Разложение суммы квадратов в однофакторном да
Теоретические критерии планирования эксперимента
жүктеу/скачать 2.64 Mb.
|
| Теоретические критерии планирования эксперимента.
Все многообразие критериев планирования эксперимента можно разбить на две большие группы. Первую составляют критерии, непосредственно учитывающие точностные свойства получаемых оценок. Среди них можно выделить критерии, связанные с точностью нахождения коэффициентов регрессии (критерии A- и D-оптимальности), и критерии, требующие максимальной точности оценки выходной переменной (критерий G-оптимальности). Смысл перечисленных критериев можно пояснить, используя понятие эллипсоида рассеяния случайного вектора. Для случайного вектора а размерности , ковариационная матрица которого есть cov a, эллипсоид рассеяния задается выражением , описывающим эллипсоид в -мерном пространстве с центром в точке Ма. Эта геометрическая фигура имеет такие размеры, что ковариационная матрица случайного вектора, равномерно распределенного в пределах эллипсоида, совпадает с матрицей cov a. Следовательно, чем больше рассеяние вектора относительно его математического ожидания, тем большие размеры имеет эллипсоид рассеяния. Критерий А-оптимальности Поскольку точностной характеристикой вектора коэффициентов регрессии является ковариационная матрица, а критерии планирования желательно иметь в скалярной форме, то необходима некоторая свертка ковариационной матрицы. Критерий A-оптимальности в качестве такой свертки использует след матрицы . Поскольку диагональные элементы матрицы С пропорциональны дисперсии оценок коэффициентов регрессии, то при минимизации следа матрицы С минимизируется, по сути дела, суммарная либо средняя дисперсия оценок коэффициентов модели: . Известно, что сумма диагональных элементов матрицы равняется сумме её собственных значений. Поскольку квадраты длины осей эллипсоида рассеяния пропорциональны собственным значениям ковариационной матрицы, то критерий A-оптимальности требует минимизации диагонали параллелепипеда, описанного у эллипсоида рассеяния. Критерий D-оптимальности Критерий D-оптимальности требует такого расположения точек в области планирования , при котором определитель матрицы имеет минимальную величину. Иными словами, план D-оптимален, если . Известно, что объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню из величины определителя ковариационной матрицы, т.е. . С учетом (3.8) V . Чем меньше величина определителя, тем меньше, как правило, разброс оценок коэффициентов относительно их математических ожиданий. Исключением является случай, когда эллипсоид рассеяния имеет сильно вытянутую форму. Критерий G-оптимальности План G-оптимален, если он обеспечивает наименьшую величину максимальной дисперсии оценки зависимой переменной: . жүктеу/скачать 2.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|