Ряды. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

жүктеу/скачать 2.54 Mb.

бет	5/7
Дата	11.06.2016
өлшемі	2.54 Mb.
	#127270

1 2 3 4 5 6 7

Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 7
Основные тины дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение вида

, где

- функция, определенная в некоторой области

пространства

- независимая переменная,

- функция от

- ее производные.

Определение: Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных

, входящих в уравнение.

Определение: Функция

называется решением дифференциального уравнения на промежутке

, если для всех

из

выполняется равенство:

. Дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения единственное.

Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.

Пример 1: Решить уравнение

. Его решение:

определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

рис.1

Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

рис.2

Пример 2:

Выведем закон движения тела, брошенного с начальной скоростью V под углом α к горизонту.

Но по условию y(0) = 0 → C₂= 0 →

Найдем время подъема:

Найдем высоту подъема:

Дальность полета x_max(при y(t) = 0 )

y(t) = 0

при

Пример 3:

Решить уравнение

, интегрируя обе части уравнения, получим

d(lny) = d(lnx) .

Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx, которое изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0). При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0), проходит только одна интегральная кривая (решение).

Рис.3

Пример 4:

Рассмотрим уравнение

интегрируя, получаем: x²+ y² = C = R² (рис.4)

– множество окружностей с центром в начале координат

рис.4

Определение: Общее решение – множество решений дифференциального уравнения

есть совокупность функций F(x, y, C)=0, C??.

Определение: Частное решение получают при подстановке конкретного значения константы в общее решение

Особые решения не входят в общие решения через каждую точку особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Пример 5:

см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).

Рис.5

Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).

рис.6

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):

Пусть - непрерывная функция (рис.7) в области, причем - также непрерывна в . Тогда существует единственное решение y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x₀)=y_0, (x₀,y₀) принадлежит D. Следовательно, через точку проходит только одна интегральная кривая.

Рис.7

(без доказательства).

Пример 7:

Рассмотрим подробнее уравнение

Так как производная функции f(y) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).

Основные тины дифференциальных уравнений

1) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида

, где

- непрерывна на некотором

, а

непрерывна на

, причем

на

(метод разделения переменных). Интегрируя обе части, получаем

. Обозначая

любую первообразную для

, а

- любую первообразную для

, перепишем это уравнение в виде неявно выраженной функции

. Это – общее решение.

Рассмотрим пример такого уравнения

интегрируя, получим

2) Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными:

.
Пример 1: Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны , после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.

рис.8

Введем замену: y = zx и рассмотрим один случай, когда

Сокращая на z, получаем интегрируем равенство:

Возводим в квадрат z² – 1 = C²x² – 2Cxz + z²

Таким образом, получено уравнение параболы.
Пример 2 (уравнение химической реакции):

Разложим на множители:

при x =a 1=A(b–a )A=–1/(a–b)

при x = b 1= B(a–b) B=1/(a–b)

В точке (0,0) частное решение исходного уравнения:

Пример 3:

Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (t_комн=20⁰) и время достижения 40⁰, если до 60⁰ вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и t_комн.

Составим дифференциальное уравнение:

Пример 4:

Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 30 л раствора.

V_р-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли

; ;

; при t = 0 x(0)=10 C = 1000

Пример 5:

Найти точный закон радиоактивного распада, если t₀–период полураспада., а x₀– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.