Руководство по топографическим съемкам в масштабах 1: 5000, 1: 2000, 1: 1000 и 1: 500 высотные сети

7.2. УРАВНИВАНИЕ ОДИНОЧНОЙ ЛИНИИ

Точка Μ находится на расстоянии n от исходной точки с высотой H_H, Высоту точки Μ можно определить дважды, отно­сительно K и Η

Высоты точки Μ будут различаться между собой на величину

—f = Н'_M — H''_M = H_к — H_н — h_изм.

Значения высот Н_м и Н_м неравноточные, так как Н_м имеет погрешность, равную η√n, а H''_м, равную η√(L—n), и соот­ветственно веса

По формуле общей арифметической средины будем иметь

После несложных преобразований и подстановок получим, что высота точки Μ будет равна

Таким образом, чтобы уравнять нивелирный ход между дву­мя твердыми точками, достаточно в измеренные превышения ввести поправки, вычисленные по формуле

где с — поправка на 1 км нивелирного хода; v_ki—поправка в измеренное превышение;

Пример уравнивания одиночного хода приведен в ведомостях превышений в табл. 41 и 42, а пример уравнивания высотного хода — в табл. 44.

Невязку f одиночного высотного хода подсчитывают по формуле

где Η_к — отметка конечной точки хода; Η_н — отметка начальной точки хода; Σh—сумма измеренных превышений.

Уравнивание заключается в распределении невязки хода про­порционально длине секций. По исправленным таким образом превышениям вычисляют окончательные отметки точек хода.

Для определения погрешности любой точки нивелирного хода можно воспользоваться формулой

где m_M —случайная средняя квадратическая погрешность отметки точки M;

η — случайная средняя квадратическая погрешность на 1 км

нивелирного хода;

L — общая длина линии в км;

n — расстояние от начальной точки хода H_н до точки Μ в км.

7.3. УРАВНИВАНИЕ НИВЕЛИРНЫХ СЕТЕЙ МЕТОДОМ ПОЛИГОНОВ

Около каждой линии снаружи полигона помещают по одной табличке поправок. Все внутренние линии имеют по две таб­лички, расположенные по разные стороны от линии. Над таблич­ками выписывают длины линий, выраженные в сотых долях от общей длины периметра полигона. Например, полигон № 1 состоит из четырех линий длиной l₁, l₂, l₃ и l₄. Периметр равен p₁=l₁+l₂+l₃+l₄. Отношение, выраженное в сотых долях, для первой линии будет равно

Соответственно для второй, третьей и четвертой линий:

Контролем правильности вычислений служит сумма чисел k₁+k₂+k₃+k₄ которая должна быть равна точно 1,00. На схеме 2 эти цифры выписывают над табличками поправок сна­ружи тех линий, к которым они относятся, т. е. за пределами полигона № 1. Эти цифры выписываются красными чернилами и называются красными числами. Подобным образом вычисляют красные цифры во всех остальных полигонах. В полигонах, опи­рающихся на твердые точки, периметр равен сумме длин ниве­лирных линий между этими пунктами по наиболее короткому расстоянию. После того как вычислены все красные числа, при­ступают к уравниванию. Для этого во всех полигонах распреде­ляют невязки прямо пропорционально красным числам. Начи­нают распределение невязок с полигона № 1. Для того чтобы найти поправку в каждую линию, умножают невязку на все крас­ные числа полигона (fk_i). Полученные результаты выписывают с округлением до целых мм в таблички под соответствующими красными цифрами, находящимися за пределами полигона. По­правки выписывают с тем же знаком, что и невязка полигона. Контролем правильности вычислений является сумма поправок в полигоне, которая должна быть точно равна невязке. После того как распределили всю поправку в первом полигоне, вычис­ляют поправку во втором полигоне. Так как из первого полигона во второй перешла часть невязки, равная поправке для общей линии, то ее суммируют с невязкой второго полигона. Получен­ную сумму распределяют пропорционально красным цифрам. Подсчитывают невязки в следующих полигонах с учетом попра­вок, перешедших из первых полигонов, и распределяют их про­порционально соответствующим красным цифрам.

Для удобства вычислений и для исключения возможных оши­бок при вычислениях под невязкой полигона выписывают все поправки со своими знаками, перешедшие из других полигонов, и все цифры суммируют. В табличках учтенные поправки под­черкивают одной чертой. После распределения невязки в поли­гоне ее подчеркивают двумя чертами.

После того как все невязки будут распределены первый раз, приступают к повторному их распределению. Для этого сумми­руют в полигоне № 1 все поправки, а в остальных полигонах — только те поправки, которые не были учтены при первом уравни­вании невязок, и распределяют их прямо пропорционально соот­ветствующим красным числам. Распределение невязок продол­жают до тех пор, пока они во всех полигонах не станут равны­ми 1—2 мм. Оставшиеся невязки целиком относят на наружные линии полигонов. На этом уравнивание прекращают и присту­пают к вычислению суммарной поправки для каждого превыше­ния между узловыми точками. Для этого суммируют все числа в табличках поправок. Поправка в превышение равна сумме попра­вок, находящихся у данной линии внутри полигона, минус сумма поправок, написанных около этой же линии вне полигона. На схеме № 2 все вычисленные поправки написаны около линий в скобках. Сумма поправок в каждом полигоне должна быть рав­на невязке с обратным знаком.

Для заключительного контроля поправки выписывают на схему № 1 и еще раз вычисляют невязки полигонов. Все невязки должны быть равны 0. Затем находят высоты всех узловых точек и вычисляют превышения между соседними знаками обычным способом, распределяя невязку пропорционально длинам секций.

Уравнивание нивелирной сети этим способом, как правило, выполняют при помощи логарифмической линейки или все вычис­ления производят в уме.

Для оценки точности при уравнивании нивелирных сетей этим способом применяют формулы (7. 24) и (7. 25)

где m_км — случайная средняя квадратическая погрешность на 1 км нивелирного хода;

где 1/p_Hв — сумма обратных весов линий, соединяющих твердые точки с данной узловой точкой, вычисляется как

здесь L_i — длина хода в км от исходной точки i.