Тематика и перечень самостоятельных СЕМЕСТРОВЫХ заданий

2 Тематика и перечень самостоятельных СЕМЕСТРОВЫХ заданий

Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространства. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.

Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.

Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.

Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи – Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.

Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Спектральное разложение Самосопряженного оператора.

Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.

Тема 8 –Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.

Контрольная работа №1

Контрольные вопросы

1. Линейные пространства, определения, примеры.

2. Нормированные пространства, определения, примеры.

3. Сходимость в нормированных пространствах.

4. Критерий Коши для последовательностей.

5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

6. Линейная зависимость и независимость.

7. Линейные многообразия и подпространства.

8. Размерность линейного пространства.

9. Пространство непрерывных функций.

10. Изоморфизм линейных пространств.

Задачи

Контрольная работа №2

Контрольные вопросы и задачи

1. Банаховы пространства, определения, примеры.

2. Пространства со скалярным произведением, определения, примеры.

3. Гильбертовы пространства, определения, примеры.

4. Пополнение пространств со скалярным произведением.

5. Пространства интегрируемых функций.

6. Пространства Соболева, определения, примеры.

7. Ортонормированные системы. Ряд Фурье.

8. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность.

9. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.

10. Расстояние от точки до подпространства.

Контрольная работа №3

Контрольные вопросы и задачи
1. Линейные операторы, определения, примеры.

2. Замкнутость и ограниченность линейных операторов.

3. Пространства линейных операторов, определения, примеры.

4. Обратные операторы, определения, примеры.

5. Интегральные операторы в пространствах функций.

6. Последовательности линейных операторов. Сходимость.

7. Операторы в пространствах дифференцируемых функций.

8. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов.

9. Ряды линейных операторов.

10. График оператора, замкнутые операторы.

Контрольная работа №4

Контрольные вопросы и задачи
1. Сопряженные пространства.

2. Теорема Хана-Банаха и ее следствия.

3. Сопряженные и самосопряженные операторы.

4. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах.

5. Линейный ограниченный функционал и его норма.

6. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов.

7. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве.

8. Продолжение линейного функционала.

9. Слабая сходимость в нормированных пространствах.

10. Оператор ортогонального проектирования.

Контрольная работа №5

^{Контрольные вопросы и задачи}

1. Компактные множества в нормированных пространствах.

2. Компактность и ограниченность.

3. Критерий компактности Хаусдорфа.

4. Компактность и конечномерность.

5. Линейные вполне непрерывные операторы.

6. Теорема Арцела. Слабая компактность.

7. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.

8. Нормально разрешимые операторы.

9. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов.

10. Альтернатива Фредгольма.

Контрольная работа №6

^{Контрольные вопросы и задачи}

1. Собственные значения линейных операторов.

2. Собственные векторы линейных операторов.

3. Резольвентное множество и спектр линейных операторов.

4. Спектральное разложение самосопряженных операторов.

5. Линейная независимость собственных векторов.

6. Собственные векторы в конечномерных пространствах.

7. Собственные значения вполне непрерывного оператора.

8. Собственные значения самосопряженного оператора.

9. Спектральный радиус линейного оператора.

10. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении.

жүктеу/скачать 414.8 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: