Предсказание дефолта облигаций, используя проспект эмиссии
жүктеу/скачать 1.5 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Параметр θ Параметр θ
- Параметр θ
Построение моделей.Модель 1. Для построения каждой описанной ниже модели будут использоваться алгоритмы, написанные на языке программирования MATLAB17. Для удобства построения алгоритмы написаны таким образом, что при построении моделей и вычислении коэффициентов уже учтен знак “ – “ перед переменной Z в уравнении логистической функции (Уравнение 1). Таким образом, результатом построения моделей будет переменная Z`, от которой в дальнейшем можно вычислять значение логистической функции, равное: 
Чем выше значение Z`, тем ниже вероятность дефолта. Перед построением модели необходимо выбрать параметр регуляризации. Как правило, данный параметр подбирается эмпирически. Для упрощения задачи с помощью языка программирования MATLAB написан алгоритм для построения графика18, отображающий зависимость площади под кривой (AUC) от параметра регуляризации (λ). При построении данной зависимости используется метод скользящего контроля. Данная зависимость представлена на Графике 1. В качестве исходных данных для построения Модели 1 была взята вся выборка компаний, и протестированы все 43 переменных. Из графика 1 следует, что для данной выборки площадь под кривой максимальна при λ = 10. График 1. Зависимость площади под кривой от параметра регуляризации в Модели 1. 
Таким образом, Модель 1 будет построена, используя параметр регуляризации равный 10. Результатом построения Модели 1 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 3. Таблица 3. Параметры модели 1.Источник: расчеты автора
Для данной модели кривая ошибок19 представлена на Графике 2. График 2. Кривая ошибок Модели 1. 
Площадь под кривой для Модели 1 без применения метода скользящего контроля равна 0.862. такой высокий показатель означает, что данная модель достаточно хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в данной конкретной выборке. Однако, применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 3. График 3. Кривая ошибок Модели 1 с применением метода скользящего контроля. 
После применения метода скользящего контроля площадь под кривой ошибок становится равной 0.477. Эта величина ниже, чем соответствующая случайному выбору величина 0.5. Данный результат означает, что Модель 1 не способна предсказывать дефолт облигаций. Это можно объяснить переобучением, присутствующим в Модели 1: при размере выборки, равном 50, модель построена по 43 параметрам. При этом даже регуляризации не позволяет избежать переобучения. Чтобы избежать переобучения в дальнейшем, следует ограничить набор переменных, по которым строится модель. Для всех переменных проведен двусторонний, двухвыборочный т-тест с неравными распределениями, в котором в качестве массивов данных используются значения переменных для дефолтных облигаций и для недефолтных облигаций. С помощью этого теста выделены показатели, средние значения которых для дефолтных и недефолтных облигаций различаются на уровне до 10%. В Таблице 4 приведен список данных показателей, указаны средние значения, стандартные отклонения для выборок дефолтных и недефолтных облигаций, а также значение вероятности того, что эти две выборки взяты из генеральных совокупностей, имеющих одно и то же среднее. Таблица 4. Отобранные переменные. Источник: расчеты автора
В Приложении 4 приведены графики распределения данных показателей, где значение 0 на оси Х соответствует недефолтным облигациям, а значение 1 на оси Х соответствует дефолтным облигациям. Модель 2. Перед построением Модели 2, как и перед построением Модели 1, необходимо определить параметр регуляризации. Максимальное значение площадь под кривой ошибок принимает при параметре регуляризации λ равном 0.2. Эта величина параметра регуляризации и будет использоваться для построения Модели 2. Результатом построения Модели 2 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 5.
Не применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 4. График 4. Кривая ошибок модели 2. 
Площадь под кривой ошибок без применения метода скользящего контроля равняется 0.784, что является достаточно высоким значением. Это объясняется тем, что Модель 2 хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в данной выборке. Протестировав Модель 2 с применением метода скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 5. График 5. Кривая ошибок модели 2 с применением метода скользящего контроля. 
Площадь под кривой ошибок Модели 2 после применения метода скользящего контроля равняется 0.664. Данное значение площади под кривой ошибок означает, что Модель 2 достаточно хороша в предсказании дефолта облигаций. Стоит также отметить, что предсказательная способность модели резко падает при значении параметра регуляризации, равном 0. При отсутствии регуляризации площадь под кривой ошибок после применения метода скользящего контроля становится равной 0.591. Таким образом, регуляризации является хорошим инструментом для повышения качества модели. Ниже представлена формула для вычисления переменной Z`, полученная в результате построения Модели 2. 
Знаки переменных, полученных в Модели 2, говорят об обратной зависимости между вероятностью дефолта и переменными RE/TA, PBT/CL, CF1/Debt*, Gross cash flow/Debt* и прямой зависимости между вероятностью дефолта и переменными CF2/Debt* и Coupon2. Таким образом, увеличение, например, размера активов снижает вероятность дефолта облигации, как и увеличение денежных потоков от финансовой деятельности. В то время как увеличение размера нераспределенной прибыли и выручки до налогообложения увеличивает вероятность дефолта. Кроме того, увеличение размера купона также снижает вероятность дефолта. Модель 3. Для построения Модели 3 из списка переменных, представленных в Таблице 4, исключены переменные CF4/Debt и Coupon2. Таким образом, модель строится в зависимости от переменных, распределения которых различаются на 5% уровне значимости. Как и ранее, параметр регуляризации для построения модели подбирается эмпирически. Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при параметре регуляризации λ равном 0.34. Используя данное значение параметра регуляризации, мы определяем коэффициенты Модели 3. В результате построения Модели 3 получен вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 6.
Тестируя Модель 3 без применения метода скользящего контроля, мы получаем значение площади под кривой ошибок (График 6) равное 0.762. Это значение свидетельствует о том, что построенная модель хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по данной выборке. График 6. Кривая ошибок модели 3 
Далее мы проводим тестирование Модели 3 с применением метода скользящего контроля. Площадь под кривой ошибок, построенной с применением метода скользящего контроля (График 7), равна 0.666. Данное значение говорит о том, что Модель 3 достаточно хорошо предсказывает дефолт облигаций по 5 переменным, по которым она построена. График 7. Кривая ошибок модели 3 с применением метода скользящего контроля 
Ниже представлена формула для вычисления переменной Z`, полученная в результате построения Модели 3, от которого вычисляется значение логистической функции. 
Знаки переменных, полученные в Модели 3 повторяют результаты Модели 2. Модель 4. Для построения Моделей 4 – 6 будет использоваться массив данных, отличный от того, который использовался для построения Моделей 1 – 3. В последующих моделях исходные данные нормированы. Для этого для каждой переменной в исходной выборке было найдено минимальное и максимальное значение, после чего каждой переменной в исходной выборке было присвоено новое значение, равное: 
Таким образом, максимальное значение переменной по выборке получило новое значение, равное 1, а минимальное значение переменной по выборке – новое значение, равное 0. Остальным значениям переменных было присвоено новое значение в диапазоне от 0 до 1. Модель 4 построена по всем 43 нормированным переменным. Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при параметре регуляризации λ, равном 0.16, которое и будет использовано для построения модели. Модель 4 построена по всем 43 нормированным переменным. Результатом построения Модели 4 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 7. Таблица 7. Параметры модели 4.Источник: расчеты автора
Не применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 8 Площадь под кривой ошибок равна 0.895. Такое значение данного параметра свидетельствует о том, что Модель 4 хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по заданным переменным. График 8. Кривая ошибок модели 4. 
Для оценки предсказательной силы модели применим метод скользящего контроля. На Графике 9 изображена новая кривая ошибок Модели 4. График 9. Кривая ошибок модели 4 с применением метода скользящего контроля 
Площадь под кривой ошибок с применением метода скользящего контроля равна 0.531. Это говорит о том, что Модель 4 обладает определенной предсказательной силой, что отличает ее от модели случайного предсказания. Тем не менее, предсказательная способность Модели 4 гораздо ниже, чем у моделей 2 и 3. Для вычисления переменной Z` используя Модель 4, применяется следующая формула: 
где θ и Х – вектор-столбцы коэффициентов модели и нормированных переменных, посчитанных, используя информацию из проспектов эмиссии, соответственно. Модель 5. Так как Модели 2 и 3 обладали достаточно хорошей предсказательной силой, далее будет проведен логит-анализ, основанный на переменных, использованных в Моделях 2 и 3, значения которых статистически различаются для дефолтных и недефолтных облигаций. Для построения Модели 5 используются нормированные переменные RE/TA, PBT/CL, CF4/Debt, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, Coupon2, значения которых различаются на 10% уровне значимости. Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при значении параметра регуляризации, равном 0.31. Это значение параметра регуляризации будет использоваться для построения Модели 5. Результатом построения Модели 5 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 8. Таблица 8. Параметры модели 5.Источник: расчеты автора
Тестируя Модель 5 без применения метода скользящего контроля, получаем кривую ошибок, изображенную на Графике 10. Высокое значение площади под кривой ошибок (0.789) свидетельствует о том, что модель хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по заданным переменным внутри выборки. График 10. Кривая ошибок модели 5. 
Для проверки того, насколько хорошо Модель 5 предсказывает дефолт облигаций по заданным параметрам, проводится тестирование модели с применением метода скользящего контроля. Значение площади под новой кривой ошибок (График 11), равное 0.657, свидетельствует о достаточно хорошей предсказательной силе модели. График 11. Кривая ошибок модели 5 с применением метода скользящего контроля. 
По оценке Модели 5 переменная Z` считается следующим образом: 
Необходимо дополнить, что в данной формуле все переменные нормированы по выборке. В целом, результаты, полученные с помощью Модели 5 (знаки коэффициентов), повторяют результаты моделей 2 и 3. Кроме того, поскольку переменные нормированы, можно отметить, что наиболее сильное влияние на вероятность дефолта оказывает величина переменной RE/TA, так как абсолютное значение коэффициента при данной значительно выше абсолютных значений коэффициентов при других переменных. Модель 6. Для построения Модели 6 используются переменные, значения которых различаются на 5% уровне значимости: RE/TA, PBT/CL, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, нормированные по переменным исходной выборки. Перед построением модели необходимо определить значение параметра регуляризации. Площадь под кривой ошибок достигает своего максимального значения при параметре регуляризации, равном 0.1, который и будет использоваться для построения модели. Результатом построения Модели 6 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 9.
Тестируя данную модель без применения метода скользящего контроля, мы получаем значение площади под кривой ошибок (График 12) равное 0.778, что говорит о том, что модель хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в исходной выборке по заданным переменным. График 12. Кривая ошибок модели 6. 
Далее применяется метод скользящего контроля. Вид новой кривой ошибок и площадь под ней (График 13), равная 0.672, говорят о том, что данная модель имеет достаточно высокую предсказательную силу в определении дефолтов облигаций. Среди моделей, использующих нормированные по выборке переменные, Модель 6 обладает самой высокой предсказательной способностью. График 13. Кривая ошибок модели 6 с применением метода скользящего контроля. 
Ниже представлена формула для вычисления переменной Z`, полученная с помощью Модели 6 
где все переменные нормированы по выборке. Как и в Модели 5, в Модели 6 для предсказания дефолта облигации необходимо переменные RE/TA, PBT/CL, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, вычисленные с помощью данных, полученных из проспекта эмиссии рассматриваемой облигации, нормировать по переменным исходной выборки данной работы. С исключением переменных CF4/Debt и Coupon2 из анализа произошло увеличение влияния других переменных на вероятность дефолта (увеличение абсолютных значений коэффициентов), но, в целом, зависимость вероятности дефолта от данных переменных осталась такой же, как и в Модели 5. Модель 7. В моделях 7 – 9 также будут использоваться нормированные переменные. Но, в отличие от моделей 4 - 6, эти переменные нормированы по отраслям, а не по всей выборке. Таким образом, каждая переменная выборки получает новое значение, равное: 
Соответственно, переменной с максимальным значением по отрасли присваивается новой значение 1, переменной с минимальным значением по отрасли присваивается новое значение 0, остальным переменным присваивается новое значение в диапазоне от 0 до 1. Для построения Модели 7 сначала необходимо определить значение параметра регуляризации. Площадь под кривой ошибок принимает максимальное значение при значении параметра регуляризации, равном 1.6. Данное значение параметра регуляризации будет использовано для построения Модели 7. Результатом построения Модели 7 является вектор коэффициентов θ, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов θ и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 10. Таблица 10. Параметры модели 7.Источник: расчеты автора
График 14. Кривая ошибок модели 7 
На Графике 14 изображена кривая ошибок Модели 7 без применения метода скользящего контроля. Очень высокое значение площади под кривой ошибок (0.968) означает, что модель практически безошибочно разделяет дефолтные и недефолтные облигации в данной выборке по заданным переменным. Полученная новая кривая ошибок после применения метода скользящего контроля изображена на Графике 15. Площадь под кривой ошибок имеет высокое значение, равное 0.727, что говорит о высокой предсказательной силе данной модели. График 15. Кривая ошибок модели 7 с применением метода скользящего контроля. 
Исходя из параметров Модели 7, переменная Z` для этой модели считается следующим образом:
где θ и Х – вектора-столбцы коэффициентов модели и переменных, нормированных по отраслям и посчитанных, используя информацию из проспектов эмиссии, соответственно. Модель 8. Для построения следующих двух моделей будут использованы переменные, значения которых статистически различаются для дефолтных и недефолтных облигаций. Эти переменные так же нормированы по отраслям. Для построения Модели 8 используются параметры RE/TA, PBT/CL, CF4/Debt, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, Coupon2, различающиеся для дефолтных и недефолтных облигаций на уровне значимости 10%. Площадь под кривой ошибок (График 29) с применением метода скользящего контроля принимает максимальное значение при параметре регуляризации равном 2. Соответственно, для построения модели используется значение параметра регуляризации равное 2. Коэффициенты, получившиеся в результате оценки Модели 8, представлены в Таблице 11. Таблица 11. Параметры модели 8.Источник: расчеты автора
На Графиках 16 и 17 отображены кривые ошибок Модели 8, построенные без применения метода скользящего контроля и с применением метода скользящего контроля соответственно. Высокая площадь под кривой на Графике 30 (0.864) свидетельствует о том, что Модель 8 хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в исходной выборке по заданным переменным. В то же время значение площади под кривой ошибок на Графике 31 (0.764) говорит об очень высокой предсказательной способности модели. График 16. Кривая ошибок модели 8. 
График 17. Кривая ошибок модели 8 с применением метода скользящего контроля. 
Исходя из Модели 8 переменная Z` рассчитывается следующим образом: 
Для расчета величины переменной Z`все исходные переменные модели должны быть нормированы по отраслям по исходной выборке. После нормирования переменных по отраслям изменился знак коэффициента при переменной CF4/Debt по сравнению с Моделью 6. Это означает, что увеличение чистого изменения денежных средств уменьшает вероятность дефолта облигаций. Остальные знаки коэффициентов данной модели повторяют результаты Модели 6. Стоит отметить увеличившееся влияние на вероятность дефолта переменной Coupon2 после нормирования переменных по отраслям. Модель 9. Для построения Модели 9 используются переменные RE/TA, PBT/CL, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, нормированные по отраслям. Площадь под кривой ошибок с применением метода скользящего контроля (График 32) принимает максимальное значение при значении параметра регуляризации равном 1.4. Это значение параметра регуляризации используется для построения Модели 9. Результаты оценки Модели 9 представлены в Таблице 12. Таблица 12. Параметры модели 9. Источник: расчеты автора
На Графике 18 изображена кривая ошибок Модели 9 без применения метода скользящего контроля. Значение площади под кривой ошибок равное 0.820 свидетельствует о том, что данная модель достаточно точно разделяет дефолтные и недефолтные облигации в исходной выборке при заданных переменных. График 18. Кривая ошибок модели 9. 
Площадь под кривой ошибок с применением метода скользящего контроля (График 19), равная 0.718, говорит о высокой предсказательной способности Модели 9. График 19. Кривая ошибок модели 9 с применением метода скользящего контроля. 
Таким образом, переменная Z`, рассчитываемая по Модели 9 имеет следующую формулу: 
Все переменные, использующиеся для расчета величины параметра Z` в данной модели должны быть нормированы по отраслям по исходной выборке, использованной для построения данной модели. Знаки коэффициентов данной модели повторяют результат Модели 8. жүктеу/скачать 1.5 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||