из Межрегиональной заочной математической олимпиады для школьников (Всероссийская школа математики и физики «Авангард»).
(2006 г.) Решить в целых числах уравнение 1 + х + х + х = 2 .
Решение:
Исходное уравнение запишем так: (1 + x)(1+ х ) = 2 .
Следовательно, 1 + х и 1 + х суть делителя числа 2 , т.е. степени числа 2, поэтому 1 + х = 2 , 1+ х = 2 , откуда х = 2 – 1, х = 2 –1.
Из первого равенства имеем х =2 – 2 +1, поэтому 2 – 2 +1=2 –1 или 2
+ 2 – 2 = 2.
1 случай.
Пусть m = 0. Тогда 2 +2 –1 = 2, или 2 = 1, откуда у = 0. Далее из уравнения 1 + х = 2 найдем х = 0.
Итак, х = у = 0. 2 случай.
Пусть m > 0. Из уравнения 2 +2 – 2 =2 следует 2 + 2 –2 = 1. Так как 2 и 2 целые (ибо m > 0 и m целое),
то 2 целое, поэтому из 2 (1+2 –2 ) = 1 следует 2 = 1,
1 + 2 – 2 = 1, или y – m – 1 = 0, 2m – y + 1 = 3m–y.
Откуда m = 1 и у = 2; следовательно, х = 2 – 1 = 2–1 = 1.
Ответ:
Достарыңызбен бөлісу: |
