Ряды. Дифференциальные уравнения
жүктеу/скачать 2.54 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дифференцирование функциональных рядов
- Степенные ряды
- Ряды Тейлора
- Ряды Тейлора для основных элементарных функций
- Тригонометрические ряды Фурье
Функциональные ряды – функциональные ряды, fn(x), f(x) – функции от  , где D – область сходимости ряда.
Примеры функциональных рядов: 1) Определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве E: 
Критерий Коши:  .
Следствие. Если 
Примеры: 1) 
Признак равномерной сходимости. 1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак) Пусть дан функциональный ряд Доказательство (по критерию Коши): Примеры: 
К ряду 2) Признак Абеля – Дирихле. Пусть дан функциональный ряд
То ряд  сходится равномерно на E. (без доказательства)
Примеры: 
 = f(x) =  , x?(0; 2?) (без доказательства).
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. Теорема: Пусть 
Доказательство:  Докажем, что 
Доказано. Теорема об интегрировании функционального ряда. Теорема: 
Доказательство: 
Теорема доказана.
Теорема: Пусть  fn(x) →  f(x), x O(a),
fn’(x) 
Тогда f(x) Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда):  fn’(t)=g(t), t[a,x] – непрерывная функция, так как ряд  fn’(t) равномерно сходится на O(a). На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно проинтегрировать почленно.
 
Теорема доказана.
Степенными рядами называются ряды вида  , где an, x0 –постоянные, x – переменная.
Мы будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е. 1 теорема Абеля. Пусть  сходится при некотором x0. Тогда для любого ?h< ряд  сходится равномерно на [-h;h]
Доказательство: Так как сходится, то  , где M>0 – некоторая постоянная.
 сходится  по признаку Вейерштрасса 
Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств: D= Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех Приведём примеры: 
Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши. Признак Даламбера:
Признак Коши:  
Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R. Пример: 
 не существует, но  =1 => => R = 1
2 теорема Абеля: Ряд  сходится в точке x=x0 . Тогда ряд сходится равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0] если x0<0).
Доказательство: 
=> По признаку Абеля Следствия:
 , D – область сходимости
2) Интегрирование суммы степенного ряда  , D – область сходимости
 – радиус сходимости не меняется.
 , радиус сходимости при дифференцирование не меняется.
Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда. Пусть Доказательство: 
 - коэффициенты степенного ряда Тейлора
 , т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда совпадает с самой функцией.
Пример:   => 
Теорема: Пусть 
и Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим: 
Теорема доказана.
Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора. 1) => 
 
Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:
сходится при  , в частности:
 , далее функция периодическая с периодом 2π.
Ряд Дирихле  
π/2
нечетная функция, an=0
|
– степенной ряд
– тригонометрический ряд Фурье
и если 
– сходится, то функциональный ряд 
сходится равномерно на E. 
, так как 
и 
Признак Абеля
, где R – радиус сходимости.
, если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. 
- ряд сходится на всей числовой прямой.
, R – радиус сходимости. Тогда 
; тогда 
, 
сходится при всех x.
(signx)
