Разложение суммы квадратов в однофакторном да
Совместность оценок дробного факторного эксперимента
жүктеу/скачать 2.64 Mb.
|
| Совместность оценок дробного факторного эксперимента.
Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) Из-за показательного роста числа экспериментов с увеличением размерности пространства ПФП оказываются практически неприемлемыми при больших . Однако из матрицы ПФП может быть отобрана некоторая часть, называемая дробным факторным планом (ДФП), которая сохраняет свойство ортогональности. Правило построения ДФП состоит в следующем. Задается порядок дробности . Из входных переменных отбирают n-p переменных (их называют основными), и для них строят полный факторный план . Этот план затем дополняют столбцами, соответствующими оставшимся переменным. Для определения способа образования этих столбцов вводится понятие генератора (генерирующего соотношения) плана. Генератор представляет собой произведение граничных значений ( ) основных переменных, определяющее граничные значения элементов каждого из дополнительных столбцов матрицы плана. Так, для построения линейной модели от трех переменных можно воспользоваться ДФП типа с генератором : Чем выше размерность пространства , тем большее число генераторов плана можно предложить. Целесообразно выбирать такие из них, которые соответствуют незначимым взаимодействиям. Действительно, в состав базисных функций входят и левая и правая части генератора и, поскольку от эксперимента к эксперименту они меняются одинаковым образом, различить эффекты, соответствующие частям генератора, не представляется возможным. Так, если в качестве генератора выбрано соотношение , то получить раздельные оценки для и нельзя. Соответствующий ДФП позволяет оценить лишь суммарное воздействие линейного фактора и тройного взаимодействия . Подобные оценки называют смешанными. Однако, если взаимодействие незначимо, т.е. , то будет практически несмешанной оценкой. Для определения порядка смешивания вводят понятие контраста плана. Контраст – это генерирующее соотношение, задающее элементы столбца свободного члена матрицы . (Со свободным членом уравнения регрессии связывается фиктивная переменная , тождественно равная единице.) Контраст получают из генерирующего соотношения умножением на переменную, стоящую слева от знака равенства. Для ДФП с генератором контраст есть , так как . Чтобы определить, с какими переменными или взаимодействиями смешана оценка некоторой данной переменной, необходимо умножить обе части контраста на эту переменную. При этом получают порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании данного плана. Пусть, к примеру, исследуется объект из трех переменных полная модель которого есть (В выражении (6.3) и далее случайное возмущение опускается.) В ходе исследования было решено ограничиться линейным (по переменным) описанием , (6.4) что дало основание воспользоваться ДФЭ с генератором с определяющим контрастом . Порядок смешивания для переменных следующий: , , . (6.5) С учетом (6.5) сгруппируем подобные члены в модели (6.3): . (6.6) Сравнивая (6.6) и (6.4) , видим, что при оценивании линейной модели (6.4) получаются не чистые оценки свободного члена и линейных эффектов а оценки комбинаций, включающих двойные и тройные (для свободного члена) эффекты: . Таким образом, платой за сокращение числа экспериментов стала совместность оценок. Если же поставить дополнительно четыре эксперимента с генератором , то получим оценки . Восемь оценок дают возможность получить раздельные оценки эффектов. Так, есть оценка , а – оценка и так далее. Это и понятно, поскольку две серии экспериментов с генераторами и дают вкупе полный факторный эксперимент, который обеспечивает раздельное оценивание коэффициентов. В отсутствии априорной информации о значимости взаимодействий предпочтение отдается генераторам, отвечающим взаимодействиям высокого порядка, поскольку коэффициенты регрессии при них по абсолютной величине, как правило, меньше. К достоинствам факторных планов следует отнести их хорошие точностные свойства. Легко доказать, что они являются D-, G-, A- оптимальными. К примеру, у ПФП , используемого для оценки коэффициентов модели вида , матрица плана X и матрица значений базисных функций F имеют вид: , . Отсюда , а . Левая часть выражения (6.2) примет вид , поскольку . Максимум этой формы достигается в вершинах квадрата: , и равняется четырем. Число оцениваемых коэффициентов (k+1) также четыре. Следовательно, условие (6.2) выполняется. жүктеу/скачать 2.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|