Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики
жүктеу/скачать 2.47 Mb. Pdf көрінісі
|
Разделим последнее равенство на ∆𝑥, перейдем к пределу при ∆𝑥 → 0 и получится необходимое равенство 𝑦׳ 𝑥 = 𝑦׳ 𝑢 ∙ 𝑢׳ 𝑥 . Производные основных элементарных функций запишем в виде таблице (Рис. 1.1.2) [8]. Рис. 1.1.2 Таблица производных 12 1.2 История введения производных в курс математики в Российских школах Еще в начале XX века насчитывалось большое количество сторонников ввода высшей математики в среднюю школу. Они приводили достаточно убедительные аргументы, в связи с чем, были введены элементы математического анализа в программы некоторых типов средних учебных заведений России. Обзор особенностей этих программ представлен в работах О. А. Саввиной [16]. Во многих учебных заведениях, например, в кадетском корпусе основное внимание было уделено идейной составляющей. Основная цель программ – ясное и отчетливое понимание обучающимися основных понятий анализа: предел, бесконечно малая величина, непрерывность и производная. В целом, такой подход к изучению высшей математики дал положительные результаты. Исключение составляли ситуации, когда преподаватели не прилагали особых усилий при изучении новых тем и, важно помнить, что это было нововведение. Учебники постоянно обновляли, пробовали добавлять одни темы, при этом исключая другие. Было убрано рассмотрение определения понятия «предел» и при этом выделили в отдельную тему «Производная сложной функции», хотя ранее ограничивались изучением простых функций. Так как программа в кадетском корпусе была менее емкой, чем в реальном училище, то, составляя программы анализа бесконечно малых, вероятнее всего, во внимание был взят опыт реальных училищ. Успешно внедрялся анализ бесконечно малых в кадетских корпусах и к 1911 году уже были созданы учебники по высшей математике для средней школы. 1912 год ознаменован созданием первого методического руководства по математическому анализу для преподавателей. Коммерческие училища обучение математике осуществляли по разным программам. Особенности учебной литературы для средних школ [5]: 1) Авторы излагают разделы анализа не с полной строгостью. 13 2) У многих составителей учебных пособий просматривается использование наглядных средств, которые широко применяются и сейчас. 3) Авторы доступно излагали материал. Поэтому, наверное, многие в своих учебниках вводя понятие предела, используют символ предела из латинских букв «lim», а затем большая часть учителей употребляет сокращение русского слова - «пред.». 4) Понятие функции используется как в курсе анализа бесконечно малых, так и в курсе аналитической геометрии. Кроме того, в отличие от современных учебников, понятие функции включает в себя как случай однозначной, так и многозначной функции. В учебниках рассматриваются различные функции: алгебраические и трансцендентные, явные и неявные, обратные. 5) В учебниках того времени прекрасно изложена тема «Производная». Можно подчеркнуть много полезных методических находок. Во время формирования понятия производной на уроках возникает трудность, так как производную можно представить в одном случае как число, а в другом - как функцию (при нахождении производной функции вида у = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 и других). В XX веке экзаменационная программа включала в себя задачи из анализа. В восьмом классе пробно вводились дифференциальное и интегральное исчисление: о производной, пределе, включены были теорема Ролля, теорема Лагранжа, приложение производной, материал по разложению в ряд показательной функции, тригонометрических функций и многие другие. Середина ХХ века это период споров и разногласий. Были сторонники, которые утверждали, что введение в школьную программу математического анализа принесет свои плоды, были и те, кто не поддерживал эту идею. В дальнейшем, во время проведения реформы в семидесятые годы решено было повысить теоретический уровень в математическом образовании, и начала математического анализа заняли ведущую роль в обучении 14 старшеклассников. Были устранены некоторые излишества, которые не соответствовали возрастным особенностям учащихся средней школы. Методисты убедительно доказали, что элементы высшей математики в современной средней школе необходимы, кроме того, очень серьезно обсудили проблему введения понятий и фактов высшей математики в школьные программы. Еще в начале XX века наметилось несколько тенденций в построении курса высшей математики для средней школы. Согласно одной точке зрения, элементы высшей математики (математического анализа, аналитической геометрии) должны войти в среднюю школу самостоятельным блоком, в виде некоторой надстройки к основному курсу (программы реальных училищ, кадетских корпусов, учебники для средних учебных заведений начала XX века, современный учебник авторского коллектива). Сторонники другого подхода элементы математического анализа рассматривают как базовую составляющую. Согласно этому суждению, элементы математического анализа должны раствориться в курсе «Алгебра и начала анализа». Существовало более 6 различных подходов конструирования программы по введению высшей математики в среднюю школу: автономно- линейный; автономно-концентрический курс; линейный модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический фузионизм с курсом «Алгебра и начала анализа»; линейный фузионизм и другие. Основные концепции используются до настоящего времени, а некоторые не вошли в программы, потому как были недостаточно разработаны. В связи с внедрением профильной дифференциации и эти концепции могут обратить на себя внимание. В нынешнее время каждый подход зависит от различных факторов: профиля старшей ступени; количества времени, выделенного на данный курс; выбором автора учебника и т. д. Можно выделить 8 периодов в становлении и развитии обучения началам высшей математики средней школы в нашей стране. Во время шестого 15 периода были опробованы начала математического анализа школьного курса, этому способствовали факультативы и математические кружки, в массовой средней школе постепенно вводились элементы дифференциального и интегрального исчислений, велись поиски более рациональных конструкций модели (объем, содержание, порядок изложения материала). Во время седьмого периода (80-е годы.) стабилизированы вопросы объема изучаемого материала элементов математического анализа на уроках математики в средней школе; происходит массовое включение элементов дифференциальных и интегральных исчислений в средней школе, вводится стабильный учебник «Алгебра и начала анализа». Несмотря на противоречия и реформы в математическом образовании в начале 80-х гг., элементы высшей математики, уже изучаемые в средней школе, удается сохранить. Кроме того, в этот период созданы современные методики в изучении школьного курса математического анализа. В восьмом периоде (90-е годы и по сегодняшний день) - ведется работа по оптимизации объемов и конструкций элементов высшей математики в программе средней школы в условиях построения учебных планов старших классов в целях учета индивидуальных склонностей на группы А и В. Наблюдается ослабление в изучении элементов математического анализа. Рассматривая данную модель исторических фактов поэтапно, в исследованиях, кроме закономерности функционального назначения в математическом образовании разных социально-экономических условий, учитывались, в основном, значения, которые придавались началам высшей математики на этом этапе: реформация роли и места начал анализа в школьной программе дала возможность установить хронологию данного периода. Находки преподавателей в XVIII - начале ХХ веков в методике по обучению элементам высшей математики в основном создали и обусловили дальнейшие поиски и реализацию, в т. ч. и реализованные авторами образовательных программ следующих поколений. Оптимизация учебного 16 предмета, включающего начала анализа в средней школе, до сих пор продолжается. Таким образом, классификация смысловых подходов позволяет отобрать не только действующие (дореволюционная школа, советское время, современные учебники), но и проблемные подходы. Фундаментом классификации являются следующие признаки: основные черты (самостоятельность или умение смотреть на задачу с разных сторон) и принципы построений (концентрические или линейные). Положив в основу эмпирико-реалистический подход, смысл которого заключается в классификации результатов из реальной практики в различных учебных заведениях, особо рассматривался анализ разнообразных экспериментальных работ, результаты самостоятельных и контрольных работ, математические тесты; успехи учеников из классных журналов, оценки аттестатов и свидетельств; отчеты и доклады педагогов и контролирующих организаций. жүктеу/скачать 2.47 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|