле оказывается оправданной и образует процесс органической преемственности, на что указывал еще Жювэ: “В бурном потоке явлений, в постоянно меняющейся реальности физик усматривает преемственные связи; чтобы описать их, его ум конструирует геометрические структуры, разные формы кинематики, механические модели, аксиоматизация которых имеет целью уточнить... то, что за неимением подходящего термина мы назовем полезным пониманием различных понятий, формирование которых было связано с опытом и наблюдением. Если построенная таким образом аксиоматика есть представление группы, инварианты которой годятся для перевода, в реальность преемственностей, которые опыту предстоит открыть, то физическая теория свободна от противоречий и представляет собой образ реальности”¹⁶. Жювэ сближает соображения относительно групп с исследованиями Кюри относительно симметрий. Он заключает: здесь сразу перед нами и метод и экспликация.

III

Когда Пуанкаре доказывал логическую эквивалентность разных геометрий, он утверждал, что геометрия Евклида всегда будет считаться самой удобной и в случае ее конфликта с физическим опытом исследователи всегда будут предпочитать изменение физической теории перестройке принципов элементарной геометрии. Так, Гаусс намеревался экспериментально проверить с помощью астрономических наблюдений одну из теорем неевклидовой геометрии, поставив перед собой следующий вопрос: действительно ли сумма углов треугольника, фиксируемого на звездах, т. е. имеющего гигантские размеры, обладает свойством уменьшаться, как это следует из геометрии Лобачевского. Пуанкаре не считал подобное измерение решающим экспериментом. Если он будет проведен, говорил он, то тогда можно будет сказать, что световой луч как физическая сущность подвергается искривлению, что он не распространяется в данном случае по прямой. Евклидова геометрия будет спасена в любом случае.

В главе, которую мы посвятим некартезианской эпистемологии, мы постараемся полнее охарактеризовать это мышление, прибегающее к аргументам об отклонениях, одну из попыток которого утвердить априорную ясность мы только что видели. В целом, такой способ мышления сводится к тому, чтобы представить в качестве неизменной перспективу интеллектуальной ясности, обрисовать дело так, что будто бы существует некоторая плоскость наиболее ясных мыслей, которая всегда выступает как первичная, что эта плоскость должна оставаться отправной базой для любых последующих исследований, что они могут появляться, только отправляясь от этой основы начальной ясности. Какой же метод должен быть присущ физической науке, если исходить из подобной эпистемологии? Нужно стремиться обрисовать опыт в его крупных чертах; подчинить феноменологию элементарной геометрии; обучать разум обращению с устойчивыми формами, не обращая внимания на уроки изменений. Лишь таким образом вся евклидовская инфраструктура, которая складывается в разуме, прочно увязывается с опытом обращения с твердыми телами, природными и искусственными. Лишь отталкиваясь от этой геометрической бессознательной основы, определяют затем отклонения, обнаруживаемые в физическом эксперименте.

Как об этом очень хорошо говорит Гонсет: “Ошибки и отклонения определены в намерении — в общем, несознаваемом — сделать всю систему измерений интерпретируемой с минимальными искажениями посредством геометрии Евклида”¹⁸.

Но является ли эта геометрическая структура, которая считается вечной характеристикой человеческого мышления, действительно определяющей? Отныне это можно отрицать, поскольку современная физика на деле конституирует себя, основываясь на неевклидовых схемах. Для этого требуется, чтобы физик подошел к новой области со всей независимостью разума, после того как евклидовы устремления подверглись психоаналитическому выявлению. Это новое учебное поле — микрофизика. Мы покажем в дальнейшем, что соответствующая ему эпистемология не является вещистской. Здесь же просто подчеркнем, что элементарный объект микрофизики не есть твердое тело. Электрические частицы, из которых образована вся материя, больше нельзя рассматривать в качестве настоящих твердых тел. И это не просто утверждение в духе реализма, которое имело бы не больше ценности, чем вещистское утверждение реалистски ориентированного атомизма. Из своей установки современный физик черпает глубокие доводы, весьма характерные для нового мышления, в пользу того, что электрическая частица, в сущности, не имеет формы твердого тела, поскольку при движении она деформируется. О ней судят — насколько это возможно — на основании математического преобразования, преобразования Лоренца, которое не принимает в расчет группу перестановок, свойственную евклидовой геометрии. Разумеется, геометрическая интерпретация физики электричества может быть предпринята и на евклидовой почве. Для этого придется вообразить особое сжатие; но это абсолютно неэффективный путь, пустая трата времени, поскольку невозможно ясно представить в воображении сжатие того, что является сплошным. Лучше перевернуть перспективу видения ясности и судить о вещах как бы извне, исходя из математической необходимости, о которой говорит фундаментальная группа. Так, вместо того, чтобы в первую очередь думать о твердых неизменных телах, знакомых нам на основании грубого повседневного опыта и изученных в практике простых евклидовых перемещений, микрофизика занята тем, что думает о поведении элементарного объекта в прямом согласии с законом Лоренцовых преобразований. И кроме того, микрофизика принимает, в качестве частного случая, евклидово толкование явлений только в виде упрощающей картины. В этом упрощенном образе она ясно видит искажения, неполноту, функциональную бедность. Психологически современный физик отдает себе отчет в том, что рациональные привычки, сформировавшиеся на основе нашего повседневного опыта и практической деятельности, по существу чреваты застойностью, которую и необходимо преодолеть, чтобы снова вернуться к движению духа, способного делать открытия.

Если вообще стоит придавать соображениям удобства какое-то значение, то следовало бы сказать, что часто наиболее удобной, наиболее экономной и наиболее ясной для интерпретации экспериментальных данных в области микрофизики является риманова геометрия. При этом речь не идет, разумеется, о двух языках или двух образах и еще меньше — о двух видах пространственной реальности; речь идет о двух планах абстрактного мышления, двух различных системах рациональности, двух методах исследования. Путеводной нитью теоретической мысли является отныне группа. Вокруг некоторой математической группы можно всегда организовать экспериментирование. Именно этот факт дает представление о реализаторской ценности математической идеи. Старая диалектика евклидова и неевклидова подходов перемещается в более глубокую область физического опыта. Вся проблематика научного познания реального задается выбором некоей начальной математической структуры. Если хорошо понято (как это следует, например, из работ Гонсета¹⁹), что экспериментирование находится под воздействием некоей предварительной мыслительной конструкции, то именно в абстракции ищут доводы в пользу связности конкретного. Список возможностей опыта определяется аксиоматиками.

Таким образом, к психоматематической культуре приходят, воскрешая в памяти рождение неевклидовой геометрии, которая была первым случаем диверсификации аксиоматик.

ГЛАВА 2

Неньютонова механика

I

Эйнштейновская система внесла коренные изменения в область традиционных астрономических представлений. Хотя сразу же нужно заметить, что релятивистская астрономия отнюдь не связана генетически с ньютоновской. Система Ньютона была завершенной системой. Внося мелкие поправки в закон тяготения, совершенствуя теорию возмущений, она имела многочисленные средства для того, чтобы объяснить небольшое смещение перигелия Меркурия так же, как и другие аномалии. С этой точки зрения не было необходимости потрясать до оснований теоретическую мысль, дабы приспособить ее к данным наблюдения. Мы жили в ньютоновском мире, как в просторном и светлом доме. Ньютоновское мышление с самого начала представляло собой великолепный и тонкий образец замкнутой мысли, выйти из него можно было только его взорвав.

Уже в плане простых вычислений, на наш взгляд, ошибаются те, кто видит в ньютоновской системе первое приближение к эйнштейновской, поскольку релятивистские поправки никоим образом не вытекают из более точного применения ньютоновских принципов. Поэтому было бы неверным считать, что ньютоновский мир предвосхищает в своих главных чертах эйнштейновский. Только постфактум, когда целиком вошли в релятивистское мышление, можно обнаружить вновь в астрономических расчетах теории относительности — посредством известного насилия и игнорирования определенных моментов — численные результаты, получаемые средствами ньютоновской астрономии. По сути же, между системами Ньютона и Эйнштейна никакого перехода нет. Даже умножив число данных, удвоив точность измерений и слегка изменив принципы, нельзя перейти от одной системы к другой. Для этого, напротив, необходимо полное обновление. Здесь следуют индукции, выводящей за границы, а не той, которая их расширяет, когда переходят от классического мышления к релятивистскому. Разумеется, когда такая индукция осуществлена, можно посредством редукции вновь получить ньютоновскую науку. Астрономия Ньютона, в конечном счете, такой же частный случай Панастрономии Эйнштейна, как геометрия Евклида — частный случай Пангеометрии Лобачевского.

II

Релятивист как бы вопрошает: а как вы используете вашу простую идею? Как вы проверите одновременность? Как вы узнали о ней? И потом, как вы предполагаете передать это знание нам, находящимся в другой системе отсчета? Короче говоря, как функционирует ваше понятие? В какие суждения, связанные с опытом, вы его включаете, поскольку включение понятий в такие суждения — разве это не сама суть эксперимента? И когда мы на все это ответим, когда мы вообразим некую систему оптических сигналов, с помощью которых различные наблюдатели смогут достичь согласия относительно одновременности, релятивист потребует от нас ввести наш эксперимент в систему понятий. Он напомнит нам, что наша система понятий опытна. Мир, таким образом, не столько наше представление, сколько верификация. Отныне дискурсивное и опытное знание одновременности будет связано с воображаемой картиной восприятия, которая покажет нам сразу совпадение двух явлений в один и тот же момент времени. Впечатление первоначальности чистой идеи пропадет: она познается не иначе, как в сопоставлении, по своей роли в сложном, куда она включена. Данная идея, которую мы считали первичной, не находит, следовательно, своей основы ни в разуме, ни в опыте. Как пишет Л. Брюнсвик: “Она не может быть ни определена логически, посредством достаточного основания, ни констатирована физически, как нечто непосредственно наличествующее. В самой своей основе она представляет собой отрицание; она возвращает нас к отрицанию того, что необходимо какое-то время для распространения сигнала. Короче, мы замечаем, что понятие абсолютного времени, или, точнее, единственного способа измерения времени, т. е. одновременности, независимой от системы отсчета, обязано своей видимостью простоты и непосредственной реальности лишь недостаткам анализа”²⁰.

Этот же критический принцип мы находим и в основе недавно предложенных методов В. Гейзенберга. Согласно Гейзенбергу, в том, что касается наиболее простых понятий, вроде тех, что относятся к определению положения объекта в пространстве, то в отношении их надлежит выдвигать то же требование экспериментальной проверки. Нам нельзя говорить о месте электрона, если мы не предложим соответствующий опыт по его обнаружению. Напрасно реалисты будут утверждать, что электрон найдут там, где он есть, полагаясь на то, что идея места имеет характер непосредственный, ясный, простой; сторонники Гейзенберга тотчас же заметят, что обнаружение такого крошечного объекта — дело деликатное и что опыт такого рода, как бы он ни был точен, смещает объект в силу его малости. Условия эксперимента, таким образом, образуют нечто целое вместе с определением этого объекта. Всякое определение — опытно; всякое определение понятия — функционально. Как для Гейзенберга, так и для Эйнштейна речь здесь идет о некотором роде экспериментального дублирования рациональных понятий. Эти понятия перестают быть абсолютными в силу их связи с более или менее точным экспериментом.

III

В науке последних столетий единство понятия массы, непосредственный и очевидный характер этого единства выводили из широкого представления о количестве материи. Существовала столь прочная уверенность в том, что дух черпает свое конкретное содержание из природы, что ньютоновские определения представлялись в этой связи просто уточнением хотя и не ясной, но все же обоснованной идеи. Так, определяя ньютоновскую массу как частное от деления силы на ускорение, придавали в этом определении особую роль субстанции движущегося тела, считая, что оно тем больше противостоит действию силы, чем больше содержит материи. Когда же стали определять массу (согласно Мопертюи) как частное от деления импульса на скорость, то вновь обнаруживали мощное влияние той же неясной мысли, тех же смутных представлений: и здесь материальная точка тем больше сопротивлялась действию импульса, чем больше содержала материи. В более теоретичном плане, формулы размерностей, казалось бы, свидетельствовали, что речь в обоих этих случаях идет об одной и той же массе, о том же коэффициенте сопротивления, и не возникало сомнения, что именно здесь может наблюдаться различие. Таким образом, первоначальное понятие массы, хорошо обоснованное как теоретически, так и экспериментально, вроде бы не нуждалось ни в каком анализе. Эта простая идея казалась соответствовавшей простой природе. В этой точке наука представлялась непосредственным выводом из самой реальности.

Однако формулы размерностей, фиксирующие отношения между сущностями, отнюдь не решают столь уверенно, как это думали иногда, вопроса о природе тех сущностей, которые эти уравнения характеризуют. Вместе с тем, притязания на то, что здесь содержание непосредственно берется из конкретного материала, часто излишне смелы. Теория относительности в этом частном вопросе и менее реалистски ориентирована, и в то же время более богата, чем предшествовавшая наука. Простое понятие она расщепляет надвое, а конкретное понятие наделяет математической структурой. Или, точнее говоря, теория относительности приносит с собой довод в пользу того, что масса движущегося тела есть функция его скорости. Но эта функция не одна и та же в случае с массой по Мопертюи и массой по Ньютону. Эти две массы могут быть отождествлены только в первом приближении. Оба понятия проявляют сходство только в том случае, если мы абстрагируемся от их тонкой понятийной структуры. Формулы размерностей не могли провести различия внутри класса однородных функций, касающихся скоростей; а это именно случай тех коэффициентов очищения, которые вступают в действие в виде частного от деления скорости движущегося тела на скорость света.

Теория относительности расколола понятие массы, принятое в чисто ньютоновском определении. Она действительно привела к тому, чтобы различать массу, рассчитанную вдоль траектории движения тела (“продольная” масса), и массу, рассчитанную по нормали к траектории движения, как что-то вроде коэффициента сопротивления изменению траектории движения (“поперечная”, “нормальная” масса). Можно возразить, правда, что эти последние различия являются искусственными, что они просто соответствуют векторному разложению. Однако сама возможность этого искусственного приема и этого разложения как раз и является поучительной. Она показывает, насколько новая математическая физика удалена от классической механики, где масса, взятая в качестве фундаментального единства, рассматривалась как непременно простой элемент.

Естественно, в этом специальном пункте, как и в общей организации мышления, очень легко снова обнаружить классическую массу в качестве частного случая релятивистских масс. Для этого достаточно приглушить “внутреннюю математику” и игнорировать все теоретические тонкости, которые ведут к сложному рационализму. Тогда вновь обнаруживается и упрощенная реальность, и упрощающий рационализм. Именно на этом пути огрубления ньютоновская механика выводима из эйнштейновской, без того чтобы оказалась возможной когда-либо (в частности или в целом) обратная дедукция.

Таким образом, в отношении специальных понятий проводится сравнение процесса познания в системах XIX в. и века XX, когда нужно заключить, что понятия эти расширились в ходе их уточнения и отныне их можно рассматривать в качестве простых лишь в той мере, в какой удовлетворялись их упрощенными вариантами. Раньше верили, что научные понятия усложняются именно в процессе применения и что применения всегда в той или иной мере грубы, сами же по себе понятия считались простыми и ясными. В рамках новой системы мышления стремление уточнять понятия действует вовсе не во время применения; оно действует в самом начале, на уровне принципов и понятий. Как прекрасно сказал Федериго Энрикес: “Физика вместо того, чтобы предлагать более точную верификацию классической механики, приводит скорее к тому, чтобы исправить ее принципы”²¹. Здесь буквальное перевертывание эпистемологической перспективы, путь которой мы еще покажем на других примерах.

IV

Но в некоторых аспектах причины колебания понятия скорости лежат еще глубже. Мало-помалу скорость перестали выражать в явном виде, и все чаще она появлялась как составная часть понятия момента движения. Так же как масса движущегося тела не может быть определена более точно без учета его скорости, понятие скорости имеет тенденцию слиться с понятием добавочной массы. Сам момент движения есть не более чем частный случай, скорее даже образ некоторого алгебраического по своей сути момента. Именно перед лицом этих многочисленных трудностей Бор сказал недавно, что все, относящееся к понятию скорости, покрыто мраком. Скорость остается ясным понятием лишь для обыденного рассудка.

В частности, сомнительны реалистские свойства скорости. Очевидно, что нечто движется, но теперь совсем непонятно, что это. Почитайте, например, превосходную книгу Карла Дэрроу “Синтез волн и частиц”, опубликованную Боллем. В ней говорится, что скорость звука — явление такое ясное на уровне учебника — в действительности мало изучено. То же самое относится и к скорости света. Поэтому едва ли стоит удивляться наличию двух различных скоростей, когда мы обращаемся к двойственному феномену волн и материальных частиц. Это приводит нас к выводу, говорит Дэрроу, что “поток свободного отрицательного электричества обладает двумя различными скоростями: одной, когда мы рассматриваем его как ансамбль частиц; другой, когда видим в нем движение волн. Но следует ли из этого, что одна из этих скоростей лучше, и нельзя ли сделать выбор между ними, измерив фактическое время, затраченное электрическим зарядом на прохождение определенного расстояния? Исследуя эту возможность, мы обнаружим, что не так-то легко избежать указанной двойственности”²². Так зарождается в связи с атрибутикой скорости идея, о которой мы говорили в нашем введении: именно реальность, а не познание несет на себе печать двойственности.

Не приходится удивляться тому, что одна из самых серьезных ошибок аристотелевской механики была связана с неясностью относительно роли скорости в процессе движения. Аристотелизм наделял скорость в каком-то смысле излишней реальностью, когда утверждал, что нужна постоянная сила для поддержания постоянной скорости. В свою очередь Галилей, как известно, ограничивая роль понятия скорости, основал современную механику. Теория относительности, заставив скорость света играть теоретическую роль, сформулировала свой исходный принцип. Наконец, новые исследования: если бы мы были в состоянии глубже изучить формальную роль движений в матричном исчислении, которое появилось недавно, мы бы поняли, какой, без сомнения, изменившийся смысл это исчисление придает понятию скорости, принимавшемуся некогда в качестве простейшего.

V

Правда, перед лицом столь сложной математической организации вполне может возникнуть соблазн повторения известных обвинений в формализме. Ведь когда найден математический закон, то на его основе возможны любые интерпретации; дух проявляет тогда такую ловкость, благодаря которой можно поверить в возможность парить над реальностью в легкой атмосфере формального мышления. И все же математическая физика не столь свободна от своего объекта, как хотели бы того приверженцы аксиоматики. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на психологические аспекты формального мышления, как оно осуществляется в действительности. Всякое формальное мышление — это упрощение, психологически не способное завершиться, некое подобие предельного случая, который никогда не достижим; оно всегда относится к материи, к молчаливо подразумеваемым примерам, к замаскированным наглядным образам. Затем пытаются убедить себя, что материя примера не влияет на суть дела. В пользу этого находят единственный аргумент — то, что один пример можно заменить другим. Однако эта мобильность примеров и такое “утончение” материи не достаточны, чтобы психологически обосновать формализм, поскольку ни в какой из моментов не удается ухватить мысль в качестве пустой формы. Ведь что бы ни говорили, а у алгебраиста в голове больше, чем на бумаге. A fortiori, математические приемы новой физики как будто вскормлены их приложениями к опыту. Совершенно очевидно, что риманова геометрия приобрела большой психологический вес, когда она была использована в теории относительности. Мне думается, здесь существует явная параллель между евклидовым стилем мышления Ньютона и римановым мышлением Эйнштейна.

Если держаться последовательно психологической точки зрения, то нельзя не обратить внимания на то, какое влияние оказывает математический инструмент на специалиста. Видно, как на смену Homo faber приходит Homo mathematicus. Ясно, например, что тензорный инструмент — прекрасный механизм обобщения; пользуясь им, дух приобретает новые способности обобщать. До математической эры, в эпоху твердого тела, считалось, что реальность изобилием примеров диктовала физику идею обобщения: мысль представлялась тогда как резюме выполненных экспериментов. В новой же релятивистской науке один-единственный математический символ (с его множеством значений) обозначает тысячу черт скрытой реальности: мысль есть программа экспериментов, подлежащих реализации.

К этой индуктивной и изобретательной силе, которую дух приобретает, пользуясь тензорным исчислением, следует также добавить (для полной характеристики последнего с психологической точки зрения) его способность к синтезу. Дисциплина тензорного исчисления требует, чтобы мы ничего не забывали, чтобы в нас как бы реализовалась способность органическогои мгновенного пересчета, с ее уверенностью в том, что мы имеем перед глазами все вариации символа. По существу, это расширение — в духе рациональности — декартовой процедуры мнемотехнического счета. Мы вернемся к этому в заключительных выводах нашей книги, чтобы показать, что неньютонова наука находит обобщение в некартезианской эпистемологии.

Итак, в самой процедуре исчисления уже появляется известное ощущение полноты. Это изначальный идеал полноты, который продолжает действовать в дальнейшем. В случае теории относительности мы находимся довольно далеко от аналитического состояния ньютоновской мысли. Лишь в сфере эстетики можно обнаружить синтетические ценности, сравнимые с математическими символами. Вспоминая эти прекрасные символы, где сочетаются возможное и действительное, как не вспомнить образы поэзии Малларме: “Их вдохновляющая сила и чистота. Об этом мечтают, как о том, что могло бы быть; и не зря, ибо никогда не следует, в идее, пренебрегать ни одной из возможностей, которые витают вокруг образа, они принадлежат оригиналу даже вопреки очевидности”²³. Равным образом и чистые математические возможности принадлежат реальному явлению, даже если это противоречит первым свидетельствам непосредственного опыта. То, что может быть по мнению математика, всегда может быть реализовано физиком. Возможное того же рода, что и Бытие.

Волновая и квантовая механики значительно усилили синтетические возможности математической физики. С точки зрения математики они предстают во многих отношениях как методы систематического обобщения. Даже с первого взгляда видно, что уравнение Шредингера носит предельно общий характер. То же самое можно сказать и о матричном исчислении. Физик-прагматик (если таковой еще существует) мог бы выдвинуть тысячу возражений против терминов-фантомов, появляющихся подобно статистам, для того, чтобы придать форму мысли, завершенной мысли, и обреченных на бесследное исчезновение, упраздняемых окончательными опытными проверками. Но как ошибаются те, кто полагает, что эти термины-фантомы лишены психологической реальности! Они прекрасно существуют, эти опорные знаки мысли. Без их посреднической роли научное мышление было бы просто грудой эмпирических знаний. Чаще всего именно с их помощью устанавливается идеальная связь и происходит это замещение последовательности причинностью, которое есть еще одна важная черта рациональной связности современной науки.

Таким образом, научный дух не может удовлетвориться рассмотрением лишь очевидных черт данного опыта, необходимо, чтобы мысль схватывала все экспериментальные возможности. Это тот нюанс, который особенно трудно уловить. В самом деле, известно, например, позитивистское требование Гейзенберга, согласно которому все используемые понятия должны обладать экспериментальным смыслом. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что Гейзенберг допускает при этом и опору на мысленный эксперимент. Достаточно, чтобы он был возможен. Математическая физика в конечном счете выражает себя в терминах экспериментальных возможностей. В подобной концепции каким-то образом возможное сближается с реальным. Оно занимает свое место и играет свою роль в организации эксперимента, удалившись от спекулятивных по преимуществу измышлений философии как если бы^23a. От такой математической организации экспериментальных возможностей возвращаются к опыту более прямыми путями. Эта перспектива, безусловно, предстает как расширение научного мышления.

Следовательно, бросая общий взгляд на эпистемологические отношения между современной физической наукой и наукой ньютоновского типа, можно сказать, что здесь нет развития старых концепций в направлении к новым, а есть скорее некий охват старых идей новыми идеями. Духовные поколения как бы вкладываются одно в другое. Переход от неньютоновского типа мышления к ньютоновскому характеризует вовсе не противоречие, а противодействие. Именно это противодействие позволяет нам найти упрощенный феномен внутри ноумена, который его включает в себя как частный случай внутри общего случая, когда частное отнюдь не может породить общее. Отныне изучение феномена возвышается до характера чисто ноуменальной деятельности; именно математика открывает новые пути опыту.